初中数学19.3 矩形、菱形、正方形优秀学案及答案

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▉题型1 直角三角形斜边上的中线
【知识点的认识】
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
1．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ 3 cm．
【答案】3
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB＝3cm，
故答案为：3．
▉题型2 菱形的性质
【知识点的认识】
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB 垂足为E，若∠BCD＝50°，则∠BOE 的大小为（ ）
A．24度B．25度C．40度D．65度
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAO＝∠DAO=12∠BAD＝25°，∠AOB＝90°，
∵OE⊥AB 于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠BOE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BOE＝∠BAO＝25°，
故选：B．
3．在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交点分别为E、F、②作直线EF，交对角线AC于点G．③连接DG．若∠B＝75°，则∠AGD度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】D
【解答】解：如图，连接BG，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝75°，
∴AB＝AD，∠DAB＝105°，∠GAB＝∠GAD=12∠DAB，
由题意可得：EF垂直平分AB，
∴AG＝GB，
∴∠GAB＝∠GBA=12∠DAB，
∴∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝180°﹣∠DAB＝75°，
∵AB＝AD，∠GAB＝∠GAD，AG＝AG，
∴△AGB≌△AGD（SAS），
∴∠AGB＝∠AGD＝75°，
故选：D．
4．下列性质中，菱形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分B．邻角相等
C．对角线垂直D．对角线相等
【答案】C
【解答】解：平行四边形具有对角线互相平分，菱形具有对角线互相平分且垂直，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的是对角线垂直，
故C选项符合题意，
故选：C．
5．如图，在菱形ABCD中，BD＝4cm，AC＝3cm，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线BD、AC交于点O，BD＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝CB＝CD＝AD，BD⊥AC，OB＝OD=12BD＝2cm，OA＝OC=32cm，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OB2+OA2=22+(32)2=52（cm），
∴AB+CB+CD+AD＝4AB＝4×52=10（cm），
∴菱形ABCD的周长是10cm，
故选：C．
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形ABCD，测得BD＝8cm，AC＝6cm，则该菱形的周长为（ ）
A．16cmB．20cmC．24cmD．28cm
【答案】B
【解答】解：由条件可知AC⊥BD，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，
AB=OA2+OB2=5cm，
∴菱形的周长为5×4＝20cm，
故选：B．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB交AB于点H，连接OH，若OA＝10，OH＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．120B．240C．80D．160
【答案】A
【解答】解：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝10，OH＝6，
∴OA＝OC＝10，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝20，
∵DH⊥AB交AB于点H，
∴∠BHD＝90°，
∵点O是BD中点，即OH是斜边上的中线，
∴BD＝2OH＝2×6＝12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×20×12=120，
故选：A．
8．菱形的面积是83，一条对角线长是4，则菱形的周长是 16 ．
【答案】16
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的面积是83，一条对角线长AC＝4，
∴AB＝BC＝CD＝AD，12×4×BD＝83，OA＝OC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，
解得：BD＝43，
∴OB=12BD＝23，
∴AB=OA2+OB2=22+(23)2=4，
则菱形的周长＝4×4＝16；
故答案为：16．
9．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是 24 ．
【答案】24．
【解答】解：如图，当BD＝6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，
∵AB＝5，
∴AO=AB2−BO2=25−9=4，
∴AC＝8，
∴菱形的面积是12BD×AC=12×6×8＝24，
故答案为24．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE，若AD＝8，则线段OE的长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝8，
∵E为AB中点，CO⊥BO，
∴OE=12BC＝4，
故答案为：4．
▉题型3 菱形的判定
【知识点的认识】
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
11．依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：如图1，∵∠BAC＝90°，
∴CB＞AB，
∵CB≠AB，
∴四边形ABCD不是平行四边形，
故A不符合题意；
如图2，∵OE＝3，OH＝4，EH＝5，
∴OE2+OH2＝32+42＝25，EH2＝52＝25，
∴OE2+OH2＝EH2，
∴△EOH是直角三角形，且∠EOH＝90°，
∴CE⊥FH，
∵四边形EFGH是平行四边形，且CE⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形，
故B符合题意；
如图3，∵KL+KN＞LN，且KL＝6，LN＝12，
∴6+KN＞12，
∴KN＞6，
∴KN＞KL，
∵KN≠KL，
∴四边形KLMN不是菱形，
故C不符合题意；
如图4，∵∠QPR＝50°，∠PQR＝70°，
∴∠QRP＝180°﹣∠QPR﹣∠PQR＝60°，
∴∠QPR≠∠QRP，
∴PQ≠RQ，
∴四边形PQRT不是菱形，
故D不符合题意，
故选：B．
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．在以下条件中①AB∥CD；②AB⊥BC；③OB＝OD；④∠ABC＝∠ADC，添加一个条件使其成为菱形ABCD，则可以是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【解答】解：①当添加AB∥CD时，无法证明四边形ABCD是菱形，
故该选项不符合题意；
②当添加AB⊥BC时，无法证明四边形ABCD是菱形，
故该选项不符合题意；
③当添加OB＝OD时，
∵OB＝OD，AC⊥BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵AD＝BC，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故该选项符合题意；
④当添加∠ABC＝∠ADC时，无法证明四边形ABCD是菱形，
故该选项不符合题意；
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】见解析．
【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC＝BD＝CD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
14．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形．
15．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析；
（2）当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE．
根据平移的性质得到：BF＝EC．
在△ABF与△DEC中，
AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形；
（2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下：
∵t＝3，
∴CF＝10﹣3×2＝4（cm），
∵AC＝4cm，
∴CF＝AC，
∵ACB＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BD＝AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE ，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD＝AF；
（2）解：四边形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形．
▉题型4 菱形的判定与性质
【知识点的认识】
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4B．8C．6D．10
【答案】B
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO=12AC＝2，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且OC＝OD，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝2，
∴四边形CODE的周长＝4×2＝8，
故选：B．
18．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填AD＝CBD．（4）处可填∠A＝90°
【答案】C
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意；
故选：C．
19．在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为100cm的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为100cm，能判定画框为边长100cm的菱形，该选项不合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意；
C、由四边形都等于100cm，能判定画框为边长为100cm的菱形，该选项不合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为100cm，能判定画框为边长为100cm的菱形，该选项不合题意；
故选：B．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，BD＝2，求OE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB=5，OB＝1，
∴OA=AB2−OB2=5−1=2，
∴OE＝OA＝2．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC中点．点F是AD中点．连接AE、CF、EF，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接AC，与EF交于点O，连接OD，若AF＝5，OF：AF＝3：5，求OD的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）OD的长是213．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵点E是BC中点．点F是AD中点，
∴CE∥AF，CE=12BC，AF=12AD，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵∠CEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：连接AC交EF于点O，连接OD，作OH⊥AD于点H，则∠OHF＝90°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∴∠AOF＝90°，
∵AF＝5，OF：AF＝3：5，
∴OF=35AF＝3，
∴OA=AF2−OF2=52−32=4，
∵S△AOF=12×5OH=12×3×4，
∴OH=125，
∴FH=OF2−OH2=32−(125)2=95，
∵DF＝AF＝5，
∴DH＝DF+FH＝5+95=345，
∴OD=OH2+DH2=(125)2+(345)2=213，
∴OD的长是213．
22．如图，在▱ABCD中，AB＝AC，过点D作AC的平行线与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）连接CE，若AC=5，BC＝2，求CE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）CE的长为4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE∥AC交BA的延长线于点E，
∴AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵AB＝DC，AB＝AC，
∴DC＝AC，
∴四边形ACDE是菱形．
（2）解：设AD交CE于点H，
∵四边形ACDE是菱形，
∴AD⊥CE，
∵BC∥AD，
∴∠BCE＝∠AHE＝90°，
∵AC=5，BC＝2，
∴AB＝AC=5，AE＝AC=5，
∴BE＝AB+AE＝25，
∴CE=AE2−BC2=(25)2−22=4，
∴CE的长为4．
▉题型5 矩形的性质
【知识点的认识】
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23．如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，则BD的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】C
【解答】解：∵顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，
∴AC＝4cm，
∵四边形ABCD是矩形．
∴BD＝AC＝4cm．
故选：C．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝BEB．OB=12CE
C．△ACE是等腰三角形D．BC=12AE
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，BO＝DO=12BD，
∵CE∥BD，DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD＝AC，
∴OB=12CE，
∴△ACE是等腰三角形，
故选：D．
25．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（ ）
①∠AEF＝60°；②FC＝2DF；③OG=12BC；④S△AOE=16S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE=12AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
设CF＝AE＝2a，则OE＝OG＝a，
∴AO=3OE=3a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝23a，
∴BC=12AC=3a，
∴AB=3BC＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DF＝CD﹣CF＝3a﹣2a＝a，
∴FC＝2DF；故②正确；
∵OG＝a，12BC=32a，
∴OG≠12BC，故③错误；
∵S△AOE=12×a×3a=32a2，
S矩形ABCD＝3a×3a＝33a2，
∴S△AOE=16S矩形ABCD，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④共3个．
故选：C．
26．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，与BD相交于点O，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则四边形MDNB的面积为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠ODM＝∠OBN，
∵MN垂直平分BD，
∴OD＝OB，DM＝BM，DN＝BN，
在△ODM和△OBN中，
∠ODM=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△ODM≌△OBN（ASA），
∴DM＝BN，
∵DM＝BM，DN＝BN，
∴DM＝BM＝DN＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
∵∠D＝90°，AB＝4，AD＝8，
在直角三角形ABM中，由勾股定理得：AB2+AM2＝BM2，AM＝8﹣DM，
∵DM＝BM，
∴42+（8﹣DM）2＝DM2，
解得DM＝5，
∴S菱形MDNB＝4DM＝20．
故选：C．
27．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，如果∠FAB＝60°，则∠CEF的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】A
【解答】解：矩形ABCD中，E为CD的中点，延长AE，交BC的延长线于点G，如图：
∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，DE＝CE，
∴∠ECG＝90°，
在△ADE和△GCE中，
∠D=∠ECGDE=CE∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝GE，
∴EF⊥AE，
∴EF垂直平分AG，
∴AF＝GF，
∴∠FAE＝∠G，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G，
∴∠DAE＝∠FAE，
∵∠FAB＝60°，
∴∠DAE=90°−60°2=15°，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，
∴∠CEF＝∠DAE＝15°．
故选：A．
28．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两块全等的四边形纸片，根据图中标示的长度与角度，则剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是（ ）
A．4B．3C．5D．22
【答案】B
【解答】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQA＝∠FQD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，
∴四边形ABFQ、四边形CDQF都是矩形，
∴AB＝FQ＝DC＝4，QD＝CF，
由题意得：AE＝CF，
∴AE＝QD，
∵AD∥BC，
∴∠QEF＝∠BFE＝45°，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EQ＝FQ＝4，
∴AE＝QD=12×（10﹣4）＝3，
故选：B．
29．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝30°，则∠DAE等于（ ）
A．10°B．20°C．30°D．45°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，
∴∠DAB＝∠EAG＝90°，
∵∠BAG＝30°，
∴∠DAG＝∠DAB﹣∠BAG＝60°，
∴∠DAE＝∠EAG﹣∠DAG＝30°．
故选：C．
30．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2B．4C．4或65D．2或125
【答案】D
【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，
∴v的值为：4÷2＝2cm/s；
②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v=125．
故选：D．
31．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE、AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段CH的长是 103 ．
【答案】103
【解答】解：设DH＝x，
过H作HQ⊥AC于Q，
在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，
∴AC＝10，
由作图得：AG平分∠CAD，
∴∠CAG＝∠DAG，
∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH，
∴△ADH≌△AQH（AAS），
∴DH＝HQ＝x，AQ＝QD＝8，
∴CQ＝AC﹣QA＝2，
在Rt△CHQ中，有CQ2+QH2＝CH2，
即：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x=83，
∴CH＝6−83=103，
故答案为：103．
32．古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为 30 cm2．
【答案】30．
【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=10（cm），
∴S长方形ABDE=AB⋅BD=3×10=30(cm2)．
故答案为：30．
33．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于BD的0.5倍长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AD＝4，AB＝2，则四边形MBND的周长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：由题意知：PQ为BD的垂直平分线，
∴BM＝MD，BN＝ND．
在矩形ABCD中，设PQ与BD交于点O，如图，
则BO＝DO．AD∥BC，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△MDO和△NBO中，
∠MDO=∠NBO∠DMO=∠BNOOD=OB，
∴△MDO≌△NBO（AAS），
∴DM＝BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∵BM＝MD，
∴四边形MBND为菱形，
∴四边形MBND的周长＝4BM．
设MB＝x，则MD＝BM＝x，
∵AD＝4，AB＝2，
∴AM＝AD﹣DM＝4﹣x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AB2+AM2＝BM2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝2.5，
∴四边形MBND的周长＝4BM＝10．
故答案为：10．
34．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BO上的一点，且BE＝EO，点F是CD的中点，连接EF，若AB＝4，BC＝8．则EF的长是 37 ．
【答案】37．
【解答】解：作OH⊥BC于点H，取OH中点I，连接并延长EI交CD于点L，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，BC＝8，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝4，OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，且AC＝BD，
∴OC＝OB，
∴CH＝BH=12BC＝4，
∴OH∥AB，且OH=12AB＝2，
∴OI＝HI=12OH＝1，
∵点E是BO上的一点，且BE＝EO，
∴E为OB的中点，
∴EI∥BH，且EI=12BH＝2，
∴EL∥BC，
∴∠ELF＝∠BCD＝90°，
∴∠ILC＝90°，
∵∠IHC＝∠HCL＝∠ILC＝90°，
∴四边形IHCL是矩形，
∴IL＝CH＝4，CL＝HI＝1，
∴EL＝EI+IL＝2+4＝6，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF=12CD＝2，
∴FL＝CF﹣CL＝2﹣1＝1，
∴EF=EL2+FL2=62+12=37，
故答案为：37．
▉题型6 矩形的判定
【知识点的认识】
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
35．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长线到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．添加一个条件，使四边形ABEC是矩形．下列四个条件：①∠DAC＝∠EAC；②AD＝AE；③AB＝AD；④∠AFC＝2∠ABC中，你认为可选择的是 ①②④ ．（填上所有满足条件的序号）
【答案】①②④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠ACF＝∠EAC，
∴AF＝FC，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF=12AE，CF=12BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，
故①符合题意；
∵AD＝AE，AD＝BC，
∴AE＝BC，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形，
故②符合题意；
∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴AF＝BF，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AF=12AE，BF=12BC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形，
故④符合题意；
由AB＝AD不能推出四边形ABEC是矩形，
∴使四边形ABEC是矩形可以选择的是①②④．
故答案为：①②④．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，过点C作CE∥DA，交于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：由题意得AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
37．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请你添加一个条件 BE⊥DE ，则四边形EBFD是矩形．并证明．
【答案】（1）见解析；
（2）BE⊥DE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：添加一个条件BE⊥DE，
证明：由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE⊥DE，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
故答案为：BE⊥DE．
▉题型7 矩形的判定与性质
【知识点的认识】
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
38．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=12EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=12AB×CM=12AC×BC，
∴CM=AC×BCAB=3×45=2.4，
∴CP=12EF=12CM＝1.2，
故选：A．
39．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：工人师傅测量它们的两条对角线是否相等道理是对角线相等的平行四边形为矩形．
故选：D．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．3D．4
【答案】B
【解答】解：连接CM，如图，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形EMFC是矩形，
∴EF＝MC，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=5，
当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值，
∵12×AB×CM=12×AC×BC，
∴CM=AC×BCAB=3×45=2.4．
∴EF＝CM＝2.4．
即EF的最小值是2.4．
故选：B．
41．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为 2.4 ．
【答案】2.4
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC•AC=12AB•CD，
即12×4×3=12×5•CD，
解得CD＝2.4，
∴线段EF长的最小值为2.4．
故答案为：2.4
42．如图，在△ABC中，AB=25，AC=2，BC=4，点F是边AB上的动点（不与点A、点B重合），作FM⊥AC于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
（1）求证：四边形FMCN是矩形；
（2）计算MN的最小值．
【答案】（1）见解析；
（2）455．
【解答】（1）证明∵AC2+BC2=22+42=20，AB2=(25)2=20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵FM⊥AC，FN⊥BC，
∴∠FMC＝∠FNC＝90°，
∴四边形FMCN为矩形；
（2）解：如图所示，连接CF，
∵四边形FMCN为矩形，
∴CF＝MN，
∴当CF⊥AB时，CF有最小值，即此时MN最小，
∵S△ACB=12AC⋅BC=12AB⋅CF，
∴25CF=2×4，
∴MN的最小值为455．
▉题型8 正方形的性质
【知识点的认识】
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
43．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM．过点O作ON⊥OM交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∴ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON（等量代换），
∵在△DOM和△CON中，
∠DOM=∠CONOD=OC∠MDO=∠NCO，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∵△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴根据题意得，AB2＝4，
解得AB＝2，
即AB的长为2，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
44．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，AP，若AE＝AF，∠CPD＝α，则∠PAB的度数为（ ）
A．α﹣45°B．135°﹣αC．2α﹣135°D．180°﹣α
【答案】A
【解答】解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAB＝∠ADC＝∠ADF＝∠BCD＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF．
∴∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝90°．
∵AE＝AF，点P是EE的中点，
∴AP=12EF，AP＝EP，
∴∠PEA＝∠PAE＝45°，
∴CP＝PF=12EF，
∴AP＝CP，
在△APD与△CPD中，
AP=CPAD=CDDP=DP，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP，∠APD＝∠CPD＝α．
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDP＝∠ADP＝45°，
∴∠DAP＝∠DCP＝180°﹣∠CPD﹣∠CDP＝135°﹣α，
∴∠PAB＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣135°+α＝α﹣45°，
故选：A．
45．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别为BC，CD上两点，且BE＝CF，作∠FBG＝45°，交AD于点G，AE交BF于点H，连接GF，CH．下列结论：①AE⊥BF；②CF+AG＝GF；③当CF＝2时，△DFG的面积为6；④CH的最小值是35−2．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠BCF=90°BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
∵∠ABH+∠BAE＝∠ABE＝90°，
∴∠ABH+∠CBF＝90°，
在△ABH中，∠AHB＝180°﹣（∠ABH+∠CBF）＝90°，
∴AE⊥BF；
故结论①正确：
②过点B作BP⊥BF，交DA延长线于点P，如图1所示：
∵AE⊥BF，
∴BP∥AE，
∴∠ABP＝∠BAE＝∠CBF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴AP∥BE，
∴四边形APBE是平行四边形，
∴AP＝BE＝CF，PB＝AE＝BF，
∴GP＝GA+AP＝GA+CF，
∵∠ABE＝90°，∠FBG＝45°，
∴∠AGB+∠CBF＝∠ABE﹣∠FBG＝45°，
∴∠AGB+∠ABP＝45°，
即∠PBG＝45°，
∴∠PBG＝∠FBG＝45°，
在△PBG和△FBG中，
PB=BF∠PBG=∠FBGBG=BG，
∴△PBG≌△FBG（SAS），
∴GP＝GF，
∴GA+CF＝GF，
故结论②正确；
③∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∴AD＝CD＝BC＝6，∠D＝90°，
∵CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝4，
设DG＝a，则AG＝AD﹣DG＝6﹣a，
∵GA+CF＝GF，
∴GF＝6﹣a+2＝8﹣a，
在Rt△DGF中，由勾股定理得：GF2＝DF2+DG2，
∴（8﹣a）2＝42+a2，
解得：a＝3，
∴DG＝a＝3，
∴△DFG的面积为：12DG•DF=12×3×4＝6，
故结论③正确；
④设AB的中点为O，连接OH，OC，如图2所示：
∵∠AHB＝90°，
∴OH是Rt△ABH斜边AB上的中线，
∴OH＝OA＝OB=12AB＝3，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC=BC2+OB2=62+32=35，
根据“两点间线段最短”得：CH≥OC﹣OH=35−3，
∴当O，H，C共线时，CH为最小，最小值是35−3，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③，共3个．
故选：B．
46．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为42；⑤EF的最小值为22；⑥PB2+PD2＝2PA2，其中正确结论的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解答】解：①连接PC，设PC与EF相交于点H，如图1所示：
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45°，∠BCD＝90°，
∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
在△ABP和△CBP中，
AB=CB∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AP＝CP，
又∵EF＝CP，
∴AP＝EF，
故结论①正确；
②在矩形PECF中，PF∥BC，HE＝HC，
∴∠PFE＝∠CEH，∠CEH＝∠ECH，
∴∠PFE＝∠ECH，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠ECH，
∴∠PFE＝∠BAP，
故结论②正确；
③在正方形ABCD中，∠ADP＝∠CDP＝45°，
假设△ADP一定是等腰三角形，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当AP＝PD时，则∠PAD＝∠ADP＝45°，
∴∠DPA＝90°，
即当∠DPA＝90°时，△PAD是等腰三角形，这与点P是对角线BD上一点相矛盾，
因此假设是错误的，
（ⅱ）当DP＝AD时，则∠DPA＝∠DAP，
根据三角形内角和定理得：∠DPA+∠DAP+∠ADP＝180°，
∴2∠DPA+45°＝180°，
∴∠DPA＝67.5°，
即当∠DPA＝67.5°时，△PAD是等腰三角形，这与点P是对角线BD上一点相矛盾，
因此假设是错误的，
综上所述：△ADP不一定是等腰三角形，
故结论③不正确；
④∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC＝4，
∵PE⊥BC，∠CBP＝45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴BE＝PE，
∴PE+CE＝BE+CE＝BC＝4，
∵四边形PECF矩形
四边形PECF的周长为：2（PE+CE）＝8≠42，
故结论④不正确；
⑤连接AC交BD于点O，如图2所示：
∵EF＝CP，
∴当CP最小时，则EF为最小，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°OA＝OC=12AC，AC⊥BD，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝AB2+BC2=42，
∴OA＝OC=12AC=22，
∵点P是对角线BD上一点，
∴根据“垂线段最短”得：CP≤OC=22，
∴当点P于点O重合时，CP为最小，最小值为22，
∴EF的最小值22，
故结论⑤正确；
⑥∵△BPE是等腰直角三角形，BE＝PE，
由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2＝2PE2，
∴∠CDP＝45°，PF⊥CD，
∴△PFD是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，
由勾股定理得：PD2＝PF2+DF2＝2PF2，
∵PF＝EC，
∴PD2＝2EC2，
∴PB2+PD2＝2（PE2+EC2），
在Rt△PEC中，PE2+EC2＝PC2，
∴PB2+PD2＝2PC2，
∵PA＝PC，
∴PB2+PD2＝2PA2，
故结论⑥正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤⑥，共4个．
故选：B．
47．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则OF的长为（ ）
A．22B．2−2C．2−1D．3−2
【答案】C
【解答】解：∵边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BC=DC=2，∠BCD＝90°，DO=12BD，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：BD=BC2+DC2=2，
∴DO=12BD=12×2=1，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∵DF=DC=2，
∴OF=DF−DO=2−1；
故选：C．
48．科技助力航天设备维护，在对航天器外表面进行清洁维护时，一款正方形的智能清洁贴片发挥作用．当清洁贴片放置在航天器外壳边缘时，贴片的顶点A，D分别贴合在航天器外壳的两个垂直结构面EF，EG上，这两个结构面的夹角∠E＝90°，EA＝5cm，∠EDA＝30°．不同型号清洁贴片的对角线长度如下表所示，那么此次使用的清洁贴片型号为（ ）
A．UC﹣80B．UC﹣100C．UC﹣120D．UC﹣150
【答案】B
【解答】解：由题意知：∠E＝90°，EA＝5cm，∠EDA＝30°，如图，连接AC，
在Rt△ADE中，AD＝2AE＝10cm，
∵四边形ABCD为正方形，
由勾股定理得：AC=2AD=102cm，
即满足UC﹣100型号．
故选：B．
49．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE，F为AE的中点，G为CD的中点，连接FG．若AD＝4，则FG＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：延长AG交BC的延长线于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且AD＝6，
∴BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCD＝∠GCH＝90°，
∵点E，G分别是BC，CD的中点，
∴EC＝EB=12BC＝2，DG＝CG=12CD＝2，
在△ADG和△HCG中，
∠D=∠GCH=90°DG=CG∠AGD=∠HGC，
∴△ADG≌△HCG（ASA），
∴AG＝HG，AD＝CH＝4，
∴EH＝EC+HC＝2+4＝6，
∵点F是AE的中点，AG＝HG，
∴FG是△AEH的中位线，
∴FG=12EH＝3．
故答案为：3．
50．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO，若∠PBC＝30°，OE＝5cm，则AE＝ 52cm ．
【答案】52cm．
【解答】解：过点E作EF⊥DC于F，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AB，∠BDC＝∠DBC＝∠DBA＝45°．
∵PE⊥BD，
∴△DEP为等腰直角三角形．
∵EF⊥DC，
∴EF＝DF＝FP=12DP．
∵PE⊥BD，O为BP的中点，OE＝5cm，
∴BP＝2OE＝10（cm）．
在Rt△BCP中，
∵∠PBC＝30°，
∴CP=12BP＝5（cm）．
∴BC=BP2−CP2=53（cm）．
∴CD=53cm．
∴DP＝CD﹣CP=53−5（cm）．
∴EF＝FP=53−52（cm）．
∴FC＝CP+FP=53+52（cm）．
在Rt△EFC中，CE=EF2+FC2=(53−52)2+(53+52)2=52（cm）．
在△ABE与△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE=52cm，
故答案为：52cm．
51．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，则DH的长为 172 ．
【答案】172．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，如图，延长EH交AD于点T．
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°．
∴CE=DE=12CD=4．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG∥EF，∠ECD＝90°，EF＝CE＝4，
∴B，C，G三点在一条直线上，
∴AD∥CG．
∴AD∥EF．
∴∠TAH＝∠EFH．
∵H为AF的中点，
∴AH＝FH，
在△ATH和△FEH中，
∠AHT=∠FHEAH=FH∠TAH=∠EFH，
∴△ATH≌△FEH（ASA）．
∴TA＝EF＝4，TH＝EH．
∴DT＝AD﹣TA＝5﹣4＝1，DH=12ET，
在Rt△DET中，由勾股定理，得ET=DT2+DE2=17，
∴DH=172，
故答案为：172．
52．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为边BC，CD上一点，连接OE，OF，EF，OE⊥OF．若∠AOE＝150°，EF＝4，则DF的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝60°，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OF=22EF＝22，
过点F作FG⊥OD于G，如图，
∵∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠DOF＝30°，
∴GF=12OF=2，
∴∠OGF＝∠DGF＝90°，
∵∠ODC＝45°，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DF=2GF＝2，
故答案为：2．
53．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 8 平方分米．
【答案】8．
【解答】解：16÷2＝8（平方分米），
答：图C中小正方形的面积是8平方分米．
故答案为：8．
54．为了研究特殊四边形之间的关系，老师制作了一个教具（如图①），用钉子将四根木条钉成一个正方形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，左手向右推动框架得到四边形A'BCD'（如图②）．
（1）如图②，连接AA'，DD'，若正方形ABCD的面积为S1，四边形A'BCD'的面积为S2，四边形AA'D'D的面积为S3，则S1，S2，S3之间的数量关系为S2+S3＝S ；
（2）如图③，过D'作D'E∥A'C且D'E=12A'C，连接CE，求证：四边形OCED'是矩形．
【答案】（1）S2+S3＝S；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴A'B＝BC＝CD'＝A'D'．
∴四边形A'BCD'是菱形，
∴OC=12A′C，A'C⊥BD'，
∵D′E=12A′C，
∴D'E＝OC，
∵D'E∥A'C，
∴四边形OCED'是平行四边形，
又∵A'C⊥BD'，
∴∠COD'＝90°，
∴平行四边形OCED'是矩形．
【解答】（1）解：如图，过点A'作A'F⊥AD于点F，延长FA'交BC于点E，
∵AD∥A'D'∥BC，
∴EF⊥BC，
∵∠FAB＝∠ABE＝∠BEF＝90°，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AB＝EF，
∴S2+S3＝A'E×BC+A'F×AD＝EF×AD＝AB×AD＝S1；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴A'B＝BC＝CD'＝A'D'．
∴四边形A'BCD'是菱形，
∴OC=12A′C，A'C⊥BD'，
∵D′E=12A′C，
∴D'E＝OC，
∵D'E∥A'C，
∴四边形OCED'是平行四边形，
又∵A'C⊥BD'，
∴∠COD'＝90°，
∴平行四边形OCED'是矩形．
55．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线CG上一点，AE⊥EF，CF平分∠DCG并交EF于F．
（1）试说明：AE＝EF；
（2）直接写出CF与BE的数量关系．
【答案】（1）见解析；
（2）CF=2BE．
【解答】（1）证明：如图，延长BA到M，使AM＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE（等量代换）．
在△AME与△ECF中，
∠MAE=∠CEFAM=CE∠M=∠FCE，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：∵BM＝BE，∠B＝90°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴ME=2BE，
∵△AME≌△ECF，
∴ME＝CF，
∴CF=2BE，
即CF与BE的数量关系为CF=2BE．
56．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）若AE＝5，请求出EF的长；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
【答案】（1）52；
（2）105°．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠B=∠ADF=90°BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
即∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：EF=AE2+AF2=2AE，
∵AE＝5，
∴EF=2AE=52；
（2）连接PP，如图所示：
∵∠AEB＝75°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠AEB＝15°，
∵△AEF是等腰直角三角形，点P是EF的中点，
∴∠AEF＝∠PAE＝45°，PA＝PE＝PF=12EF，
∴∠PAD＝∠BAD﹣（∠BAE+∠PAE）＝180°﹣（15°+45°）＝30°，
在Rt△EFC中，CP是斜边EF上的中线，
∴PC＝PE＝PF=12EF，
∴PA＝PC，
又∴∠PEC＝180°﹣（∠AEB+∠AEF）＝180°﹣（75°+45°）＝60°，
∴△PEC是等边三角形，
∴∠PCE＝60°，
∴∠PCD＝∠BCD﹣∠PCE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PAD＝∠PCD＝30°，
在△PAD和△PCD中，
PA=PC∠PAD=∠PCDAD=CD，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠ADP＝∠CDP=12∠ADC＝45°，
在△CPD中，∠CPD＝180°﹣（∠PCD+CDP）＝180°﹣（30°+45°）＝105°．
▉题型9 正方形的判定
【知识点的认识】
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
57．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CBD．（4）处可填∠B＝∠D
【答案】D
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
58．下列说法不正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解答】解：A、矩形的对角线相等，
说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，
说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，
说法正确，不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
原说法错误，符合题意；
故选：D．
▉题型10 正方形的判定与性质
【知识点的认识】
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
59．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②FO＝FG；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2＝2OE2；其中正确的是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
∠OCE=∠ODFOC=OD∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴FO＝EO，
∵∠OFE＝∠ODF＝45°，
∴∠DOF＝∠CFE，
设∠DOF＝α，
∴∠OGF＝45°+α，
∵∠COF＝90°﹣α，
当45°+α＝90°﹣α时，α＝22.5°，FO＝FG，
故②不正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14，
故③正确；
④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，
∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，
∵BE＝CF，
∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；
综上所述，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
60．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝32，求正方形DEFG的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB＝92．
∵CG＝32，
∴CE＝62，
连接EG，
∴EG=CE2+CG2=72+18=310，
∴DE=22EG＝35．
∴正方形DEFG的边长为35．题型1 直角三角形斜边上的中线
题型2 菱形的性质
题型3 菱形的判定
题型4 菱形的判定与性质
题型5 矩形的性质
题型6 矩形的判定
题型7 矩形的判定与性质
题型8 正方形的性质
题型9 正方形的判定
题型10 正方形的判定与性质
型号
对角线长
UC﹣80
10cm
UC﹣100
102cm
UC﹣120
15cm
UC﹣150
152cm