沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形优秀课件ppt

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形优秀课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了正方形，正方形的性质，邻边相等，一个角是直角，正方形的定义，轴对称图形，平行四边形，连接PCAC，∴PCEF，∴APPC等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形，矩形、菱形之间的联系和区别； 探索并证明正方形的判定. (重、难点)2. 矩形、菱形之间的联系和区别；会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ ∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又 ∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形既是矩形又是菱形 . ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ；对称轴：.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角.性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 .
例1 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵△BEC 是等边三角形，∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°.
例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分线模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.∵ AC⊥DB，∴ AD = AB = BC = CD.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.∵ AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
例4 已知：如图，点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA' = BB' = CC' = DD'.求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形
证明 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD = DA ，∠A = ∠B =∠C =∠D = 90°.又 ∵ AA' = BB' = CC' = DD'，∴ D'A = A'B = B'C = C'D.∴ Rt△AA'D' ≌Rt△BB'A' .
∴ D'A' = A'B'，∠1 = ∠3.同理：A'B' = B'C'，B'C' = C'D'，C'D' = D'A'.∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'，∴ 四边形 A'B'C'D' 是菱形.∴ ∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D'A'B' = 90°.∴ 四边形 A'B'C'D' 是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC =∠DFC = 90°.又∵∠C = 90°，∴ 四边形 CEDF 是矩形.过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.∵ AD 是∠CAB 的平分线，∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.∴ 四边形 CEDF 为正方形.
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
1．矩形、菱形、正方形不同时具有的性质是(　　)A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．每条对角线平分一组对角
3．[2025威海]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm.
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．
【点易错】本题容易错在不会利用正方形的轴对称性，将两条线段的和转化为一条线段．由于E，F是固定的点，因此可以作点E或点F关于AC所在直线的对称点，利用勾股定理求解即可．
6．下列说法中，正确的是(　　)A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形
7．如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等　b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等 d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(　　)A．①　　B．③　　C．①②　　D．②③
【点拨】①由a得到四边形是平行四边形，添加c得到四边形是菱形，再添加d得到四边形是正方形，故①正确；②由b得到四边形是平行四边形，添加d得到四边形是矩形，再添加c得到四边形是正方形，故②正确；③由a，b都能得到四边形是平行四边形，再添加c得到四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确．
【点易错】由矩形和菱形判定正方形，容易混淆二者需要添加的条件．由矩形得到正方形只需一组邻边相等，由菱形得到正方形只需一个角是直角．
8．[2025六安月考]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.∴菱形AECF是正方形．
9．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，顺次连接E，F，G，H四点，得到四边形EFGH，则下列结论不正确的是(　　)A．四边形EFGH一定是平行四边形B．当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形C．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形D．四边形EFGH可能是正方形
当AC⊥BD时，EH与EF不一定垂直，∴四边形EFGH不一定是矩形，C选项错误，符合题意．当AB＝CD，AB⊥CD时，EH＝EF，EH⊥EF，∴四边形EFGH是正方形，D选项正确，不符合题意．故选C.
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为________．
【点拨】如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x，易知∠AOG＝90°，∴四边形OADG是矩形．∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x.∵点B的坐标为(1，0)，∴OA＝x－1.∵点F的坐标为(0，3)，∴OF＝3.由折叠的性质可得AF＝AD＝x，DE＝EF.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＝OA2＋OF2，∴x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5，∴DG＝OA＝x－1＝4.
11．[2025长沙]如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD且AB＝CD.又∵BE＝DF，∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.又∵AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．
(2)连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
【解】如图，过点E作EH⊥CD于点H.∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，∴CD＝BC＝12，∠B＝∠BCD＝90°.又∵∠EHC＝90°，∴四边形EBCH是矩形．∴EB＝HC＝5，EH＝BC＝12.