初中沪科版（2024）19.1 多边形精品学案及答案

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▉题型1 多边形
【知识点的认识】
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．轴对称图形
2．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是 （填序号）．
3．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形．
（1）求凹四边形ABCD的周长；
（2）连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积．
▉题型2 多边形的对角线
【知识点的认识】
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
4．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 ．
▉题型3 多边形内角与外角
【知识点的认识】
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
5．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
6．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转θ度，接着沿直线前进10米后，再向左转θ度…如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则θ的度数为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七B．八C．九D．十
9．下列说法错误的是（ ）
A．多边形的外角和为360°
B．等边三角形的每一个内角都为60°
C．五边形的内角和为720°
D．正六边形的每一个外角都为60°
10．若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
11．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A．30°B．36°C．40°D．45°
12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．6或7D．5或6或7
13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（ ）边形．
A．6B．7C．8D．9
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
15．如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形．
17．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 ．
18．如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正 边形．
19．如图，已知∠POQ＝50°，正六边形ABCDEF的顶点A，E分别在射线OP、OQ上，则∠OEF+∠OAF＝ ．
20．正六边形的一个内角的度数是 °．
21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是 ．
22．如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 度．
23．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝ ．
24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 ．
25．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，转动的角度为α，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
26．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 ．
27．如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 ．
28．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝100°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
29．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是 边形．
30．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
31．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连接AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．
（1）如图1，若AB∥ON，
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 ；
当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 ；
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
32．按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；
（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数．
题型1 多边形
题型2 多边形的对角线
题型3 多边形内角与外角