初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）8.2 特殊的平行四边形优质导学案及答案

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▉题型1 菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
1．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（ ）
A．8B．15C．10D．6
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
故选：D．
2．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（ ）
A．72°B．54°C．50°D．48°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，CD∥AB，
∵DE＝AD，∠ADE＝36°，
∴DE＝CD，∠A＝∠DEA=12×（180°﹣36°）＝72°，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA＝72°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE=12×（180°﹣72°）＝54°，
故选：B．
3．菱形边长是2cm，一条对角线的长是23cm，则菱形面积是（ ）
A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．23cm2
【答案】D
【解答】解：如图，AB＝2cm，BD=23cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∴OB=12BD=3cm，
∴OA=22−(3)2=1，
∴AC＝2OA＝2，
∴菱形的面积=12×2×23=23(cm2)．
故选：D．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∵E是AB的中点，
∴OE=12AB，
∵OE＝3，
∴AB＝6，
即菱形的边长为6．
故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，点D的坐标为（0，4），则点A的坐标为（ ）
A．(−43，0)B．(43，0)C．（﹣8，0）D．（8，0）
【答案】A
【解答】解：∵D（0，4），
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠DCB＝60°，
∵AD＝AB，AO⊥BD，
∴∠DAO＝∠BAO＝30°，
∴OA=ODtan30°=43，
∴A（﹣43，0）．
故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（ ）
A．485B．15C．245D．23
【答案】C
【解答】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3，
∴AD=CD=32+42=5，
∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴12 AC⋅OD=12AD⋅PM+12CD⋅PN，
∴8×3＝5（PM+PN），
∴PM+PN=245，
故选：C．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（ ）
A．245B．485C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴CO=12AC＝6，BO=12BD＝8，AO⊥BO，
∴BC=62+82=10，
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×16×12＝96，
∵S菱形ABCD＝BC×AH，
∴BC×AH＝96，
∴AH=9610=485
故选：B．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝16，
∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC=8，
∵AB＝10，OA＝8，
∴OB=AB2−OA2=6，
∵DE⊥BC，OB=OD=12BD，
∴OE=12BD=OB=6．
故选：A．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（ ）
A．2.4B．4.8C．12D．24
【答案】B
【解答】解：设AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵菱形ABCD的面积=12AC•BD＝AB•DH，
∴12×8×6＝5DH，
∴DH=245=4.8，
故选：B．
▉题型2 菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
10．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
11．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件，使得▱ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝BCD．∠ABD＝∠CBD
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，但四边形ABCD不一定是菱形，
故A选项不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故B选项符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故C选项符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故D选项符合题意，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】见解析．
【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC＝BD＝CD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
13．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD．
（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；
（2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析；
（2）当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE．
根据平移的性质得到：BF＝EC．
在△ABF与△DEC中，
AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC，
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠DGF，
∴AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形；
（2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下：
∵t＝3，
∴CF＝10﹣3×2＝4（cm），
∵AC＝4cm，
∴CF＝AC，
∵ACB＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF＝AC，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形．
▉题型3 菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4B．8C．6D．10
【答案】B
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO=12AC＝2，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，且OC＝OD，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OD＝DE＝CE＝OC＝2，
∴四边形CODE的周长＝4×2＝8，
故选：B．
15．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填AD＝CBD．（4）处可填∠A＝90°
【答案】C
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意；
故选：C．
16．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=CD2−OC2=3，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD=3，∠OCE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=22+(3)2=7，
即AE的长为7．
17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC＝6，
∴CD=OD2+OC2=10，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝10．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．
【答案】（1）见解析；
（2）47．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．
∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝8，
∵AB＝8，
∴AP＝4，
过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM＝23，AM＝2，
∵AD＝12，
∴DM＝10，
∴PD=PM2+DM2=(23)2+102=47．
▉题型4 矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（ ）
A．55°B．35°C．45°D．20°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠OAD=12(180°−∠AOD)=12×(180°−110°)=35°，
故选：B．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC=12AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
故选：C．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1，
∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE，
∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE，
∵∠ACE+∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝30°．
故选：C．
22．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA＝30°，则∠BOE的度数为（ ）
A．45°B．60°C．65°D．75°
【答案】D
【解答】证明：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO＝BA，
∴BO＝BE
∵AD∥BC
∴∠OBE＝∠ADO＝30°
∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
故选：D．
23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝BEB．OB=12CE
C．△ACE是等腰三角形D．BC=12AE
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，BO＝DO=12BD，
∵CE∥BD，DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD＝AC，
∴OB=12CE，
∴△ACE是等腰三角形，
故选：D．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（ ）
A．125B．245C．5D．285
【答案】B
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，OA＝OC=12AC，OD＝OB=12BD，且AC＝BD，
∴BD=AB2+AD2=62+82=10，
∴OA＝OD＝5，
∵S△ABD=12AB•AD=12×6×8＝24，
∴S△AOD＝S△AOB=12S△ABD＝12，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
∴S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF＝S△AOD，
∴12×5PE+12×5PF＝12，
∴PE+PF=245，
故选：B．
25．如图，矩形ABCD中，顶点A（2，5），B（0，4），C（2，0）．将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转90°，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(−3，−3)B．（4，1）C．(3，−3)D．（﹣4，﹣1）
【答案】D
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，如图，
由条件可知OB＝4，OE＝5，OC＝AE＝2，
∴BE＝1，
∵矩形ABCD，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE+∠OBC＝∠OCB+∠DCF＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠ABE+∠DCF＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴DF＝BE＝1，CF＝AE＝2，
∴OF＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转90°，
∴第1次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，4），
第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣4，﹣1），
第3次旋转结束时，点D的坐标为（1，﹣4），
第4次旋转结束时，点D的坐标为（4，1），
第5次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，4），
…，
∴旋转4次一个循环，
∵70÷4＝17……2，
∴第70秒旋转结束时，点D的坐标为（﹣4，﹣1），
故选：D．
▉题型5 矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
26．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
27．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（ ）
A．OB＝5B．OD＝5C．AB＝5D．BC＝8
【答案】B
【解答】解：添加OD＝5，
理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5，
∴OB＝AO＝OC＝5，
∵OD＝5，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴AC＝BD＝10，
∴四边形ABCD为矩形，
故选：B．
28．对角线相等且互相平分的四边形一定是（ ）
A．梯形B．矩形
C．菱形D．平行四边形
【答案】B
【解答】解：对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形，
故选：B．
29．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形
C．两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
C、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形，故选项C符合题意；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
30．如图，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若四边形ENFM是矩形，则AB与CD满足的条件是 AB⊥CD ．
【答案】AB⊥CD．
【解答】解：∵四边形ENFM是矩形，
∴MF⊥ME，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴MF是△ABC的中位线，ME是△ACD的中位线，
∴MF∥AB，ME∥CD，
∴AB⊥ME，
∵ME∥CD，
∴AB⊥CD，
故答案为：AB⊥CD．
31．如图1，△ABC和△DBC都是边长为4的等边三角形．
（1）将△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1，如图2、图3所示，则四边形ABD1C1是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若四边形ABD1C1为矩形，求BB1的值．
【答案】（1）四边形ABD1C1是平行四边形，证明：
根据平移的性质，得到BB1＝CC1，
根据等边三角形的性质，得到AC＝B1D1，∠BB1D1＝∠ACC1，
∴△BB1D1≌△ACC1，
∴AC1＝BD1，
又AB＝C1D1，
∴四边形ABD1C1是平行四边形；
（2）4．
【解答】解：（1）根据平移的性质，得到AB＝C1D1，AB∥C1D1，
∴四边形ABD1C1是平行四边形；
（2）如图，连接BD1，AC1，
∵四边形ABD1C1为矩形，
∴AC＝CD1＝BB1＝B1C1，此时B1，C重合，
∴BB1＝4．
32．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，AE＝CF，DE⊥AB，求证：四边形DEBF是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
▉题型6 矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
33．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．22C．10D．4
【答案】C
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD=12+32=10，
∴CE=10，
故选：C．
34．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（ ）
①线段EF的长度先减小后增大；
②当t=52时，EF的值最小；
③当t＝6时，EF＝5．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解答】解：①如图，连接AP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大，
∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，
∴线段EF的值最小，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP=12AB=52，
∴t=52，
∴当t=52时，EF的值最小，故②符合题意；
③∵t＝6，
∴BP＝6，
如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，
则BH=52，AH=532，
∴PH＝BP﹣BH=72，
∴EF＝AP=AH2−PH2=31.故③不符合题意；
故选：C．
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．2.5B．2.4C．1.2D．1.3
【答案】C
【解答】解：如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=AB2+AC2=32+42=5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PM=12EF=12AP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABC=12BC•AP=12AB•AC，
∴AP=AB⋅ACBC=3×45=2.4，
即AP最短时，AP＝2.4，
∴PM的最小值=12AP＝1.2，
故选：C．
36．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的对角线平分一组对角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】A
【解答】解：A、矩形的对角线相等，故选项A符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，故选项B不符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项C不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等，故选项D不符合题意；
故选：A．
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，在线段AB上有一动点D，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是（ ）
A．先变长后变短B．先变短后变长
C．一直变短D．始终保持不变
【答案】B
【解答】解：连接CD，
∵∠C＝90°，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴∠C＝∠DFC＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，CD最短，
即EF最短，
∴在点D从点A运动到点B的过程中，CD先变短后变长，
即线段EF的长度先变短后变长，
故选：B．
38．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 154 ．
【答案】154．
【解答】解：作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，
∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDEH为矩形，BC=BD2−CD2=4，
∴EH＝CD＝3，ED＝HC，
∵BF＝DE，CE＝CF，
设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得x=258，
∴ED=HC=4−258=78，
∴FH=CF−HC=94，
∴EF=EH2+FH2=32+(94)2=154，
故答案为：154．
▉题型7 正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
39．下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
40．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=2EC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为22；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD=2PF=2EC，①正确；
延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF
在△ANP与△FPE中，NP=EP∠ANP=∠EPFAN=PF，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF；故②正确；
∠PFE＝∠BAP，
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM，
∴∠PMF＝∠ANP＝90°，
∴AP⊥EF，故③正确；
∵矩形PECF中，EF＝CP，
∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小，
此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4，
则CP=22BC＝22，
∴EF的最小值为22，故④正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误．
故选：C．
41．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=32，PB=10．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝8；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵EA⊥PA，
∴∠EAP＝∠BAD＝90°
∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
∵AE＝AP，
在△APD和△AEB中，
AE=AP∠EAB=∠PADAB=AD，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；
②∵AE＝AP＝32，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE=2AE＝6，
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；
③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，
在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，
∴BE=PB2−PE2=8，故③成立；
④如图，连接BD，
由②得：PE＝6，BE＝8，
∵△APD≌△AEB，
∴S△APD+S△APB
＝S△AEB+S△APB
＝S四边形AEBP
＝S△AEP+S△EPB
=12•AE•AP+12•PE•BE
=12×32×32+12×6×8
＝33．故④成立；
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝8，
∴S△BDP=12×PD•BE＝32，
∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，
∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，
∴CD2＝130，
∴CD=130，故⑤不成立．
综上所述，正确结论的序号是①②③④，共4个，
故选：C．
42．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上，若∠ECD＝49°，∠AEF＝34°，则∠B＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵∠AEF＝34°，
∴∠DEC＝90°﹣∠AEF＝56°，
在△DEC中，∠ECD＝49°，
∴∠D＝180°﹣（∠DEC+∠ECD）＝180°﹣（56°+49°）＝75°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°．
故选：C．
43．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
【答案】B
【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
44．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．1.5D．3
【答案】A
【解答】解：延长EF交CD于点M，连接BM，如图所示：

设AE＝a，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣a，
根据轴对称的性质得：EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°，
∴∠BFM＝∠BFE＝90°，BF＝BC＝3，
在Rt△BFM和Rt△BCM中，
BF=BCBM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF，
∵∠DFC＝90°，
∴∠MFD+∠MFC＝90°，∠MDF+∠MCF＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，
∴MF＝MD，
∴MC＝MF＝MD=12CD=32，
∴EM＝EF+MF=a+32，
在Rt△DEM中，DE＝3﹣a，EM=a+32，MD=32，
由勾股定理得：EM2＝DE2+MD2，
∴(a+32)2=(3−a)2+(32)2，
解得：a＝1，
∴AE＝1．
故选：A．
▉题型8 正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
45．下列说法不正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互线垂直的矩形是正方形
D．对角线相等的矩形是正方形
【答案】D
【解答】解：由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
故A正确；
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故B正确；
∵对角线互相垂直的矩形，同时又是菱形，
∴对角线互相垂直的矩形是正方形，
故C正确；
由矩形的性质可知，矩形的对称线相等，
∴对角线相等的矩形不一定是正方形，
故D不正确；
故选：D．
46．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AC＝BDD．DC⊥BC
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
A、AB＝AD时，不能判定菱形ABCD是正方形，故选项A符合题意；
B、∵OA＝OB，
∴AC＝BD
∴菱形ABCD是正方形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形，故选项C不符合题意；
D、∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；
故选：A．
47．给出下列判断，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形，
故A判断错误，该选项不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，而正方形需满足对角线相等且垂直，仅四边相等无法确定为正方形，
故B判断错误，该选项不符合题意；
C．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如对角线垂直但邻边不等的“风筝”四边形，
故C判断错误，该选项不符合题意；
D．根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形必为平行四边形，
故D判断正确，该选项符合题意；
故选：D．
▉题型9 正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
48．如图，正方形ABCD中对角线AC，BD交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF．给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的14；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】C
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠BOF，
∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；
②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；
③∵△COE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∵∠CEO≠90°，
∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；
④∵△COE≌△BOF，
∴CE＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴DE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选：C．
49．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）245．
【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵DE＝BF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：∵正方形ABCD的面积为32，
∴12AC⋅BD=32，
∴12×4BO2=32，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝4，
∴AC＝2AO＝8，
∵BF＝1，
∴OF＝BO﹣BF＝4﹣1＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积=12AC⋅EF=12×8×6=24，
在Rt△AOE中，
AE=AO2+OE2=42+32=5，
设点F到线段AE的距离为h，
∴菱形AFCE的面积＝AE•h＝24，
即5h＝24，
∴h=245，
∴即点F到线段AE的距离为245．
50．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝ 40 ；
②当菱形的“接近度”＝ 0 时，菱形就是正方形；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为mn（m＜n），则：
①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝ 12 ；
②在这种情况下，菱形的“接近度”＝ 1 时，菱形就是正方形；
（3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”．
①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． ×
②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为ba，于是ba越小，矩形越接近于正方形． × ．
【答案】（1）①40；
②0；
（2）①12；
②1；
（3）①×；
②×，理由见解析．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40，
故答案为：40；
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形，
故答案为：0；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为mn（m＜n），则：
①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”=60120=12；
故答案为：12；
②当菱形的“接近度”＝1时，菱形就是正方形，
故答案为：1；
（3）①×．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
②×，理由如下：
∵ba越接近1，矩形越接近于正方形；
∴当ba=1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的ba越接近1，矩形才越接近正方形，
故答案为：×．
51．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F．
（1）求证：四边形DECF为正方形；
（2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积．
【答案】（1）见解析过程；
（2）4．
【解答】（1）证明：过D作DN⊥AB，连接CD，
∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形DECF是矩形，
∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DF＝DN，DE＝DN，
∴FD＝ED，
∴四边形DECF是正方形；
（2）解：∵BC＝8，AC＝6，
∴AB=AC2+BC2=64+36=10，
∵S△ABC=12×BC•DE+12×AC•DF+12×AB•DN，
∴12×6×8=12×（6+8+10）×DF，
∴DF＝2，
∴正方形DECF的面积＝DF2＝4．
题型1 菱形的性质
题型2 菱形的判定
题型3 菱形的判定与性质
题型4 矩形的性质
题型5 矩形的判定
题型6 矩形的判定与性质
题型7 正方形的性质
题型8 正方形的判定
题型9 正方形的判定与性质