初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）12.7 直角三角形课堂检测

这是一份初中数学北京版（2024）八年级上册（2024）12.7 直角三角形课堂检测，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等．其中能判断两直角三角形全等的是（ ）
A . ① B . ② C . ③ D . ①②
2.下面四个条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A . 两条直角边分别相等
B . 两个锐角分别相等
C . 斜边和一直角边对应相等
D . 一锐角和斜边分别相等
3.下列说法中，错误的是（ ）
A . 三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等
B . 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等
C . 有一个角为 60°的等腰三角形必定是等边三角形
D . 每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理
4.如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，∠BCD=55°，则∠BAC的度数为（ ）
A . 65° B . 55° C . 45° D . 35°
5.由下列线段 a ， b ， c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A . a＝2，b＝2，c＝3
B . a＝7，b＝24，c＝25
C . a=3 ， b=4 ，c=5
D . a=15 ， b=112 ，c=113
6.如图，过点D分别作 DE⊥AB,DF⊥AC ， 垂足分别为点E，F，且 DE=DF ， 连接 EF与 AD相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ）
A . OE=OF B . AE=AF C . OD=OF D .∠EAD=∠FAD
7.下列命题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；③正五边形有五条对称轴；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；⑤在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（ ）个．
A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
二、填空题
1.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
2.一根电线杆在一次台风中在离高地面3米高处折断倒下，杆的顶端落在离杆的底端4米处，电线杆在折断之前高 ________ 米．
3.已知三角形三边长分别为 b2+25a2 、 4a2+9b2 、 9a2+16b2 （a＞0，b＞0），请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为 ________ （用含a、b的代数式表示）．
4.一块梯形木板 ABCD，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=4，BC=10，CD=6 ， 按如图方式设计一个矩形桌面 EFCG（点 E在边 AB上）．当 EF= ________ 时，矩形桌面面积最大．
5.我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是 129−1 ， 129+1；勾是5时，股和弦的算式分别是 1225−1 ， 1225+1 ． 根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ________ ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且 m>6）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ________ ．
6.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= ________
7.在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，3），以AB为直角边作等腰Rt△ABC，若点C在第一象限内，则点C的坐标是 ________ ．
8.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= ________ ，△PQR的周长等于 ________ ．
9.如图，一圆柱体的底面周长为 24cm ，高 AB 为 4cm ， BC 是直径，一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是 ________ ．
10.x2+y2+x2-6x+9+y2+x2+y2-6y+9的最小值为 ________
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1） 画出△ABC关于直线MN对称的△A 1B 1C 1；
（2） 写出AA 1的长度；
（3） 如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC最小．
3.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
（1） 在网格中作△ABC关于直线l对称的△DEF．
（2） 结合所画图形，在直线l上作出点P，使PA+PC的值最小，若这个最小值为a，求a 2的值．
4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
（1） 在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= 10 .
（2） 在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= 5 ，AC= 20 ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.
四、综合题
1.探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连接DE．
（1） 当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2） 当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3） 深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
2.我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1） 如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2；
（2） 如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
3.如图：
（1） 问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式 x2+4+(12−x)2+9的最小值”；小强同学发现 x2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， （12-x）2+9可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 x2+4+(12−x)2+9的最小值是 ________
（2） 类比迁移：已知a，b均为正数，且a + b = 4.求 a2+4+b2+1的最小值 ________
（3） 方法应用：已知a，b均为正数，且 4a2+b2，9a2+b2，a2+4b2是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）
4.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.
（1） 判断∠ADC是否是直角，并说明理由；
（2） 试求四边形草坪ABCD的面积.
5.物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 A ， 一端拴在滑块 B上，另一端拴在物体 C上，滑块 B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 B的左右滑动来调节物体 C的升降．
实验初始状态如图1所示，物体 C静止在直轨道上，物体 C到滑块 B的水平距离是6 dm ， 物体 C到定滑轮 A的垂直距离是8 dm ． （实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
（1） 求绳子的总长度；
（2） 如图2，若物体 C升高7 dm ， 求滑块 B向左滑动的距离．
五、解答题
1.已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1） 若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC= ________ 度；
（2） 若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3） 在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．
2.长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
3.如图 1 ， 在长方形纸片 ABCD中， ∠B=∠C=∠D=90° ， AB=CD=6 ， BC=AD=8 ， 点 P是射线 BC上的动点，连接 AP ， △AQP是由 △ABP沿 AP翻折所得到的图形．
（1） 若连接 AC ， 当点 Q落在 AC上时， QC的长为 ；
（2） 如图 2 ， 点 M是 DC的中点，连接 AM．当点 Q落在 AM上时，求 BP的长；
（3） 如图 3 ， 点 M是 DC的中点，连接 MP ， MQ ． 当 △PMQ是以 PM为腰的等腰三角形时，请直接写出 BP的长．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.阅读：
材料一：含 30°角的直角三角形， 30°角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 △ABC中， ∠BAC=120° ， 点 D是边 BC上的一点．
（1） 已知 AB=AC ．
①如图1，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE、DE ． 若 ∠DEC=90° ， 求 BDCD的值；
②如图2，以 AD为边在其右侧作 ∠DAF=60° ， 交边 BC于点 F ， 若 CF=4 ， BC=10 ， 求 DF之长；
（2） 如图3，点 D是边 BC的中点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 120°得到线段 AE ， 连接 CE ， 点 M是边 AB上一点，连接 CM ， 满足 ∠ACE=∠AMC ， 已知 CE=6 ， AM=4 ， 求 BM之长．
3.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.