寒假讲义14 多边形和圆的初步认识（巩固培优）-2026年七年级数学（全国通用）（含答案）

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作业14 多边形和圆的初步认识
一、多边形及有关概念
1. 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形．
2. 如下图，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角）；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线．
3. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形．
二、圆
1. 如下图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．
2. 圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 多边形的概念与分类
1.下列图形中不是多边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
题型二 正多边形的概念辨析
2.下列说法中，正确的个数是（ ）
①等腰三角形是正多边形；
②等边三角形是正多边形；
③长方形是正多边形；
④正方形是正多边形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：由题意可得，
等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意，
等边三角形是正多边形，故②符合题意，
长方形不是正多边形，故③错误不符合题意，
正方形是正多边形，故④符合题意，
故选：B．
题型三 多边形截角后的边数问题
3．如图，四边形ABCD去掉∠C后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．

【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析．
【解析】设线段BC上一点为N（点N不与点B，点C重合），线段CD上一点为M（点M不与点C，点D重合）．
①如图所示，沿直线BD切割，得到△ABD，新图形为三角形．

②如图所示，沿直线MN切割，得到五边形ABNMD，新图形为五边形．

③如图所示，沿直线DN或BM切割，得到四边形ABND或四边形ABMD，新图形为四边形．

综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形．
【点睛】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键．

题型四 多边形的周长与面积问题
4．将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（ ）
A．减少B．不变C．增加D．无法确定
【答案】B
【解析】解：如图：

因为剪去一个小正方形ABCD后，剪掉了AB与AC的长度，但又多出了BD与CD的长度，并且AB=CD=BD=AC，
同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变，
故选：B．
题型五 多边形对角线的条数问题
5．若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】9
【解析】解：设多边形的边数为n，
则n(n-3)2n=3，
解得：n=9．
故答案为：9．
题型六 对角线分成的三角形个数问题
6．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于n边形n>3，过一个顶点可以作 条对角线，它把n边形分成 个三角形；（用含n的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1)1；2
(2)2；3
(3)n-3；n-2
(4)103
【解析】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作4-3=1条对角线，它把四边形分成4-2=2个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作5-3=2条对角线，它把五边形分成5-2=3个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作6-3=3条对角线，它把六边形分成6-2=4个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作7-3=4条对角线，它把七边形分成7-2=5个三角形；
∴经过n边形的一个顶点可以作n-3条对角线，它把n边形分成n-2个三角形；
故答案为：n-3，n-2．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，n-3=100，
∴n=103，
故答案为：103．
题型七 圆的基本概念辨析
7．下列说法正确的是（ ）
A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧
B．圆上任意两点间的线段叫作弧
C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧
D．任意两点间的部分叫作弧
【答案】A
【解析】解：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦．
观察四个选项，只有选项A说法正确，
故选：A．
题型八 圆的周长与面积问题
8．如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ．
【答案】3:4
【解析】解：半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米)
圆面积为3.14×22=12.56（平方厘米）
阴影部分的面积为3.14×22×34
=3.14×3
=9.42（平方厘米)
则9.42:12.56=3:4．
故答案为：3:4
题型九 圆心角概念辨析及简单运算
9．把一个圆分成若干个扇形，若其中一个扇形占整个圆的25，那么这个扇形的圆心角为（ ）
A．144°B．288°C．72°D．36°
【答案】A
【解析】∵在一个扇形统计图中，有一个扇形占整个圆的25，
∴这个扇形圆心角是：360°×25=144°．
故选A．
1．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是 1：2：3：2 ．
【答案】1：2：3：2
【解析】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是1：2：3：2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1：2：3：2．
故答案为：1：2：3：2．
2．定义，有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若CB＝CD＝4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是 5 ．
【答案】5．
【解析】解：①当60°＜∠A＜90°时，如图：
过点D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC＝∠B＝∠DEA，
∴EB＝DF，DE＝FB，
∵∠A＝∠B＝∠C，∠DFC＝∠B＝∠DEA，
∴△DAE∽△DCF，AD＝DE，DC＝DF＝4，
设AD＝x，AB＝y，
∴AE＝y﹣4，CF＝4﹣x，
∵△DAE∽△DCF，
∴AECF=ADCD，
∴y-44-x=x4，
∴y=14x2+x+4=-14（x﹣2）2+5，
∴当x＝2时，y的最大值是5，
即：当AD＝2时，AB的最大值为5；
②当∠A＝90°时，三等角四边形是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝4，
③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图：
同①可得：BE＝DF＝CD＝4，
∴AE＝4﹣AB＞0，
∴AB＜4，
综上所述，当AD＝2时，AB的长最大，最大值是5；
3．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：四个．如图所示：
4．如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为R2的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（采用挖填转换法）
①假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔．
则剩下部分的重力为G′＝πR2hρg﹣2π•（R2）2hρg=12πR2hρg
如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．
②由于左边挖去了一个半径为R2的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为R2的小圆孔，
则它的重力为G2＝π•（R2）2hρg=14πR2hρg，重心在O2上，且OO2=R2，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G2•O2O′＝G′•OO′，即14πR2hρg•（R2-OO′）=12πR2hρg•OO′，解得OO′=R6．
5．如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
【答案】见试题解答内容
【解析】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，
∵A3B1＝B1A4，
∴S△A1A3B1＝S△A1B1A4，
又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，
∴S△A1A2A3＝S△A1A4A5，
同理S△A1A2A3＝S△A3A4A5，
∴S△A1A4A5＝S△A3A4A5，
∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，
∴A1A3∥A4A5，
同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．
提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP=12AD时（如图②）：
∵AP=12AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=12S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP=12AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=12S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD-12S△ABD-12S△CDA
＝S四边形ABCD-12（S四边形ABCD﹣S△DBC）-12（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=12S△DBC+12S△ABC．
（2）当AP=13AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=16AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC=16S△DBC+56S△ABC ；
（4）一般地，当AP=1nAD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=mnAD（0≤mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（2）∵AP=13AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=13S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP=23AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=23S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD-13S△ABD-23S△CDA
＝S四边形ABCD-13（S四边形ABCD﹣S△DBC）-23（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=13S△DBC+23S△ABC．
∴S△PBC=13S△DBC+23S△ABC
（3）S△PBC=16S△DBC+56S△ABC；
（4）S△PBC=1nS△DBC+n-1nS△ABC；
∵AP=1nAD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=1nS△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP=n-1nAD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=n-1nS△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD-1nS△ABD-n-1nS△CDA
＝S四边形ABCD-1n（S四边形ABCD﹣S△DBC）-n-1n（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=1nS△DBC+n-1nS△ABC．
∴S△PBC=1nS△DBC+n-1nS△ABC
问题解决：S△PBC=mnS△DBC+n-mnS△ABC．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：连接OD，
∵OC＝OD，∠C＝40°，
∴∠ODC＝∠C＝40°，
∵AB＝2DE，OD=12AB，
∴OD＝DE，
∵∠ODC是△DOE的外角，
∴∠E＝∠EOD=12∠ODC＝20°，
∵∠AOC是△COE的外角，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
8．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，
则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．
答：第四条边长的式子是56﹣8a．
（2）当a＝7cm时不是四边形，
因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，
三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，
由于7+16＝23，所以，图形是线段．
答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
9．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫作正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．
（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”；
（2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝ 42 ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1） ；（用含n的式子表示）
（3）已知1a3=13-14，1a4=14-15，1a5=15-16，…，且1a3+1a4+1a5+⋯+1an=97300，则n＝ 99 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）如图所示：
（2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）；（用含n的式子表示）
（3）∵1a3=13-14，1a4=14-15，1a5=15-16，…，且1a3+1a4+1a5+⋯+1an=97300，
∴13-1n+1=97300，
解得n＝99．
故答案为：42，n（n+1）；99．
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1．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：答案不唯一，如：
（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；
（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；
（3）含5点的最小圆半径；
（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；
（5）连接任意两点线段长度中的最小值．
2．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2=12πa=12l；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ 13l ；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ 14l ；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ 1nl ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（2）13l；
（3）14l；
（4）1nl；1n；
每个小圆面积＝π（12•1na）2=14•πa2n2，而大圆的面积＝π（12•a）2=14πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的1n2．