寒假讲义11 整式的加减（巩固培优）-2026年七年级数学（全国通用）（含答案）

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作业寒假作业11 整式的加减
一、同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．
二、合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．
合并同类项的一般步骤：
三、去括号
1. 去括号方法
一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加．如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的乘数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2. 依据：分配律a(b+c)=ab+ac.
3. 多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
四、整式的加减
整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
应用整式加减的运算法则化简求值时，一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为“一化、二代、三计算”．在具体运算中，也可以先将同类项合并，再去括号，但是要按运算顺序去做．例如，-2(x-3x+5x-7x+6)=-2(-4x+6)=8x-12．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 判断同类项
1.给下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A．-2x2y与2xy2B．5x2y与-0.5x2z
C．-0.5xy与xyzD．3mn与-4nm
题型二 根据同类项的概念求字母的值
2.已知23x2mym+1与3xny3是同类项，则m-n的值为 ．
题型三 合并同类项
3．先合并同类项，再求代数式的值：
已知a-122+b+1=0，求6a2b-3ab2-5a2b+4ab2的值．
题型四 去括号、添括号
4．p-[q-2p-(p+q)]去括号后应为（ ）
A．-2pB．4pC．2pD．2p-2q
题型五 整式的加减运算
5．已知两个一次式分别是5m-6+3n和-7m+3n-12．
(1)求5m-6+3n与-7m+3n-12的和；
(2)当m和n为正整数时，5m-6+3n减去-7m+3n-12的差能否被6整除？请说明理由．
题型六 整式的化简求值
6．已知3x2-4xy+7y2-2m=-17，x2+5xy+6y2-m=12，则式子x2-14xy-5y2的值为（ ）
A．-41B．-412C．-72D．72
题型七 整式加减中的无关性问题
7．已知a，b，c，d为常数，P=ax2+by+x，Q=6x2+3y+cx，若3P+Q的取值与无关，P-2Q是不含y的多项式，且bx-a+dx-c=5恒成立，则ad+bc的值为（ ）
A．-6B．0C．6D．5
题型八 整式加减中的不含某项问题
8．已知关于x、y的多项式5x2-2xy2-3xy+4y2+9xy-2y2-2mxy2+7x2
(1)若该多项式不含三次项，求m的值；
(2)在（1）的条件下，当x2+y2=13，xy=-6时，求该多项式的值．
题型九 整式加减中的误看问题
9．小明做一道数学题“已知两个多项式A、B．A=⋯，B=x2+3x-2，计算3A+B”，小明误把“3A+B”看成“A+3B”，求得的结果为5x2-2x+3．
(1)请求出3A+B的正确结果；
(2)若多项式C=mx2-nx+1且A-C的结果不含x2项和x项，求m、n的值．
题型十 整式加减中的遮挡问题
10．某老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数“圆”没有写清楚．
(1)小明认为“■”是“-1”，请求出这道题的结果；
(2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题：
①小刚说：“当x的值是-1时，这道题的值为-2”，求此时系数“■”的值；
②小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数“■”的值．
题型十一 整式加减中的规律探索
11．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图1中“△”的个数为1=3×1-2，“★”的个数为3=6×1-3；图2中“△”的个数为4=3×2-2，“★”的个数为9=6×2-3；图3中“△”的个数为7=3×3-2，“★”的个数为15=6×3-3，…，
(1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”；
(2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”；
(3)设图n中有x个“△”，y个“★”．
①当x=28时，y的值是多少？
②试求y与x之间的数量关系．
题型十二 整式加减中的新定义问题
12．文化情境·数学文化现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“五丁二⊤三丙二⊥二七甲二乙二”来表示相当于d25-c23+a2b227的代数式，观察其中的规律，化简“六六乙二⊥三乙二⊤甲丙二”，后得（ ）
A．4b23-c2aB．2b23+c2aC．4b2-ac2D．-2b2+ac2
题型十三 整式加减中的多结论问题
13．对两个整式A=2x+y，B=2x-y，进行如下操作：记Q1=A+B，称为第一次操作；记Q2=Q1+2B，称为第二次操作；记Q3=Q2+3A，称为第三次操作；记Q4=Q3+4B，称为第四次操作……下列说法中错误的个数是（ ）
①Q3=13x+y；
②若x=2y，则Q2024=Q2025；
③若x=-y=2，则不存在正整数m，使得Qm是10的倍数．
A．0B．1C．2D．3
题型十四 整式加减的应用
14．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB=100米，BC=200米．为方便职工上下班，该公司接送车打算只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点AB．点BC．A、B之间D．B、C之间
1．已知2b﹣a＜3，2a﹣b＜5，化简﹣|2b﹣a﹣7|﹣|b﹣2a+8|+|a+b﹣9|＝ ．
2．如果一个四位自然数M=abcd的各数位上的数字互不相等，且满足ab+cd=130，则称这个四位数为“大吉数”．若36m4是“大吉数”，则m＝ .若一个“大吉数”M的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被11整除，则满足条件的M的最大值是 ．
3．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x=-12，y＝1．
4．由于看错了符号，某学生把一个代数式减去﹣3x2+3y2+4z2误认为加上﹣3x2+3y2+4z2，得出答案2x2﹣3y2﹣z2，你能求出正确的答案吗？（请写出过程）
5．已知：|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）写出a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：x甲，x乙，x丙，当t＞5时，求式子|x甲-x乙|+|x丙-x甲|-|x丙-x乙|t-5的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
6．已知三角形的第一边长为3a+2b，第二边比第一边短2a，第三条边比第二边的2倍还多a﹣b．
（1）求第二条边和第三条边；
（2）求这个三角形的周长．
7．小天同学看到如下的阅读材料：
对于一个正数x，以下给出了判断正数x是否为7的倍数的一种方法：每次划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉这个数字的两倍相减得到它们的差，称为一次操作，以此类推，直到数变为100以内的数为止．若该数是7的倍数，则最初的数x就是7的倍数，否则，数x就不是7的倍数．以x＝266为例，经过第一次操作得到14，因为14是7的倍数，所以266是7的倍数．当数x的位数更多时，这种方法仍然适用．
小天尝试说明该方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．
（1）请你补全小天列出的表格：
（2）abc表示100a+10b+c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当M(abc)是7的倍数时，abc也是7的倍数．
8．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号abcd的意义是abcd=ad﹣bc．
例如：1234=1×4﹣2×3＝﹣2．
（1）按照这个规定，请你计算56-28的值．
（2）按照这个规定，请你计算当|x+12|+（y﹣2）2＝0时，2x2-yx2+y3-1值．
9．【方法】
有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3．
【应用】
若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝ ；
（2）若A＝4x2﹣5（2x﹣3），求关于x的方程B＝9的解；
【延伸】
（3）已知M＝x﹣2（m﹣4）x2+7，M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的整式，满足N＝3x+7，求m的值．
10．有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中x=12，y=-1”．甲同学把“x=12”错抄成“x=-12”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
11．某个体商贩在一次买卖中同时买进两件上衣，每件都以a元出售，若按成本计算，一件盈利25%，另一件亏本25%，那么该商贩在这次买卖过程中是赚了还是赔本了？赚或赔多少？
12．某校初二年级有A、B、C三个课外活动小组，各组人数相等，但A中的女生比B中的女生多4名，B中的女生比C中的女生多1名．如果从A调10人去B中，再从B调10人去C中，最后从C调10人回A中，结果各组的女生人数都相等．已知从C调入A的学生中只有2名女生．问分别从A，B调出的人数中各有几名女生？
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1．扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由．
2．数学活动课“自然数被3整除的规律”的探究学习结束后，同学们梳理了如下的学习方法：
甲：我学会用“举例一一观察一猜想一一验证”的方法对“自然数被3整除的规律”进行探究：先列举一些简单的可以被3整除的数，如12，54，126，345，1200，⋯，观察这些数的规律，提出一个猜想，然后用一般性的式子去验证这个规律．
乙：我学会从推理的角度进行探究性的学习：
第一步：先思考如何简洁地表示一个自然数？
比如：两位数ab=10a+b，三位数abc=100a+10b+c，⋯
第二步：再思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除？
先看两位数ab=10a+b的情形：
要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从ab=10a+b先凑出能被3整除的数9a，根据ab=10a+b=9a+a+b，可知a+b一定要被3整除；
类似地，三位数、四位数…也用同样的方法进行思考，最后获得自然数被3整除的规律．
（1）根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果；
（2）若自然数20250x13能被11整除，求x的值．计算：■x2+6x+8-32x+x2-1
解：
x
x的表达式
第一次操作得到的差，记为M（x）
266
266＝10×26+6
M（266）＝26﹣2×6
875
875＝
M（875）＝
…
…
…