寒假讲义10 整式（巩固培优）-2026年七年级数学（全国通用）（含答案）

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作业10 整式
知识点1 单项式
1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0．
知识点2 多项式
1.定义：几个单项式的和叫作多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式．
3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
知识点3 整式
1.定义：单项式与多项式统称整式．
2.单项式、多项式与整式的关系如图所示．
3. 判断整式、单项式及多项式的方法
（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；
（2）多项式是几个单项式的和，多项式不包含单项式；
（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一 单项式的定义
1.下列代数式：①23；②m；③34xy2；④2x+3y3；⑤abm；⑥6x+3y；⑦xπ，其中是单项式的是 （只填序号）．
【答案】①②③⑦
【解析】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式
则是单项式的是①23；②m；③34xy2；⑦xπ，
故答案为：①②③⑦．
题型二 单项式的系数、次数
2.①单项式-π2x22的系数是-12；②ab的次数、系数都是1；③34与4a都是单项式；④单项式的2πr系数是2π．以上说法中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】解：①单项式-π2x22的系数是-π22，故此选项错误；②ab的次数是2、系数是1，故此选项错误；
③4a不是单项式，故此选项错误；④单项式2πr的系数是2π，此选项正确，
故正确的有1个．
故选：B．
题型三 判断多项式
3．在代数式①x2y；②a2-ab+1b;③3n，④12x+1中，下列判断正确的是（ ）
A．①③是单项式B．②是二次三项式C．②④是多项式D．①④是整式
【答案】D
【解析】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式；
选项A、B、C错误，选项D正确．
故选：D．

题型四 判断多项式的项与次数
4．多项式3ab-2ab2+310的最高次项是 ．
【答案】-15ab2
【解析】解：3ab-2ab2+310=310ab-15ab2+310，
∴多项式的最高次项是：-15ab2，
故答案为：-15ab2．
题型五 求多项式的系数、次数求字母的值
5．已知a+10x3+cx2-2x+5是关于x的二次多项式，且实数a，b，c满足c-182=-a+b，则a-b+c= ．
【答案】-2
【解析】解：∵a+10x3+cx2-2x+5是关于x的二次多项式，
∴a+10=0，c≠0，
∴a=-10，c≠0．
∵c-182=-a+b，
∴c-182+a+b=0，
∴c=18，a+b=0，
∴b=10，
∴a-b+c=-10-10+18=-2．
故答案为：-2．
题型六 整式的判断
6．下列式子：①x2-x+1；②m2n+mn-1；③x4+1x+2；④5-x2；⑤-x2．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个．
【答案】 3 ② 4
【解析】多项式有x2-x+1，m2n+mn-1，5-x2，一共有3个；
因为x2-x+1是二次三项式，m2n+mn-1是三次三项式，5-x2是二次二项式，所以次数最高的多项式是②；
整式有x2-x+1，m2n+mn-1，5-x2，-x2，一共有4个．
故答案为：3，②，4．
题型七 将多项式按某个字母的升幂或降幂排列
7．多项式3-2xy+6x2y-5x3y2-4x4y是按照( ).
A．按字母x升幂排列B．按字母y升幂排列
C．按字母x降幂排列D．按字母y降幂排列
【答案】A
【解析】多项式3-2xy+6x2y-5x3y2-4x4y中，x的次数依次为1,2,3,4，y的次数依次为1,1,2,1，
故选A.
题型八 整式中的规律探究
8．按一定规律排列的整式：x+y2，x3+y4，x5+y6，x7+y8，x9+y10，…，第n个多项式是（ ）
A．x2n+y2n-1B．x2n+1+y2nC．x2n-1+yn+1D．x2n-1+y2n
【答案】D
【解析】解：∵多项式的x项的系数依次为1、3、5，……，y项的次数依次为2、4、6，……，
∴第n个多项式的x项的系数为2n-1，y项次数2n，
∴第n个多项式是x2n-1+y2n．
故选：D．
1．在代数式x2+5，﹣1，﹣3x+2，π，5x，x2+1x+1，5x中，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解析】解：∵单项式有：﹣1，π，5x，多项式有：x2+5，﹣3x+2，
∴整式有：﹣1，π，5x，x2+5，﹣3x+2，共5个，
故选：C．
2．下列说法中正确的有（ ）
（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
（2）符号相反的数互为相反数；
（3）正数、负数和零统称为有理数；
（4）单项式和多项式统称为整式；
（5）几个数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，说法正确，
（2）只有符号相反的数互为相反数，故原说法错误；
（3）正有理数数、负有理数数和零统称为有理数，说法错误；
（4）单项式和多项式统称为整式，正确；
（5）几个数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数，因数中含有零没有考虑．故错误；
正确说法共计2个，
故选：B．
3．已知单项式串：a0，a1x，a2x2，a3x3，…，anxn，其中n，a0为非负整数，a1，a2，a3，…，an均为正整数．规定：M0＝a0，M1＝a1x，M2=a2x2+M0=a2x2+a0，⋯，Mn=anxn+Mn-2(n≥2)，整式Mn的所有系数的和记作F（Mn）．如：因为M0＝a0，所以F（M0）＝a0；因为M1＝a1x，所以F（M1）＝a1；因为M2=a2x2+a0，所以F（M2）＝a2+a0，以下说法：
①若a0＝1，a1＝2，a2＝3，a3＝4，则F（M3）＝6；
②若F（M3）＝4，则所有满足条件的整式M3的和为6x3+10x；
③若n+F（Mn）＝6，则所有满足条件的整式Mn有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】解：由题意知，M3=a3x3+M1=a3x3+a1x=4x3+2x．
∴F（M3）＝4+2＝6，
①正确，故符合要求；
F（M3）＝4，M3=a3x3+a1xn，
∴a3+a1＝4，
∵a1，a3均为正整数，
∴a3=1a1=3或a3=2a1=2或a3=3a1=1，
∴M3=x3+3x或M3=2x3+2x或M3=3x3+xn，
∴所有满足条件的整式M3的和为x3+3x+2x3+2x+3x3+x＝6x3+6x，
②错误，故不符合要求；
∵n+F（Mn）＝6，
∴当n＝2时，2+F（M2）＝6，
∴F（M2）＝4，
∵M2=a2x2+M0=a2x2+a0，
∴F（M2）＝a2+a0＝4，
∵a为非负整数，a2为正整数，
∴a0=0a2=4或a0=1a2=3或a0=2a2=2或a0=3a2=1，
∴M2=4x2或M2＝3x2+1或M2＝2x2+2或M2=x2+3，
当n＝3时，3+F（M3）＝6，
∴F（M3）＝3，
∵M3=a3x3+M1=a3x3+a1x，
∴F（M3）＝a3+a1＝3，
∵a1，a3为正整数，
∴a1=1a3=2或a1=2a1=1，
∴M3=x3+2x或M3＝2x3+x，
当n＝4时，4+F（M4）＝6，
∴F（M4）＝2，
∵M4=a4x4+M2=a4x4+a2x2+a0，
∴F（M4）＝a4+a2+a0＝2，
∵a0为非负整数，a2，a4为正整数，
∴a0=0a2=1a4=1，
∴M4=x4+x2；
当n＝5时，5+F（M5）＝6，
∴F（M5）＝1，
∵M5=a5x5+M3=a5x5+a3x3+a1x，
∴a5+a3+a1＝1，
此时不满足要求；所有满足条件的整式Mn有7个，
③错误，故不符合要求；
故选：B．
4．下列代数式中整式的个数有（ ）
2a；m-n6；3π+a，5a-b，2（x2﹣4）．
A．4B．3C．2D．5
【答案】A
【解析】解：∵单项式有：2a；多项式有：m-n6，3π+a，2(x2-4)是多项式；5a-b既不是单项式也不是多项式，
∴2a，m-n6，3π+a，2(x2-4)是整式，共4个，
故选：A．
5．若×4x2y2＝﹣12x2y3+16x3y2，则代表的整式是（ ）
A．3y+4xB．3y﹣4xC．﹣3y+4xD．﹣3y﹣4x
【答案】C
【解析】解：由题意可得：所代表的整式是：（﹣12x2y3+16x3y2）÷（4x2y2）＝﹣3y+4x，
故选：C．
6．下列代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9、n+1m，其中整式有（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【解析】解：代数式a+bc、5a、mx2﹣nx+p、﹣x、1.1xyz、9是整式，共计6个，n+1m是分式．
故选：B．
7．若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N（ ）
A．一定是关于x的十二次整式
B．一定是关于x的三十五次整式
C．一定是关于x的低于十二次的整式
D．无法确定其关于x的次数
【答案】A
【解析】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则M•N一定是关于x的（7+5）＝12次整式；
故选：A．
8．已知整式M=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，N=xa0+xa1+xa2+⋯+xan，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0．下列说法：
①若N＝x+2，则M＝x2；
②若a0，a1＝2，…，an互不相等，且M与N次数相同，则满足条件的整式N只有1个；
③若M为二次三项式，N为二次式，满足恒大于0的整式M﹣N共有2个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】解：整式M=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，N=xa0+xa1+xa2+⋯+xan，其中a0，a1＝2，…，an﹣1为自然数，n，an为正整数，且x≠0，则：
①当N＝x+2时，N由x1和两个x0项组成，即N＝x1+x0+x0．
只有对应的M系数需满足a0＝0（对应x0项）、a1＝0（另一x0项）、a2＝1（对应x1项）时．时M＝0+0•x+1•x2＝x2，故①正确．
②若a0到an互不相等且M与N次数相同，则M的次数n＝max{a0，a1，…，an}．由于an是正整数且互不相等，唯一可能的结构是a0，a1，…，an为0，1，…，n的排列，此时N＝xn+xn﹣1+⋯+x0，唯一确定．故②正确．
③M为二次三项式，即a0，a1，a2≥1且a2≥1．N为二次式要求max{a0，a1，a2}＝2．需M﹣N恒正：
M＝1+2x+x2时，N＝x2+2x，M﹣N＝1＞0；
M＝1+x+2x2时，N＝x2+2x，M-N=x2-x+1=(x-12)2+34（恒正）；
M＝2+x+2x2时，N＝2x2+x，M﹣N＝2＞0．
共3种情况，但题目称有2个，故③错误．
故选：C．
9．请写出一个整式，使其同时满足以下条件：
①该整式中只含有字母x；
②该整式的次数为5，项数为3；
③该整式不含二次项：x5+x+1（答案不唯一） ．
【答案】x5+x+1（答案不唯一）
【解析】解：这个整式可以是：x5+x+1．
故答案为：x5+x+1（答案不唯一）．
10．把千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d的四位整数记为abcd，若千位与百位数之和等于常数k（k为正整数），十位与个位数字之和等于k﹣1（即a+b＝k，c+d＝k﹣1），那么，称这个四位整数abcd为“k类递进数”，例如：3213是“5类递进数”，因为3+2＝5，1+3＝4，5﹣4＝1；5427不是“9类递进数”，因为5+4＝9，2+7＝9，9﹣9≠1．
（1）写出最小的“3类递进数”是 1202 ，最大的“7类递进数”是 7060 ．
（2）若一个“6类递进数”，且ab-cd=19（a，c≠0），求满足条件的所有“6类递进数”的个数，并把它们写出来．
【答案】（1）1202，7060；（2）3314，4223，5132，6041．
【解析】解：（1）最小的“3类递进数”是1202，
∵根据题意，此数为四位数，且k＝3，
∴a+b＝3，c+d＝2，
∵该数最小，
∴a＝1，b＝2，c＝0，d＝2，
∴最小的“3类递进数”是1202，
最大的“7类递进数”是7060，
∵根据题意，此数为四位数，且k＝7，
∴a+b＝7，c+d＝6，
∵该数最大，
∴a＝7，b＝0，c＝6，d＝0，
∴最小的“7类递进数”是7060；
故答案为：1202，7060．
（2）①∵k＝6，
∴a+b＝6，c+d＝5，
∵ab-cd=19（a，c≠0），
∵10a+b﹣10c﹣d＝19，
∴a﹣c＝2，
∴a≥2，
当a＝2时，b＝4，
∵ab-cd=19
∴c＝0，d＝5（舍去），
当a＝3时，b＝3，
∵ab-cd=19
∴c＝1，d＝4，
当a＝4时，b＝2，
∵ab-cd=19
∴c＝2，d＝3，
当a＝5时，b＝1，
∵ab-cd=19
∴c＝3，d＝2，
当a＝6时，b＝0，
∵ab-cd=19
∴c＝4，d＝1，
∴满足条件的所有“6类递进数”的个数有4个，分别是：3314，4223，5132，6041．
11．已知（n﹣2）x|n﹣1|﹣2是关于x的一次式，求n的值．
【答案】n＝0．
【解析】解：|n﹣1|＝1，且n﹣2≠0，
∴n＝0，
1．关于x的算式，当x取任意一组相反数m与﹣m时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如算式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”．
（1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ①③ ，是“奇代数式”的有 ② ；（将正确选项的序号填写在横线上）
①|x|+1；②x3+x；③2x2+4．
（2）当x＝2时，﹣x3+x+1＝ ﹣5 ，当x＝﹣2时，﹣x3+x+1＝ 7 ；
（3）当x＝m（m为常数）时，x2+|x|+2＝7，则当x＝﹣m时，2x2+2|x|﹣1＝ 9 ；
（4）若x＝2时，代数式ax3+bx+10的值为19，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值．
（5）对于整式x5﹣x3+x2+x+1，当x分别取﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和为 69 ．
【答案】（1）偶代数式有①③，奇代数式有②；
（2）当x＝2时，值为﹣5；当x＝﹣2时，值为7；
（3）9；
（4）﹣6；
（5）69．
【解析】解：（1）①|﹣m|+1＝|m|+1，值相等，故为偶代数式；
②（﹣m）3+（﹣m）＝﹣（m3+m），值互为相反数，故为奇代数式；
③2（﹣m）2+4＝2m2+4，值相等，故为偶代数式，
故答案为：①③，②；
（2）当x＝2时，﹣23+2+1＝﹣8+2+1＝﹣5，
当x＝﹣2时，﹣（﹣2）3+（﹣2）+1＝8﹣2+1＝7，
故答案为：﹣5，7；
（3）利用偶代数式性质，先求，
当x＝m时，x2+|x|的m2+|m|+2＝7，得m2+|m|＝5；
当x＝﹣m时，2x2+2|x|﹣1＝2（m2+|m|）﹣1＝2×5﹣1＝9，
故答案为：9；
（4）利用奇代数式性质，先求，
当x＝2时，ax3+bx+10＝19，得ax3+bx＝9，
当x＝﹣2时，ax3+bx＝﹣（ax3+bx）＝﹣9，
故ax3+bx+3＝﹣9+3＝﹣6，
故答案为：﹣6；
（5）将整式分为奇代数式部分（x5﹣x3+x）和偶代数式及常数项部分（x2+1），
每对相反数x＝k与x＝﹣k（k≠0）的奇代数式部分和为0，
偶代数式及常数项部分和为2k2+2，
2×12+2＝4，2×22+2＝10，2×32+2＝20，2×42+2＝34，
总和为4+10+20+34＝68，加上x＝0时的值1，
总和为68+1＝69，
故答案为：69．