专题01 实数及其运算【十大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用版）(原卷版+解析版）

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模块二
知识点一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类

（2）无理数的几种常见类型
①开方开不尽的数，如，等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
模块三
考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】下列各数是负数的是（ ）
A．0B．12C．−−5D．−5
【变式2】四个数－1，0，12，3中，为无理数的是 ．
【变式3】在163，3，π，−1.6，25这五个数中，有理数有 个.
考点2：数轴的相关计算
典例2：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．a>bB．a+bb+2D．a−1>b−1
【变式1】如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．−2023C．12023D．−12023
【变式2】如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．

【变式3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ．

考点3：相反数
典例3：若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9B．−1C．9D．1
【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−2024和−2024B．2024和12024
C．−2024和2024D．−2024和12024
【变式2】若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b−c= ．
【变式3】计算：−−2024= ．
考点4：绝对值
典例4：已知a，b都是实数，若a+22+b−1=0，则a+b2023的值是（ ）
A．−2023B．−1C．1D．2023
【变式1】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（ ）
A．−2B．−1C．0D．2
【变式2】已知实数a，b满是3a−1+5b=9,s=a−1+32b，则w=18s+1的最大值为 ．
【变式3】已知a，b都是实数，若a+1+b−20222=0，则ab= ．
考点5：科学计数法
典例5：我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1】“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（ ）
A．6×103B．60×103C．0.6×105D．6×104
【变式2】2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
【变式3】2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5％左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为 ．
考点6：近似数
典例6：用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ）
A．3.142B．3.141C．3.14D．3.1
【变式1】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位）D．0.050（精确到0.001）
【变式2】为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时．
【变式3】某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为 万册（保留3个有效数字）．
考点7：实数的大小比较
典例7：下列各数中，最小的数是（ ）
A．−2B．−−2C．−12D．−2
【变式1】下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．63B．−33C．13D．π3
【变式2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大小：10 227（填“>”或“