专题01 实数及其运算（分层训练）-2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

这是一份专题01 实数及其运算（分层训练）-2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题01实数及其运算分层训练全国通用原卷版docx、专题01实数及其运算分层训练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

【基础训练】
一、单选题
1．（22-23上·宜春·阶段练习）据统计，截止11月31日宜春明月山景区累计旅游人数为803万．这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×106B．8.03×107C．8.03×106D．80.3×105
【答案】C
【分析】根据科学记数法的形式a×10n(1≤a<10)，确定a和n的值即可．
【详解】解：803万=8030000=8.03×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是确定a以及n的值．
2．（22·23上·宁波·期末）宁波文创港三期已正式开工建设，总建筑面积约272000m2，272000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．27.2×104B．2.72×105C．2.72×104D．0.272×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：272000=2.72×105．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（22-23下·嘉定·期中）下列各数中，是科学记数法的是（ ）
A．−1.82×1004B．−0.9×105C．10.2×109D．1×106
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值即可．
【详解】解：A、−1.82×1004不符合题意；
B、−0.9×105不符合题意；
C、10.2×109不符合题意；
D、1×106符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4．（22·23上·西安·期中）近似数5.5×104是精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．万位
【答案】C
【分析】用科学记数法表示的数a×10n，首先要将用科学记数法表示的数变回原数，再看一下a中的最后一个数字在原数中是什么位，即精确到了什么位．
【详解】解：∵5.5×104=55000，
又∵在55000中，从左向右第二个“5”在千位上，
∴近似数5.5×104是精确到千位．
故选：C
【点睛】本题考查了给出科学记数法a×10n确定精确度问题，掌握科学记数法中精确度的确定方法是解本题的关键．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定．用科学记数法表示的数a×10n，要先还原再确定精确度．
5．（22-23下·台州·期末）已知正整数m，n满足2m=9n，且5A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据5【详解】解：∵5∴25∴50<2m<72．
∵2m=9n，
∴n=2m9．
∴2m=54，n=6．
解得m=27,n=6．
∴m−n=21．
∵4.52=20.25,52=25，4.52<21<25，
∴4.5<21<5．
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，求得m,n的值是解题的关键．
6．（22·23上·全国·单元测试）3−6的绝对值是（ ）
A．6−3B．−6+3C．−6−3D．6+3
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可.
【详解】解：∵3＜6，
∴3＜6，
∴3−6＜0
∴3−6=6−3，
故选：A.
【点睛】本题考查了实数的绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，正确理解绝对值的性质是解本题的关键.
7．（22-23下·湖北·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−|a+b|的结果是（ ）
A．aB．bC．2a+bD．﹣b
【答案】C
【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，且a＜-b，根据算术平方根和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：根据图示，可得：b＜0＜a，且a＜-b，
∴a+b＜0，
∴a2−a+b
=a+（a+b）
=2a+b．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的性质，关键是掌握a2=a．
8．（22-23下·凉山·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．−22=2B．52=±5C．−−42=4D．±−72=±7
【答案】D
【分析】A、根据负数没有平方根即可判定；
B、根据算术平方根的定义即可判定；
C、根据算术平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
【详解】解：A、−22无意义，故选项错误；
B、52=5，故选项错误；
C、−−42=−16=−4，故选项错误；
D、±−72=±7，故选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根、算术平方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．
9．（22-23下·武汉·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④(−4)2=−4；⑤负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，实数与数轴、平行公理、平方根及立方根的概念判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题是假命题；
③实数与数轴上的点一一对应，真命题；
④(−4)2=4，故原命题是假命题；
⑤负数有立方根，没有平方根，真命题；真命题共有2个
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（23·24上·全国·课时练习）有理数−9500000用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×106B．−9.5×106C．−9.5×107D．−95×105
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：−9500000用科学记数法表示为−9.5×106，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
11．（22-23上·全国·课时练习）与无理数3最接近的整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：因为2.25˂3˂4，所以1.5˂3˂2，所以无理数3更加接近于2，故选B．
12．（22-23上·黄浦·阶段练习）设4−2的整数部分为a，小数部分为b，则a−b的值为（ ）
A．1−22B．22C．1+22D．2
【答案】D
【分析】因为1＜2<2，借此得出2的小数部分为2−1,整数部分为1；从而进一步得出4−2的小数与整数部分，代入求值即可
【详解】因为1＜2<2，所以2的小数部分为2−1,整数部分为1；所以4−2的整数部分为a=2，小数部分为b=2−2；所以a−b=2
所以答案为D选项
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，掌握求无理数的整数与小数部分是关键
13．（22-23上·百色·期末）下列运算中正确的是（ ）
A．−−2=−2B．−−3=3C．−32=9D．−−22=−4
【答案】D
【分析】根据相反数、绝对值的意义，有理数的运算法则进行逐项判断即可．
【详解】A、−−2=2，故选项不正确，不符合题意；
B、−−3=−3，故选项不正确，不符合题意；
C、−32=−9，故选项不正确，不符合题意；
D、−−22=−4，故选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的意义，有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则，正确理解算式意义是解题关键．
14．（23·24上·济南·阶段练习）已知a，b为有理数，下列说法：①若a+b=0，则a=b；②若a，b互为相反数，则ab=−1；③若a+b<0，ab>0，则a+b=−a−b；④若a−b+a−b=0，则b>a．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【详解】解：①若a+b=0，则a，b互为相反数，所以a=b，故①正确；
②当a=0时，a，b互为相反数，则ab=−1错误，故②错误；
③若a+b<0，ab>0，则a<0，b<0，所以a+b=−a−b，故③正确；
④a−b+a−b=0，则a−b=b−a≥0，所以b≥a，故④错误；
正确的是①③．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值，有理数的加法，减法，乘法，除法，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．
15．（22-23上·巴中·期中）已知a＝10，b=8，且满足a+b<0，则b—a的值为( )．
A．-18B．18C．2或18D．18或-18
【答案】C
【分析】结合题意，通过求解绝对值方程，可得到a和b的取值范围；再结合a+b<0，通过计算得到a和b的值，最后经减法运算，即可得到答案．
【详解】∵a＝10，b=8
∴a=±10，b=±8
∵a+b<0
∴a=−10，b=±8
∴b−a=±8−−10=±8+10，即b-a的值为：2或18
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式、绝对值、有理数加减法的知识，解题的关键是熟练掌握绝对值、有理数加减法的性质，从而完成求解．
16．（22-23下·黄冈·阶段练习）若a−1+b2+4b+4=0，则a+b的值等于（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【答案】C
【详解】分析：将算式变形为a−1+(b+2)2=0，根据非负数的性质得到a−1=0，b+2=0，求出a、b的值，然后代入所求代数式即可求出结果．
详解：a−1+b2+4b+4=0，
a−1+(b+2)2=0，
则a−1=0，b+2=0，
解得a=1，b=−2，
a+b=1−2=−1.
故选C.
点睛：考查非负数的性质，根据非负数的性质得到a,b的值是解题的关键.
17．（22-23下·浙江·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么a−b+a+b2的结果是（ ）
A．2aB．2bC．−2aD．−2b
【答案】D
【分析】由数轴可得到b【详解】解：根据题意，则
b∴a−b>0，a+b<0，
∴a−b+a+b2
=a−b+a+b
=a−b−a−b
=−2b；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到b18．（22-23下·保定·期中）下列说法正确的是（ ）
A．a2的正平方根是aB．81=±9
C．﹣1的n次方根是1D．3−a2−1一定是负数
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A、B、D，根据乘方运算法则判断C即可．
【详解】解：A、a2的平方根是±|a|，当a≥0时，a2的正平方根是a，错误，不符合题意；
B、81=9，错误，不符合题意；
C、当n是偶数时，(−1)n=1；当n时奇数时，(−1)n=-1，错误，不符合题意；
D、∵−a2−1<0 ，∴3−a2−1一定是负数，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，解题的关键是掌握相关的定义与运算法则．
19．（22-23下·承德·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,5)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x铀的正半轴于点C，则C点的横坐标位于（ ）．
A．4和5之间B．3和4之间C．5和6之间D．2和3之间
【答案】D
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长并估算即可．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（−3，0），（0，5），
∴OA＝3，OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝32+52=34，
∴AC＝AB＝34，
∴OC＝34−3，
∴点C的横坐标为34−3，
∵25<34<36，
∴5<34<6，
∴2<34−3<3，
∴点C的横坐标介于2和3之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算，坐标与图形等，解此题的关键是求出OC的长．
20．（22-23上·全国·课时练习）数轴上点A表示的数是3，与点A的距离小于5的点表示的数x应满足( )
A．08或x<－2
【答案】B
【详解】根据数轴上点的距离，可知|3-x|＜5，解得x-3＜5且x-3＞-5，解得-2＜x＜8.
故选B.
点睛：此题主要考查了数轴上点之间的距离，利用数轴的特点，明确符合条件的点有两个，然后根据绝对值的意义列不等式求解即可.
二、填空题
21．（22-23下·恩施·期末）2−5的绝对值的相反数是 ．
【答案】2−5/−5+2
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解：2−5的绝对值是5−2，
5−2的相反数−5−2=2−5．
故答案为：2−5．
【点睛】本题考查了实数的绝对值和相反数，熟练掌握定义即可求解．
22．（22-23下·定西·期末）有一个数值转换器，计算流程如图所示，当输入x的值为8时，输出的值是 ．
【答案】2
【分析】根据流程图可知求所给数值的立方根即可．
【详解】解：由题意得
38=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
23．（22-23上·晋中·期中）数轴上，点A到原点的距离为2个单位长度，点B在原点右侧且到原点的距离为4个单位长度．则A，B两点间相距 个单位长度．
【答案】2或6
【分析】数轴上点A到原点的距离为2个单位长度，则点A表示2或−2；点B在原点右边即点B表示的数是正数，又到原点的距离为4个单位长度，则B表示的数是4．本题即求2或−2到4的距离．
【详解】∵点A到原点的距离为2个单位长度．
∴点A表示的数是2或−2；
∵B在原点右边且到原点的距离为4个单位长度．
∴B表示的数是4．
当A是2时，A、B间的距离是2个单位长度；
当A是−2时，A、B间的距离是6个单位长度．
总之，A、B两点间相距2或6个单位长度．
故答案为：2或6．
【点睛】本题主要考查了有理数与数轴之间的对应关系，解决本题的关键是正确确定A、B表示的数．
24．（23·24上·成都·阶段练习）若(a−2)2+|b+3|=0，则ba的平方根是 ．
【答案】±3
【分析】根据非负数的性质求得a=2,b=−3，进而根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵(a−2)2+|b+3|=0，
∴a−2=0,b+3=0
∴a=2,b=−3，
∴ba =−32=9
∴ba的平方根是±3，
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握绝对值的非负性求得a,b的值是解题的关键．
25．（22-23上·全国·课时练习）（1）若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；
(2)9的算术平方根是 ；
(3)(23)2的算术平方根是 ；
(4)若m+2=2，则(m+2)2= ；
(5)16的算术平方根是 .
【答案】 7 3 23 16 2
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：（1）若一个数的算术平方根是7，则这个数是 7；
（2）9=3，3的算术平方根是3，
（3）232=49，49的算术平方根是23，
（4）m+2=2，m=2，则m+22=16
（5）16=4,4的算术平方根是2；
故答案为(1). 7 (2). 3 (3). 23 (4). 16 (5). 2
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．
26．（22-23下·十堰·期中）已知实数x，y满足|x−5|+y+4=0，则代数式x+y2022的值为 ．
【答案】1
【分析】利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵|x−5|+y+4=0，|x−5|≥0，y+4≥0，
∴x−5=0，y+4=0，
∴x=5，y=−4，
∴x+y2022=5+−42022=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的性质，有理数的乘方等知识，利用非负数的性质求出x、y的值是解题的关键．
27．（22-23上·海口·阶段练习）比较大小（用“＞”、“＜”或者“＝”填写）
（1）﹣56 ﹣1
（2）﹣|﹣114| ﹣（+1.25）
【答案】 >； =．
【分析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（2）先根据绝对值、相反数的性质化简，再比较大小．
【详解】（1）∵56<1
∴−56>−1
故答案为：>；
（2）∵−−114=−114=−1.25，−(+1.25)=−1.25
∴−−114=−(+1.25)
故答案为：=．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，涉及绝对值、求一个数的相反数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．（22-23上·佳木斯·期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求：m2+3c+3d−254ab−2+mn的值
【答案】-15或-11
【分析】根据倒数的定义可知ab=1，根据相反数的定义可知c+d=0，最大的负整数为-1，即m=−1，绝对值为2的数n=±2，以上代入整式进行求值即可．
【详解】解：由题意可知ab=1，c+d=0，m=−1，n=±2，
∴n=2时，原式=−12−252+−2=−15，
n=−2，原式=−12−252+2=−11，
故答案为：-15或-11．
【点睛】本题主要考查代数式求值，根据倒数，相反数的定义，以及有理数的性质，进行求值，注意绝对值求值时，正负数需分情况讨论．
29．（22·23上·鹤壁·期中）已知有理数满足a−32+2+b=0，则a−b的值为 ．
【答案】5
【分析】根据绝对值和平方的非负性，得出a−3=0,2+b=0，即可求解．
【详解】解：∵a−32+2+b=0，
∴a−3=0,2+b=0，
解得：a=3,b=−2，
∴a−b=3−−2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
30．（22·23上·泰州·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示2，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ．

【答案】12
【分析】根据点的移动规律，可得当n是奇数时，An表示的数是2+3×n−12−3n，当n是偶数时，An表示的数是2+3×n2，再由2+3×n2≥20或2+3×n−12−3n≤−20，求出n的最小值即可．
【详解】由题可得：A1表示的数是2−3=−1，A2表示的数是2−3+6=5，A3表示的数是2−3+6−9=−4，A4表示的数是2−3+6−9+12=8，…，
∴第n次移动后An表示的数是2−3+6−9+12−15+…+3n，
当n是奇数时，An表示的数是2+3×n−12−3n，当n是偶数时，An表示的数是2+3×n2，
∵点An与原点的距离不小于20，
∴ 2+3×n2≥20或2+3×n−12−3n≤−20，
∴ n≥12或n≥413，
∵n是正整数，
∴n的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了数字的变化规律探究，数轴上的动点问题，通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键．
31．（22-23下·巴中·阶段练习）用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10-5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 米.
【答案】1.2×104.
【详解】试题解析：这两座山峰之间的距离为3×108×4×10-5=12×103=1.2×104（米）．
考点：1.科学记数法—表示较大的数；2.同底数幂的乘法．
32．（22-23下·湘西·期中）已知m是15的整数部分，n是10的小数部分，则m2−n2= ．
【答案】610−10/−10+610
【分析】由于3＜10＜15＜4，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后求出m和n的值，代入计算即可．
【详解】解：∵9＜10＜15＜16，
∴3＜10＜15＜4，
∵m是15的整数部分，
∴m＝3；
∵n是10的小数部分，
∴n＝10-3
m2−n2=32−10−32=9−10−610+9=610−10．
故答案为：610−10．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力和代数式求值，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部分＝原数−整数部分．
33．（22-23上·盐城·阶段练习）已知a、b为两个连续的整数，且a<34【答案】11
【详解】试题解析：∵25<34<36，
∴5<34<6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11.
故答案为11.
34．（22-23·北京·专题练习）若73的整数部分是a，小数部分是b，则2a−b= ．
【答案】24−73．
【分析】先确定出73的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．
【详解】解：∵8<73<9，
∴a=8，b=73−8，
∴2a−b=2×8−(73−8)=24−73．
故答案为：24−73．
【点睛】考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定73的范围8<73<9，得出a,b的值．
35．（22·23上·巴中·期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是−9，−1，1，且点C为线段AB的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为ts．
有下列结论：①若点E表示的数是3，则CF=7；②若DE=3，则BF=72；③当t=2时，PQ=2；④当t=25时，点P是线段DQ的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到CF的长度；②由DE=3，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段DE的中点可得点F表示的数，进而得到BF的长度；③当t=2时，可得到BP、DQ的长，从而确定点P、Q，即可得到PQ的长；④当t=25时，可得到BP、DQ的长，从而确定点P、Q，进而判断．
【详解】①若点E表示的数是3，
∵点F为线段DE的中点，D表示的数是1，
∴DE=2，DF=12DE=1，即F表示的数是2，
∴CF=2−(−5)=7，故①正确；
②若DE=3，
当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4，
∵点F为线段DE的中点，
∴DF=12DE=32，即F表示的数是52，
∴BF=52−(−1)=72，
当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是−2，
∵点F为线段DE的中点，
∴DF=12DE=32，即F表示的数是−12，
∴BF=−12−(−1)=12，
综上，BF=72或12，故②不正确；
③当t=2时，BP=1×2=2，DQ=2×3=6，
∵B、D表示的数分别是−1，1，
∴P、Q表示的数分别是−3，−5，
∴PQ=2，故③正确；
④当t=25时，BP=1×25=25，DQ=25×3=65，
∴P、Q表示的数分别是−75，−15，
∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段DQ的中点
故④不正确；
故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
36．（22-23下·汕尾·期中）把下列个数分别填在相应的集合中：8，−0.3，0，310，207，36，3−16，π， −364，−10．
自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；正无理数集合：{ …}．
【答案】0，36；0，36，−364；0，207，36；8，310，π，−10．
【分析】先将能化简的数化简，再根据实数的相关概念分类即可．
【详解】解：36=6，−364=−4，−10=10，
自然数有： 0，36；
整数有：0，36，−364；
正有理数有： 207，36；
正无理数有：8，310，π，−10．
故答案为：0，36；0，36，−364；0，207，36；8，310，π，−10．
【点睛】本题考查实数的分类．掌握相关概念，能化简平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
37．（22-23下·长沙·一模）计算：(−12)−3+2cs30∘+|3−3|+(π−2018)0
【答案】-4.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质、负指数幂的性质分别化简进而得出答案．
【详解】原式=−8+2×32+3−3+1
=−8+3+3−3+1,
=−4．
故答案为-4.
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
38．（22·23上·楚雄·期中）在数轴上表示下列各数：−3.5 ，312，−2，+5，113，−6并用“＞”号连接
【答案】数轴见解析，+5＞312＞113＞−2＞−3.5＞−6
【分析】先在数轴上表示出各个数，再根据数在数轴上对应点的位置，可知右边的数总比左边的数大，再按顺序用不等号连接即可．
【详解】解：把各数表示在数轴上如图所示，
用“＞”号连接如下，
+5＞312＞113＞−2＞−3.5＞−6
【点睛】此题考查了数轴、有理数的比较大小等知识，能准确地在数轴上表示出各个数的位置是本题的解题关键．
39．（22-23下·潼南·阶段练习）已知x=3是方程x3+m(x−1)4=−1的解，m、n满足关系式2n+m=1，求m+n的值．
【答案】−32或−52
【分析】先把x=3代入方程求出m的值，再把求得的m值代入关系式解绝对值方程得n的值，就可以算出结果．
【详解】解：∵x=3是方程x3+m(x−1)4=−1的解，
把x=3代入方程，得1+12m=−1，解得m=−4，
再把m=−4代入2n+m=1，得2n−4=1，解得n=52或32，
∴m+n=−4+52=−32或m+n=−4+32=−52．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义．
40．（22-23上·西安·期中）已知a2−64+|b3﹣27|=0，求（a﹣b）b﹣1的值．
【答案】25或121
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值．
【详解】解：由题意可知：a2﹣64=0，b3﹣27=0，∴a=±8，b=3．
当a=8，b=3时，原式=（8﹣3）2=25；
当a=﹣8，b=3时，原式=（﹣8﹣3）2=121．
综上所述：（a﹣b）b﹣1的值为25或121．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是运用非负数的性质求出a与b的值，本题属于基础题型．
41．（22·23下·临沧·一模）计算：34×−12+2sin45°−2−10+13−2．
【答案】2−1
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式=−9+2×22−1+9
=−9+2−1+9
=2−1．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
42．（22-23·江西·期中）【阅读理解】∵4<5<9，即2<5<3．
∴5的整数部分为2，小数部分为5−2，
∴1<5−1<2．
∴5−1的整数部分为1，5−1的小数部分为5−2．
【解决问题】已知a是17−3的整数部分，b是17−3的小数部分．求：
(1)a，b的值；
(2)−a3+b+42的平方根．
【答案】(1)a=1，b=17−4
(2)±4
【分析】根据16<17<25，可得4<17<5，从而求出1<17−3<2，即可求出a、b的值；
（2）由（1）可知a=1，b=17−4，将a、b的值代入代数式进行求值，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵16<17<25，
∴4<17<5，
1<17−3<2，
∴a=1，b=17−3−1=17−4；
（2）解：∵a=1，b=17−4，
∴−a3+b+42
=−13+17−4+42
=−1+17
=16，
∴−a3+b+42的平方根是±4．
【点睛】本题考查无理数的估算、求代数式的值、平方根，根据无理数的估算方法求出a、b的值是解题的关键．
43．（22-23下·重庆·阶段练习）已知5的整数部分是a，5的小数部分是b，c−1是9的算术平方根，求2a+2ba−3ac+b+1的值．
【答案】25−3
【分析】先求出a、b、c的值，再代入2a+2ba−3ac+b+1求值即可．
【详解】解：∵4<5<9，
∴4<5<9，
∴2<5<3，
∴a=2，b=5−2，
∵c−1是9的算术平方根，
∴c−1=9=3，
解得c=4，
∴2a+2ba−3ac+b+1
=2×2+25−22−32×4+5−2+1
=2+5−2−2+5−1
=25−3．
【点睛】此题考查了无理数的估算、算术平方根、实数的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
44．（22-23上·长春·阶段练习）小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=−1 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得i2=−1，那么方程x2=−1可以变成x2=i2，则x=± i，从而x=±i是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i1=i，i2=−1，i3=i2⋅i=−i，i4=i22=−12=1，……．
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
（1）i4n= ______，i4n+1=______，i4n+2=______，i4n+3=_______．（n为自然数）
（2）计算：13×36−(2i)3+3(−2)3+3−1．
【答案】（1）1、i、-1、-i；（2）3-1+8i．
【分析】（1）根据已知的等式即可计算得到答案；
（2）先同时计算开平方，立方运算，开立方及化简绝对值，再计算乘法同时将i3=−i代入计算，最后合并同类项即可.
【详解】（1）∵i4=i22=−12=1，i3=i2⋅i=−i，i2=−1，
∴i4n= 1n=1，
∴i4n+1= i4n+1=i4n⋅i=i，i4n+2=i4n⋅i2=1×(−1)=-1 ，i4n+3=i4n⋅i3=1×(−i)=-i，
故答案为：1、i、-1、-i；
（2）13×36−(2i)3+3(−2)3+3−1
=13×6−8i3+(−2)+3−1
=2−8×(−i)−2+3−1
=3-1+8i.
【点睛】此题考查幂的乘方的逆运算的计算方法，实数的混合运算，正确理解已知的等式的计算法则，将所求代数式按照幂的乘方逆运算进行计算是解题的关键.
45．（22-23上·南京·期中）【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如38=2．
【学习新知】
现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作x=lgaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如lg28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）选择题：在式子lg5125中，真数是_______．
（2）①计算以下各对数的值：lg39=_______；lg327=_______．
②根据①中计算结果，请你直接写出lgaM，lgaN，lga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）．
【答案】（1）125；（2）①2，3；②lgaMlgaNlgaMN
【分析】（1）根据材料，由真数的定义，即可得到答案；
（2）①根据阅读材料中的方法将各式计算，即可得到答案；
②根据①的计算方法，找出关系即可．
【详解】解：（1）∵在lgaN中，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，
∴lg5125的真数是125；
故答案为：125；
（2）①lg39=lg332=2；
lg327=lg333=3；
故答案为：2；3.
②由①可知，lg39=2，lg327=3，
∴lg3(9×27)=lg3(32×33)=lg335=5=lg39+lg327，
∴lgaM+lgaN=lga(MN)，（其中a0且a1，M0，N0）．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
46．（22·23上·信阳·期中）给出下面六个数：2.5 ,1,−2,−2.5,0,−32．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．
【答案】见解析
【分析】先正确画出数轴，按照各点的位置标在数轴上即可．
【详解】解：如图所示，
【点睛】此题考查了数轴和在数轴上表示数，准确找到各数在数轴上的位置是解题的关键．
47．（22-23下·开封·期中）利用勾股定理在数轴上作出2、3、5的线段（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】依次作出直角边长为1，1；1，2；1，2的直角三角形的斜边长，再以以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．
【详解】解：如图，点A表示：2，
点B表示：3，
点C表示：5．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，解题的关键是对被开方数正确的拆解．
48．（22-23下·深圳·阶段练习）计算：2sin30°+π−3.140+1−2+−12017．
【答案】2
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】解：原式=1+1+2−1−1
=2．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（22-23·乌鲁木齐·三模）计算：(−13)−1+12−3tan60°−|2−3|．
【答案】−5
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：(−13)−1+12−3tan60°−|2−3|
=−3+23−3×3−2−3
=−3+23−33−2+3
=−5．
【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解本题的关键．
50．（22·23下·金华·开学考试）计算：(3−π)0+4sin60°−12−|1−3|．
【答案】2−3
【分析】分别根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=1+4×32−23+1−3
=1+23−23+1−3
=2−3．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
51．（22·23上·乌海·期中）计算：
(1)sin30°+2cs60°×tan60°−sin245°
(2)12−1+sin60°−10−2cs30°+3−1
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值化简各式，再进行运算．
（2）先化简各式，再进行运算．
【详解】（1）解：原式=12+2×12×3−222
=12+3−12，
=3；
（2）原式=2+1−2×32+3−1
=2+1−3+3−1
=2．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的法则，是解题的关键．
【能力提升】
52．（22-23下·北京·期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2
∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即2≈1.4+x≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
53．（22-23上·赣州·期末）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于−1，记作i2=−1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．
例如计算：6+i+2−3i=6+2+i−3i=8−2i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3=______，i6=_________；
（2）计算：(3+2i)2；
（3）将3+i2−i化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【答案】（1）−i，−1；（2）5+12i；（3）1+i
【分析】（1）根据i2=−1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以(2+i)后，把分母化为不含i的数后计算．
【详解】解：（1）∵i2=−1，∴i3=i2⋅i=−1⋅i=−i，i6=i2⋅i2⋅i2=−1⋅(−1)⋅(−1)=−1．
故答案为：−i,−1；
（2）(3+2i)2=32+12i+4i2=9+12i−4=5+12i；
（3）3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6+5i+i24−i2=5+5i5=1+i．
【点睛】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
54．（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
23=2×33×3=63，23−3=23+33−33+3=23+39−3=23+36=3+33．
(1)请你写出3+7的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化1−m1+mm≠1；
(3)已知a=15−2，b=15+2，求a2+b2+2的值．
【答案】(1)3−7
(2)1−m
(3)25
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=a+b2−2ab+2，将a+b，ab的值代入即可求解．
【详解】（1）解：∵3+73−7=9−7=2，
∴ 3−7是3+7的有理化因式，
故答案为：3−7；
（2）解：1−m1+m
=1−m1−m1+m1−m
=1−m1−m1−m
=1−m；
（3）解：∵ a=15−2=5+2，b=15+2=5−2，
∴a+b=5+2+5−2=25，ab=5+25−2=1，
∴a2+b2+2
=a+b2−2ab+2
=252−2×1+2
=20
=25．
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
55．（23·24上·江苏·周测）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①，将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②－①得：2S−S=211−1即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1
【运用】仿照此法计算：1+5+52+53+…+5100；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2023次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2023．

完成下列问题：
①小正方形的面积S1=_______，S2023= ________；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2023的面积和．
【答案】运用：5101−14；延伸：①14，142023；②13×1−142023
【分析】（1）设S=1+5+52+53+54+…+5100，两边乘以5得到5S=5+52+53+54+…+5101，两等式相减得到4S=5101−1，得到S=5101−14，即可；
（2）①根据S1=14，S2=14S1=142，S3=14S2=143，…，可得S2023=142023；
②设S=S1+S2+S3+…+S2023=14+142+143+…+142023，两边都乘以14，得到14S=142+143+…+142024，两等式相减得到34S=14−142024，即可得出S=13×1−142023．
【详解】运用：解：令S=1+5+52+53+54+…+5100①，
×5得：5S=5+52+53+54+…+5101②，
②−①得：4S=5101−1，
整理得：S=5101−14，
即1+5+52+53+…+5100=5101−14；
延伸：解：①根据题意：S1=14，S2=14S1=142，S3=14S2=143，…，
依此规律，
∴ S2023=142023，
故答案为：14，142023；
设S=S1+S2+S3+…+S2023=14+142+143+…+142023，
两边都乘以14得：14S=142+143+…+142024，
两等式相减得到34S=14−142024，
∴ S=13×1−142023．
【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答．