初中数学人教版（2024）八年级下册特殊的平行四边形达标测试

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册特殊的平行四边形达标测试，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若平面直角坐标系中的正方形向右平移2个单位长度，则正方形上各点的( )
A. 纵坐标不变，横坐标加2B. 纵坐标不变，横坐标减2
C. 横坐标不变，纵坐标加2D. 横坐标不变，纵坐标减2
2.在下列4个判断中正确的是( )
A. 如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 正方形具有矩形的性质，又具有菱形的性质
D. 四边相等的四边形是正方形
3.在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：2：1.四边形ABCD的形状是( )
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )
A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
5.▱ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出▱ABCD是矩形，那么这个条件可以是 ( )
A. AB=BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥BD
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，ED=3，AD=4，则DC的长是( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE，则∠BAE=( )
A. 70°B. 40°C. 75°D. 30°
8.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为( )
A. 135B. 125C. 195D. 165
二、填空题：
9.菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：______________，使得该菱形为正方形．
10.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件__________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD//BC，AC的长为16，则DO的长为______．
12.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH等于_________．
13.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是______．
14.如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片(∠EFG=90°)按如图所示的位置摆放，使直角三角形纸片的一个顶点E恰好落在长方形纸片的一边AB上，已知∠BEF=21°，则∠CMF= ．
15.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为________．
16.如图，为县开发区部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小红行走的路线为B→A→G→E，小明行走的路线为B→A→D→E→F，若小明行走的路程为4600m，则小红行走的路程为______m.
三、解答题：
17. 如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE // DB，过点B作BE // AC，CE与BE相交于点E．
(1)求证：四边形OBEC为矩形；
(2)求矩形OBEC的面积．
18.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE/​/AB交AC于点E，DF/​/AC交AB于点F．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)当△ABC满足条件______时，四边形AEDF是正方形．
19.如图，正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=14DC．
(1)若正方形ABCD的边长为4，求△BEF的周长；
(2)试判断△BEF是否为直角三角形．
20.小明用尺规在一个▱ABCD内作菱形，具体作法如下：
第一步：以点B为圆心，AB长为半径画弧，与BC交于点E．
第二步：以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AD交于点F．
第三步：连接EF，则四边形ABEF就是所求作的菱形．
(1)请写出已知，求证：
已知：______．
求证：______．
(2)给出证明过程．
21.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD//BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE.求证：四边形BCDE为菱形．
22.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF=90°．
求证：CE=DF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由平移的特点可知，
平面直角坐标系中的正方形向右平移2个单位长度，则正方形上各点的纵坐标不变，横坐标加2，
故选：A．
根据点的坐标平移的特点：上加下减，左减右加，即可得到平移后，正方形上各点坐标的变化．
本题考查坐标与图形变化—平移，解答本题的关键是明确点的平移的特点：上加下减，左减右加．
2.【答案】C
【解析】解：A.如果四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故A选项错误；
B.对角线互相垂直的四边形是菱形，故B选项错误；
C.正方形既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，故C选项正确；
D.四边相等的四边形是菱形，故D选项错误；
所以其中正确的命题是C；
故选：C．
根据平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质分别对每个命题的真假进行判断即可．
此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行四边形、菱形的判定、正方形、梯形的性质，关键是能够根据有关判定和性质对命题是否正确做出判断．
3.【答案】D
【解析】解：四边形的内角和为360度，
∵∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：2：1，
假设∠A=2x，
∴∠B=x，∠C=2x，∠D=x，
∴2x+x+2x+x=360°，
∴6x=360°，
∴x=60°，
故这个四边形的各角分别为120°、60°、120°、60°，
∴这个四边形是平行四边形．
故选：D．
根据四边形的内角和为360度，可求出各角，从而判断它的形状．
此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，四边形的内角和是360度，及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．
连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥BC时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
【解答】
解：如图，连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质，关键是掌握矩形的判定定理．根据对角相等的平行四边形是矩形可得答案．
【解答】
解：在▱ABCD中，根据对角相等的平行四边形是矩形，可得添加的条件，
A.AB=BC，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；
B.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
C.AC⊥BD，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；
D.AB⊥BD，不能判定这个平行四边形为矩形，故错误；
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，AE= AD2+DE2= 42+32=5，
∵∠BAC=90°，E是边BC的中点，
∴BC=2AE=10，
∴EC=5，
∴DC=EC−ED=2，
故选：C．
根据勾股定理求出AE，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
根据菱形的性质得到∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=12∠ABC=40°，
在△ABE中，
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=180°−40°2=70°，
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
先由正方形的性质及BC=4，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=1，得出CE=DF=3，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，BC=4，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=4，
又∵DE=AF=1，
∴CE=DF=3，
在△BCE和△CDF中，
BC=CD∠BCE=∠CDFCE=DF，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠CBE=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=90°，
∵在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，
∴BE=5，
∴BE⋅CG=BC⋅CE，
∴CG=BC⋅CEBE=4×35=125，
∵△CDF≌△BCE(SAS)，
∴CF=BE=5，
∴GF=CF−CG=5−125=135，
故选A．
9.【答案】AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一)
10.【答案】OA=OC
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定和平行四边形的判定，能熟记菱形的判定定理是解此题的关键，答案不唯一.OA=OC，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】
解：OA=OC，理由是：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为OA=OC．
11.【答案】8
【解析】解：∵∠BAD=∠ADC=90°，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=2OD=16，
∴OD=8，
故答案为：8．
根据平行线的性质得到∠DAB+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，求得∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得到BD=AC=2OD=16，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
12.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质有关知识.先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解得DH即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD=DH·AB，
∴DH×5=12×6×8，
∴DH=245，
故答案为245．
13.【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【解析】解：因为门窗所构成的形状是矩形，
所以根据矩形的判定(对角线相等的平行四边形为矩形)可得出．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
根据已知条件和矩形的判定定理(对角线相等的平行四边形为矩形)解答即可．
本题主要考查矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形为矩形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
14.【答案】69°
【解析】【分析】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质．
先延长MF交AB于H，得出∠EFH=90°，再根据三角形外角性质，求得∠BHF的度数，最后根据平行线的性质，求得∠CMF的度数．
【解答】
解：如图，
延长MF交AB于H，则∠EFH=90°，
∵∠BEF=21°，
∴∠BHF=90°+21°=111°，
∵CD//AB，
∴∠CMF=180°−∠BHF=180°−111°=69°．
故答案为：69°．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【解答】
解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，
∴DE=12BC，DF=12AB，
∵AB=6，BC=8，
∴DE=12×8=4，DF=12×6=3，
∴EF=DE−DF=4−3=1．
故答案为1．
16.【答案】3100
【解析】解：连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=1500m，∠ABD=∠CBD=∠BDC=45°，
∵BG=BG，∠ABG=∠CBG=45°，AB=BC，
∴△ABG≌△CBG(SAS)
∴AG=GC，
∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，
∴四边形GECF是矩形，
∴GC=EF，
∴EF=AG，
∵∠BDE=45°，GE⊥DE，
∴∠GDE=∠DGE，
∴GE=DE，
∵小明行走的路程=AB+AD+DE+EF=4600m，
∴DE+EF=1600m，
∵小红行走的路程=AB+AG+GE=3100m．
故答案为：3100．
连接GC，由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG=GC，由矩形的性质GC=EF=AG，即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质是本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵CE/​/DB，BE/​/AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形OBEC是矩形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=3cm，
在Rt△OCD中，OC= CD2−OD2= 52−32=4，
∴S矩形OBEC=OC·OB=4×3=12(cm2)
【解析】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定和矩形的面积，主要考查学生的推理能力．
(1)根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．
(2)先根据菱形的性质和勾股定理求出OC的长，再根据矩形的面积公式即可解答．
18.【答案】∠BAC=90°
【解析】(1)证明：∵DE/​/AC，DF/​/AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF为菱形；
(2)在△ABC中，当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
故答案为：∠BAC=90°．
(1)先证四边形AEDF是平行四边形，再证EA=ED，即可得出结论；
(2)根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
本题主要考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中点，且DF=14DC，
∴AE=DE=2，DF=1，CF=3，
在Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△DEF中，由勾股定理得：
BE= AB2+AE2= 42+22=2 5，
BF= BC2+CF2= 42+32=5，
EF= DE2+DF2= 22+12= 5，
∴△BEF的周长=2 5+ 5+5=3 5+5；
(2)△BEF为直角三角形，理由如下：
设正方形的边长为4x，
∵BE=2 5x，BF=5x，EF= 5x，
∴BE2=20x2，EF2=5x2，BF2=25x2，
∴BE2+EF2=BF2，
∴△BEF是直角三角形．
【解析】(1)根据正方形的性质及条件求出ED和DF的值，再由勾股定理就可以求出EF、BE及BF的值，从而可以求出结论．
(2)根据勾股定理的逆定理就可以直接求出△BEF是直角三角形，从而可以得出结论．
本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的周长的运用及勾股定理的逆定理的运用．在解答中求出△BEF的三边长的是关键．
20.【答案】四边形ABCD为平行四边形，BA=BE，AB=AF，如图 四边形ABEF为菱形
【解析】(1)已知：四边形ABCD为平行四边形，BA=BE，AB=AF，如图，
求证：四边形ABEF为菱形．
故答案为四边形ABCD为平行四边形，BA=BE，AB=AF，如图，
(2)证明：∵BA=BE，AB=AF，
∴BE=AF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF/​/BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形．
(1)利用作法得到BA=BE，AB=AF，然后证明四边形ABEF为菱形；
(2)先证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等，则可判断四边形ABEF为菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
21.【答案】证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD/​/BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
【解析】由DE=BC，DE/​/BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题．
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
22.【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF(ASA)，
∴CE=DF．
【解析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等．