初中数学人教版（2024）八年级下册勾股定理的逆定理同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册勾股定理的逆定理同步测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 5，11，13
2.勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.8m，将它往前推3m至C处时(即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 3.4mB. 3.6mC. 3.8mD. 4.2m
3.符合下列条件的▵ABC中，不属于直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a=3，b=4，c=5
C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3D. ∠A=∠B=3∠C
4.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(4,1)，下列两位同学的说法正确的是( )
琳琳：当点C的坐标为(2,1)时，△ABC为直角三角形．
壮壮：当点C的坐标为(0,1)时，△ABC为直角三角形．
A. 只有琳琳正确
B. 只有壮壮正确
C. 两人都正确
D. 两人都不正确
5.小逸从家出发，向正东方向走了160m，接着向正北方向走了120m，此时小逸离家的距离为( )
A. 120mB. 160mC. 200mD. 280m
6.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈=10尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. x2+42=(10−x)2B. (10−x)2+42=x2
C. x2+(10−x)2=42D. x(10−x)=42
7.如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C=90°)绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村.已知AC=5km，BC=12km，BC=12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是( )
A. 13kmB. 4kmC. 7kmD. 2km
8.已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到ACˈ的位置，此时露在水面上的鱼线BʹCʹ长度为8米，则BBʹ的长为( )
A. 4米
B. 3米
C. 2米
D. 1米
二、填空题：
9.下列几组数：①8，15，17；②1，2， 3；③0.3，0.4，0.5；④16，18，110；⑤12，16，20.其中是勾股数的有______.(填序号)
10.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足(a−3)2+ b−4+|c−5|=0，则△ABC的形状是______．
11.如图，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，▵ABC的顶点都在格点上，则▵ABC是 三角形．
12.如图，一根竖直的旗杆高为8米，被台风从B处吹折，旗杆的顶端C刚好触地，且离旗杆底端A的距离AC是4米，则这根旗杆折断处B与旗杆底端A的距离AB为______米.
13.如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米.
三、解答题：
14. 已知实数a，b，c满足 a−7+b−5 2+(c−1)2=0。
(1)求a，b，c的值；(2)判断以a，b，c为边能否构成三角形?若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
15. 如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题．
(1)判断△ABC是什么形状三角形？并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC=90°，AB=13，BC=12，AD=4，CD=3．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求四边形ABCD的面积．
如图，在△ABC中，AC=13cm，AB=12cm，BC=5cm，D是BC延长线上的点，连接AD，若AD=15cm．
(1)求CD的长；
(2)过点C作CE⊥AD交AD于点E，求CE的长．
有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高．
解：设竹竿高为x尺，则门高______尺.(用x的代数式表示)
请将解答过程补充完整．
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节.某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
求风筝的垂直高度CE．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、12+22=5≠32，不是勾股数，不符合题意．
B、22+32=13≠42，不是勾股数，不符合题意．
C、32+42=25=52，是勾股数，符合题意．
D、52+112=146≠132，不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
根据勾股数的定义解答即可．
本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知，DE=CF=2.6m，BE=0.8m，CD=3m，
∴BD=1.8m，
设AB=AC=x m，则AD=(x−1.8)m，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴(x−1.8)2+32=x2，
解得：x=3.4，
即绳索AC的长是3.4m，
故选：A．
由题意可知，DE=CF=2.6m，BE=0.8m，CD=3m，设AB=AC=x m，根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
3.【答案】D
【解析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键．
根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解．
【详解】解：A、∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C+∠C=180∘，
∴∠C=90∘，该三角形是直角三角形，不符合题意；
B、a=3,b=4,c=5，
∵32+42=52，即a2+b2=c2，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∠A:∠B:∠C=1:2:3，
设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x，
∴x+2x+3x=180∘，
∴x=30∘，
∴∠C=3x=90∘，该三角形是直角三角形，不符合题意；
D、∠A=∠B=3∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴3∠C+3∠C+∠C=180∘，
∴∠C=180∘7，
∴∠A=∠B=540∘7，该三角形是不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：当点C的坐标为(2,1)时，∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形；
当点C的坐标为(0,1)时，∠ACB=∠ABC=45°，则∠CAB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
∴两人的说法都正确，
故选：C．
根据坐标的位置，结合网格的特点即可判断．
本题考查了坐标与图形及勾股定理的逆定理，熟知以上知识是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，∵小逸从家出发，向正东方向走了160m，接着向正北方向走了120m，
∴BC=160m，BA=120m，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= AB2+BC2=200m．
故选：C．
根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可．
此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长10−x尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解．
【解答】
解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺，
∴折断部分的竹子长10−x尺．
根据题意得：x2+42=10−x2．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AC=5km，BC=12km，
∴AB= AC2+BC2= 52+122=13(km)，
∴AC+BC=5+12=17(km)，
−AB=13km，
∴17−13=4(km)，
∴打通隧道后从A村到B村比原来减少4km，
故选：B．
由勾股定理求出AB=13km，再求出AC+BC−AB的值即可得解．
本题考查了勾股定理的应用，列代数式，熟记勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=10m，BC=6m，
∴AB= AC2−BC2= 102−62=8(m)，
在Rt△AB′C′中，AC′=10m，B′C′=8m，
∴AB′= AC′2−B′C′2=6(m)，
∴BB′=AB−AB′=8−6=2(m)；
故选：C．
根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB−AB′即可得出答案．
此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB和AB′是解题的关键．
9.【答案】①⑤
【解析】解：①∵82+152=172，
∴8，15，17是勾股数；
② 3不是整数，故1，2， 3不是勾股数；
③0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数；
④16，18，110不是整数，故16，18，110不是勾股数；
⑤∵122+162=202，
∴12，16，20是勾股数；
故答案为：①⑤．
根据勾股数的定义，逐一判断即可求解．
本题考查了勾股数的定义，掌握作为勾股数的三个数必须是正整数，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数是解题的关键．
10.【答案】直角三角形
【解析】解：由题意得，a−3=0，b−4=0，c−5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=32+42=25=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
先利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理及算术平方根非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键．
11.【答案】直角
【解析】结合网格图，先根据勾股定理求出AB2、AC2和BC2，再根据勾股定理的逆定理即可作答．
【详解】由图可知，AB2=12+22=5，BC2=22+42=20，AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴▵ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
12.【答案】3
【解析】解：∵旗杆高为8米，
∴BC+AB=8，∠BAC=90°，
设AB的长为x米，则BC的长为(8−x)米．
在Rt△CBA中，有AB2+AC2=BC2，
即x2+16=(8−x)2，
解得x=3，
故答案为：3．
旗杆折断后刚好构成直角三角形，设旗杆折断处与根部的距离AB是x米，则斜边为(8−x)米，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
13.【答案】10
【解析】解：如图，连接AB，过点B作BC⊥AD与点C，
∵∠ADH=∠BCD=∠BHD=90°，
∴四边形BCDH矩形，
∴BH=DC=4m，BC=DH=8m，
∴AC=AD−CD=10−4=6(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 36+64=10(m)，
则小鸟至少要飞10m，
故答案为：10．
根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
14.【答案】解：(1)根据题意得：a−7=0，b−5 2=0，c−1=0，
解得：a=7，b=5 2，c=1；
(2)∵72+12=(5 2)2，
∴a2+c2=b2，
∴以a、b、c为边能构成三角形，构成的三角形是直角三角形．
三角形的面积是：12ac=12×7×1=72．
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
(1)根据非负数的性质可求出a、b、c的值；
(2)首先利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，利用面积公式求解．
15.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下，
∵AB2=22+32=13，BC2=62+42=52，AC2=82+12=65，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°；
(2)∵∠ABC=90°，AB= 13,BC= 52=2 13
∴△ABC的面积=12⋅AB⋅BC=12× 13×2 13=13．
【解析】(1)分别计算各边的长度，利用勾股定理逆定理判定此三角形是直角三角形；
(2)利用公式直接计算面积即可．
此题考查勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3．
在△ADC中，根据勾股定理得：AC2=AD2+CD2=42+32=25，
∵AB=13，BC=12，
AC2+BC2=25+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形；
(2)图形ABCD的面积为：
S△ABC−S△ACD=12×5×12−12×3×4=24，
则四边形ABCD面积为24．
【解析】(1)在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，可求AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形；
(2)利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
17.【答案】解：(1)∵AC=13cm，AB=12cm，BC=5cm，
∴AC2=169，AB2=144，BC2=25，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= AD2−AB2= 152−122=9(cm)，
∴CD=BD−BC=9−5=4(cm)，
∴CD的长为4cm；
(2)由(1)得CD=4cm，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，
∵CE⊥AD，
∴S△ACD=12CD×AB=12AD×CE，
∴12×4×12=12×15×CE，
∴15CE=48，
∴CE=165(cm)，
∴CE的长为165cm．
【解析】(1)根据勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，再由勾股定理求得BD=9cm，最后由角度和差即可求解；
(2)利用等面积法即可求解．
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
18.【答案】(x−1)
【解析】解：设竹竿高为x尺，则门高(x−1)尺，
根据题意，得：(x−1)2+42=x2，
解得：x=8.5，
答：竹竿高为8.5尺．
根据把竹竿竖着放比门高出1尺，即可得到门高为(x−1)尺，根据斜着放恰好等于门的对角线长，列出方程，进行求解即可．
本题考查一元一次方程的实际应用，勾股定理．解题的关键是读懂题意，正确的表示出门高和门的对角线长．
19.【答案】解：在Rt△BDC中，由勾股定理得，
CD= BC2−BD2= 252−152=20(米)，
∴EC=CD+DE=CD+AB=20+1.7=21.7(米)，
即风筝的垂直高度CE为21.7米．
【解析】根据勾股定理求出CD的长即可推出结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．