初中数学勾股定理课时训练

这是一份初中数学勾股定理课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直角三角形两直角边长分别为3 cm和4 cm，则斜边长为( )
A. 5 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 10 cm
2.等腰直角三角形的直角边长为2，则斜边的长为( )
A. 2B. 2 2C. 1D. 2
3.等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为( )
A. 12B. 7C. 6D. 5
4.如图所示的是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长均为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为( )
A. 5B. 3C. 10D. 4 10
5.若一直角三角形的两条直角边的长分别为9 cm和12 cm，则该直角三角形斜边上的高为( )
A. 6 cmB. 8 cmC. 535 cmD. 365 cm
6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(−2,3)，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在( )
A. −4与−3之间B. 3与4之间C. −5与−4之间D. 4与5之间
7.如图，在Rt▵ACB中，BC=3，AB=5，∠BCA=90 ∘，在AC上取一点E，连接BE，将▵ABE沿BE翻折得到▵A′BE，使得点A′落在直线BC上，则AE的长度为( )
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
8.我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则AC的长为 ．
10.在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为 ．
11.如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为 ．
12.若某三角形的三边长分别为 13， 10， 17，则该三角形的面积是 ．
13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= 5，则BC= 。
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm把△ABC沿AB方向平移1cm得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为 cm．
15.如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC= ．
三、解答题：
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b．
(1)已知c=9，b=6，求a的值．
(2)已知a∶b=3∶4，且c=15，求a，b的值．
17. 如图，在长方形ABCD中，AB=9，AD=12．
(1)求对角线AC的长；
(2)点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠点D恰好落在线段AC上，与点F重合，求线段DE的长．
18.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法，如图，将火柴盒的一个侧面ABCD放在长方形AB′C′D′的位置，连接CC′，AC，AC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理．
19.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点．
(1)请在网格中画出格点三角形ABC，使AB=2 2，BC= 13，AC= 17；
(2)求△ABC的面积．
20如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】∵直角三角形两直角边长分别为3 cm和4 cm，
∴斜边长为 32+42=5cm，故选 A．
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
【解析】由题意得“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为 12+32= 10，故选 C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理.根据题意，画出图形，利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，再利用三角形的面积公式求出该直角三角形斜边上的高即可．
【解答】
解：如图，AC=9cm，BC=12cm，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，
∴AB2=AC2+BC2=92+122=152，
∴AB=15cm，
∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB，
∴12×9×12=12×15×CD，
∴CD=365cm．
6.【答案】A
7.【答案】C
【解析】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，由勾股定理求出AC=4，设AE=x，由折叠得A′B=AB=5，得CA′=2，CE=4−x，A′E=x，在Rt▵A′CE中，由勾股定理得方程22+4−x2=x2，求出x的值即可．
【详解】解：在Rt▵ACB中，BC=3，AB=5，∠BCA=90 ∘，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4，
设AE=x，则CE=4−x，
由折叠得A′B=AB=5，A′E=AE=x，
∴CA′=BA′−BC=5−3=2，
在Rt▵A′CE中，CA′2+CE2=A′E2，
∴22+4−x2=x2，
解得，x=2.5，
∴AE=2.5，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】选项A中，∵大正方形的面积为c2，也可看成是4个直角三角形和1个小正方形的面积和，即12ab×4+b−a2=a2+b2，∴a2+b2=c2，故此选项能证明勾股定理．
选项B中，∵梯形的面积为12a+ba+b=12a2+b2+ab，也可看成是2个直角三角形和1个等腰直角三角形的面积和，即12ab×2+12c2=ab+12c2，∴ab+12c2=12a2+b2+ab，∴a2+b2=c2，故此选项能证明勾股定理．
选项C中，∵大正方形的面积为(a+b)2，也可看成是4个直角三角形和1个小正方形的面积和，即12ab×4+c2=2ab+c2，∴(a+b)2=2ab+c2，∴a2+b2=c2，故此选项能证明勾股定理．
选项D中，∵大正方形的面积为(a+b)2，也可看成是2个长方形和2个小正方形的面积和，即a2+b2+2ab，∴(a+b)2=a2+b2+2ab，故此选项不能证明勾股定理．故选D．
9.【答案】3 3
10.【答案】5
11.【答案】17
12.【答案】5.5
【解析】提示：如图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，AD=y，则{+y2=10,( 17−x)2+y2=13,解得{=7 1717,y=11 1717(负值已舍).所以AD=11 1717，所以S▵ABC=12BC⋅AD=12× 17×11 1717=5.5．
13.【答案】 5+1
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的知识.根据∠ADC=2∠B，推出DB=DA= 5，在Rt△ADC中，应用勾股定理求出DC的长度，再根据BC=BD+DC即可求出答案．
【解答】
解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA= 5，
在Rt△ADC中，DC= AD2−AC2=1，
∴BC= 5+1．
故答案为 5+1．
14.【答案】8+2 3
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm，∴AB=2BC=4cm，∴AC= AB2−BC2=2 3cm.∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A′B′C′，∴B′C′=BC=2cm，BB′=CC′=1cm，∴AB′=AB+BB′=5cm.∴四边形AB′C′C的周长=AB′+B′C′+CC′+AC=5+2+1+2 3=8+2 3cm．
15.【答案】1
【解析】设AE=ED=x，CD=y，
∴BD=2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
在Rt△ABD中，AB2=4x2+4y2=4，
∴x2+y2=1，
在Rt△CDE中，EC2=x2+y2=1，
∴EC=1．
16.【答案】【小题1】
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a= c2−b2= 92−62=3 5．
【小题2】
设a=3x，b=4x，x>0，
由勾股定理得(3x)2+(4x)2=152，
整理得x2=9，解得x=3(舍负)，故a=9，b=12．
17.【答案】解：(1)由题意可知：AB=CD=9，AD=BC=12，
∴AC= AB2+BC2=15；
(2)∵把△ADE沿着直线AE折叠点D恰好落在线段AC上，与点F重合，
∴AF=AD=BC=12，DE=EF，FC=AC−AF=15−12=3．
设DE=x，则EC=CD−DE=9−x，EF=DE=x．
∵EF2+FC2=EC2，
∴x2+32=(9−x)2，
解得x=4．
即DE=4．
【解析】(1)根据题意在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长；
(2)利用折叠的性质，设DE=x，则EC=CD−DE=9−x，EF=DE=x.在直角Rt△CEF中，利用勾股定理构造方程可求得x的值．
本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键．
18.【答案】由已知得四边形BCC′D′为直角梯形，则直角梯形的面积为12C′D′+BC⋅BD′=12a+ba+b，又∵直角梯形的面积为△AC′D′，△AC′C和△ABC的面积的和，即12ab+12c2+12ab，∴12a+ba+b=12ab+12c2+12ab，∴a2+b2=c2．
19.【答案】【小题1】
如图，△ABC即为所求作(位置不唯一)
【小题2】
S△ABC=3×4−12×2×2−12×2×3−12×1×4=5
20.【答案】S1=S2+S3，
证明：在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2=AC2+BC2，∵S1=12AB⋅ 32AB= 34AB2，S2=12BC⋅ 32BC= 34BC2，S3=12AC⋅ 32AC= 34AC2，且 34AB2= 34AC2+ 34BC2，∴S1=S2+S3．