初中数学人教版（2024）八年级下册勾股定理优秀当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册勾股定理优秀当堂达标检测题，文件包含专题01勾股定理与逆定理知识串讲+8大考点原卷版docx、专题01勾股定理与逆定理知识串讲+8大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）勾股定理
（1）勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
（3）变式：
①a2=c2- b2
②b2=c2- a2
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
（二）勾股定理的几何证明
（1）方法一：，，化简可证．
（2）方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
（3）方法三：，，化简得证
（三）勾股数
（1）勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
（2）常见的勾股数：如；；；等
（3）扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
①（为正整数）；
②（为正整数）
③（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
（四）勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，若=则以，，为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
考点一遍过
考点1：勾股定理求线段
典例1：（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=6，BC=8，则CD的长为（ ）
A．2.4B．2.5C．4.8D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出AB的长，再运用等面积法求得CD的长即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵CD⊥AB
∴12AB⋅CD=12AC⋅BC，即CD=AC⋅BCAB=6×810=4.8．
故选C．
【变式1】（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AB的长是（ ）
A．5B．9C．13D．17
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形的全等与性质等知识点．作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，再证明△ABD≌△BCE，因此可得BD=CE=1+3=4，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，

∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∵∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC，
∴△ABD≌△BCEAAS，
∴BD=CE=1+3=4，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得：AB=AD2+BD2=32+42=5，
故选：A．
【变式2】（安徽省淮北市五校联考2023-2024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=OC，点B在第一象限，BC⊥OB，若BC=1，OB=3，则四边形OABC的面积为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线；
过B作BH⊥OC，根据勾股定理解出OC=10,再根据等面积法算出BH=31010,从而得出OH=91010，再根据四边形OABC的面积=S△BCO+S△ABO即可求解；
【详解】过B作BH⊥OC，
∵BC=1，OB=3，BC⊥OB，
∴OC=BC2+OB2=10,
∵BH⋅OC=BC⋅OB，
∴BH=BC⋅OBOC=1×310=31010,OH=OB2−BH2=91010，
∵OA=OC，
∴OA=OC=10，
则四边形OABC的面积=S△BCO+S△ABO=12OC⋅BH+12OA⋅OH=12×10×31010+12×10×91010=6；
故选：B．
【变式3】（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（ ）
A．247B．257C．125D．135
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理．根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离,再求它们的比值即可．
【详解】解 ： 作CD⊥AB于点D，CE为△ACB的中线，
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，
∴4×32=5⋅CD2，
解得CD=125，
∴BD=BC2−CD2=32−1252=95，
∵CE为Rt△ACB斜边AB上的中线，AB=5，
∴BE=52，
∴ED=BE−BD=52−95=710，
即点E到CD的距离为710，
∴△ABC中AB边的“中偏度值”为：125710=247，

故选：A．
考点2：勾股定理——网格问题
典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示10长的线段是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格的特点和勾股定理分别求出4条线段的长即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点可知OA=12+12=2，OB=12+22=5，OC=12+32=10，OD=12+42=17，
∴表示10长的线段是OC，
故选C．
【变式1】（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处．BC长为（ ）

A．4.5B．5C．17D．13
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出BC的长．
【详解】解：BC=42+12=17．
故选C．
【变式2】（2023上·山东临沂·八年级统考阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=（ ）

A．45°B．30°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】连接CD，DE，先根据勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，再根据CD=DE=5可得∠DCE=∠DEC=45°，进而可得∠1+∠3=45°，然后利用平行线的性质可得∠2=∠3，再利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：连接CD，DE，

由题意得：CD2=12+22=5，CE2=12+32=10，ED2=12+22=5，
∴CD2+DE2=CE2，
∴△CDE是直角三角形，
∵CD=DE=5，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠1+∠3=90°−∠DCE=45°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3】（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个；
①△ABC的形状是等腰三角形；
②△ABC的周长是210+2；
③点C到AB边的距离是8310．

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC、BC、AB长，即可判断①和②，根据三角形面积公式即可判断③．
【详解】解：由勾股定理得：AB=12+32=10，AC=22+22=22，BC=12+32=10，
∴AB=BC，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
∴①正确；
△ABC的周长是10+22+10=210+22，
∴②错误；
设C到AB的距离是h，
由三角形面积公式得：3×3−12×2×2−2×12×3×1=12AB·ℎ，
∵AB=10，
∴ℎ=4510，
∴③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点3：勾股定理——折叠问题
典例3：（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A．78B．3C．254D．258
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到AE=BE，设AE=x，则CE=AC−AE=4−x，BE=x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得到x2=32+（4−x）2，求解即可．
【详解】解：∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴△ADE≅△BDE，
∴AE=BE，
设AE=x，则CE=AC−AE=4−x，BE=x，
在Rt△BCE中，
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=32+（4−x）2，
解得x=258，
∴AE=258，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
【变式1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E为边CD上一点，将△BCE沿BE翻折后，点C恰好落在边AD上的点F处，则CE=（ ）
A．2B．43C．53D．1
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设CE=x，则DE=3−x，由折叠性质可知，EF=CE=x，BF=BC =5，求出AF=4，FD=AB−AF=1，在Rt△BEF中，DE2+DF2=EF2，即(3−x)2+12=x2，即可求解．
【详解】解：设CE=x，则DE=3−x，
由折叠性质可知，EF=CE=x，BF=BC =5，
在Rt△ABF中，AB=3，BF=5，
∴ AF=BF2−AB2=4，
∴ DF=AD−AF=1，
在Rt△BEF中，DE2+DF2=EF2，
即(3−x)2+12=x2，
解得x= 53．
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，小林折叠一张长方形纸片ABCD，已知该纸片长AB=10，宽BC=8，折叠时，小林在BC边上取一点E，将△ABE沿直线AE折叠，使点B恰好落在CD边上的F处，则BE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，AF=AB=10，BE=EF，由勾股定理，得出DF=6，进而得到CF=4，设BE=EF=x，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，AF=AB=10，BE=EF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=10，
在Rt△ADF中，DF=AF2−AD2=102−82=6，
∴CF=CD−DF=10−6=4，
设BE=EF=x，则CE=BC−BE=8−x，
在中，CF2+CE2=EF2，
∴42+8−x2=x2，
解得：x=5，
即BE=5，
故选：C．
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F，若DG=EG，AF=8，AB=10，△AEG的面积为15，则BD的长为( )

A．213B．210C．27D．25
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，先由△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，证明AD垂直平分BE，再由∠AFB=∠BFD=90°，AF=8，AB=10，根据勾股定理求得EF=BF=AB2−AF2=6，再由DG=EG，得S△ADG=S△AEG=15，则S△ADE=15，即可列面积等式求得AD=10，则DF=2，再根据勾股定理求得BD，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，
∴AD垂直平分BE，
∴∠AFB=∠BFD=90°，AF=8，AB=10，
∴EF=BF=AB2−AF2=102−82=6，
∵DG=EG，S△AEG=15，
∴S△ADG=S△AEG=15，
∴S△ADE=S△AEG+S△ADG=30，
∴12×6AD=30，
∴AD=10，
∴DF=AD−AF=2，
∴BD=BF2+DF2=62+22=210，
∴BD的长是210，
故选：B．
考点4：勾股定理——勾股树问题
典例4：（2022下·安徽滁州·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【详解】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=3，S2=10则S3=（ ）
A．5B．7C．13D．15
【答案】B
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，
∴S3=S2−S1=10−3=7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【变式2】（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1>S2>S3>S4，则下列结论正确的是（ ）
A．S1+S4=kS1B．S1+S4=S22C．S1⋅S4=k2S2D．S1⋅S4=S22
【答案】D
【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案．
【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，
∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，
∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka，
∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a，
∴S1=（kb）2-b2
=（k2-1）b2，
S2=b2，
S4=a2，
在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得：
（ka）2+（kb）2=（k2a）2，
∴a2+b2=k2a2，
∴b2=（k2-1）a2，
∴S1=（k2-1）2a2，
∴S1•S4=（k2-1）2a2•a2
=[（k2-1）a2]2
=S22，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键．
【变式3】（2022上·江西萍乡·八年级统考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（ ）
A．8cm2B．16cm2C．32cm2D．64cm2
【答案】C
【分析】求出正方形的性质，再根据勾股定理依次求出各正方形的面积，然后求出正方形①的面积，再根据正方形的性质求出边长即可．
【详解】解：∵正方形⑤的面积是2cm2，各三角形都是等腰直角三角形，
∴正方形④的面积为2+2=4cm2，
同理，正方形③的面积是8cm2，
正方形②的面积是16cm2，
正方形①的面积是32cm2．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，依次求出各正方形的面积是解题的关键．
考点5：勾股定理——勾股数问题
典例5：（2022上·广东茂名·八年级校考期中）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．6，8，10C．12，16，20D．32，42，52
【答案】D
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
【详解】解：A、52+122=132，是勾股数，不符合题意；
B、62+82=102，是勾股数，不符合题意；
C、162+122=202，是勾股数，不符合题意；
D、162+92≠252，不是勾股数，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）下列各组数能构成勾股数的是（ ）
A．2，3，7B．12，16，20C．13，14，15D．32，42，52
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股数，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、22+(3)2=(7)2，但不是正整数，故选项错误；
B、122+162=202，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；
C、(14)2+(15)2≠(13)2，不能构成直角三角形，故选项错误；
D、(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）

A．67B．34C．98D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到a=（n+1）2−1，b=2（n+1），c=（n+1）2+1，进而得出x+y的值．
【详解】解：由题可得：
a=（n+1）2−1，
b=2（n+1），
c=（n+1）2+1，
∴当2（n+1）=14时，n=6，
∴x=48，y=50，
∴x+y=98，
故选：C．
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键．
【变式3】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A．14B．16C．35D．37
【答案】C
【分析】依题意，设斜边为x，则股为x−2，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为x−2，
∴122+x−22=x2，
解得：x=37，
∴股为x−2=37−2=35，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
考点6：勾股逆定理——判定Rt△
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）分别具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．a=5，b=12，c=13
C．∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D．∠A=∠B=3∠C
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟知三角形三个内角的度数之和为180度是解题的关键．根据三角形内角和为180度，求出每一个角的度数即可判断选项A、C、D，根据勾股定理的逆定理即可判断选项B．
【详解】解：A．∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B．∵a=5，b=12，c=13，
∴a2+b2=52+122=169=132=c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C．∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=31+2+3×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D．∵∠A=∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=33+3+1×180°=5407°，∠C=13+3+1×180°=1807°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）在△ABC中以下条件能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）个
条件①：∠A=∠C−∠B；
条件②：三角形三边a，b，c的比3:4:5；
条件③：∠A:∠B:∠C=3:1:5；条件④：a=5、b=12、c=13．
条件⑤：三角形三边a，b，c满足b2=a2−c2
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．本题利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：①∠A=∠C−∠B，则∠A+∠B=∠C，因此∠C=90°，
故△ABC是直角三角形；
②三角形三边a，b，c的比3:4:5；，则a2+b2=c2，
故△ABC是直角三角形；
③∠A:∠B:∠C=3:1:5，则最大的角∠C=53+1+5×180°=100°，
故△ABC不是直角三角形；
④a=5、b=12、c=13，因为52+122=132，
则△ABC是直角三角形；
⑤三角形三边a，b，c满足b2=a2−c2，即b2+c2=a2，
则△ABC是直角三角形；
故能判定△ABC是直角三角形的个数有4个，
故选：C．
【变式2】（2023上·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，它们满足(a−10)2+b−24+c−26=0，则这个三角形的形状是( )
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得a−10=0，b−24=0，c−26=0，从而可得a=10，b=24，c=26，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ (a−10)2+b−24+c−26=0
∴a−10=0，b−24=0，c−26=0，
∴a=10，b=24，c=26，
∵ a2+b2=102+242=676，c2=262=676，
∴ a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式3】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（ ）
A．如果a:b:c=7:24:25，则∠C=90°
B．如果∠A:∠B:∠C=3:4:5，则△ABC为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果∠A−∠B=∠C，则△ABC为直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．
【详解】解：A、∵a:b:c=7:24:25，
∴设a=7k，b=24k，c=25k，
∵a2+b2=7k2+24k2=625k2，c2=25k2=625k2，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，故不符合题意；
B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故符合题意；
C、∵a，b，c长分别为6，8，10，
∴a2+b2=c2，且a，b，c的长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；
D、∵∠A−∠B=∠C①，
∠A+∠B+∠C=180°②，
将①代入②得：2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
考点7：勾股定理——弦图计算
典例7：（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1，S2，S3的说法正确的是（ ）
A．S1=2B．S2=3C．S1+S2=6D．S1+S3=8
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根据三个正方形面积公式列式相加：S1+S2+S3=12，求出GF2的值，从而可以计算结论即可．
【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=(CG+DG)2，
=CG2+DG2+2CG⋅DG，
=GF2+2CG⋅DG，
S2=GF2，
S3=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG⋅NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG⋅DG+GF2+NG2+NF2−2NG⋅NF=3GF2=12，
∴GF2=4，
∴S2=4，
∵S1+S2+S3=12，
∴S1+S3=8，
故选：D．
【变式1】（2023上·广东广州·八年级南海中学校考期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9，其中正确的是（ ）

A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：如图，

∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理得x2+y2=AB2=49，故①正确；
由图可知x−y=CE=4=2，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得4×12xy+4=49，即2xy+4=49，故③正确；
由2xy+4=49可得2xy=45．
∵x2+y2=49，
∴x2+2xy+y2=49+45，整理得x+y2=94，
∴x+y=94≠9，故④错误．
正确的是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
【变式2】（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（ ）

A．25B．33C．42D．32
【答案】D
【分析】设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，根据题意“空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25”可得c2−2×12ab=11c2+2×12ab=25，将两式相加并求解即可获得答案．
【详解】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，

∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，
∴可有c2−2×12ab=11c2+2×12ab=25，
解得c2=18，
解得c=32或c=−32（不合题意，舍去），
∴大正方形的边长是32．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、方程组的应用等知识，正确表示出直角三角形的面积是解题关键．
【变式3】（2022上·辽宁沈阳·八年级统考期末）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4=（ ）

A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】利用正方形的性质，易证△ACB≌△BDEAAS，得到BC=ED，再利用勾股定理，得到S1+S2=1，同理可得，S2+S3=2，S3+S4=3，即可得到答案．
【详解】解：由正方形的性质可知，AB=BE，∠ACB=∠BDE=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
∠ACB=∠BDE∠BAC=∠EBDAB=BE，
∴△ACB≌△BDEAAS，
∴BC=ED，
在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
∴S1+S2=1，
同理可得，S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6，
故选：A．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出AB2=S1+S2是解题关键．
考点8：勾股定理——几何应用
典例8：（2024上·广东广州·九年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图，正方形ABCD的顶点A，B别在x轴、y轴上，A−4,0，G0,4，若BC的中点E好落在x轴上，此时DG恰好也垂直于y轴，CD交y轴于点F，连接DO．判断：①BF=AE；②△ADO是等边三角形；③∠AEB+∠CDG=90°；④AB=5．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据正方形的性质，可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∠EAB=90°−∠ABO=∠FBC，证明△EAB≌△FBC，从而得到①正确，作CM⊥y轴于点M，则CM∥DG∥OE，由平行线的性质可得∠DCM=∠CDG,∠BCM=∠AEB，证得③正确，根据A−4,0，G0,4，得到OA=OG=4，根据直角三角形中斜边大于直角边，得到OD＞OG，判定△ADO不是等边三角形，设BE=EC=a，则AB=BC=2a，利用勾股定理结合等面积法即可求得，即可判断②④均错误．本题考查了图形与坐标，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【详解】∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠EAB=90°−∠ABO=∠FBC，
∵∠ABE=∠BCF=90°AB=BC∠EAB=∠FBC
∴△EAB≌△FBCASA，
∴BF=AE,
∴①正确，
作CM⊥y轴于点M，
则CM∥DG∥OE，
∴∠DCM=∠CDG,∠BCM=∠AEB，
∵∠DCM+∠BCM=90°,
∴∠AEB+∠CDG=90°,
∴③正确，
∵A−4,0，G0,4，
∴OA=OG=4，
根据直角三角形中斜边大于直角边，
∴OD＞OG，
∴△ADO不是等边三角形，
∴②错误；
设BE=EC=a，则AB=BC=2a，
∴AE=AB2+BE2=5a，
根据直角三角形面积不同表示法，得12AE·OB=12AB·BE，
∴OB=AB·BEAE=255a，
∵OB2+OA2=AB2，
∴255a2+42=2a2，
解得a=5
∴AB=25，
故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
【变式1】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，连接B、D和B，E，下列四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=30°；④BE2=2AD2+AB2，其中，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；
③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形得到DE2=2AD2，BC2=2AB2，再由BC2=BD2+CD2≠BD2就可得出结论．
【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°−90°=90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③错误；
④∵BD⊥CE，
∴BE2=BD2+DE2．
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，
∵BC2=BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2AD2+AB2．故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
【变式2】（2023上·浙江绍兴·八年级新昌县七星中学校考期中）如图，已知点P在∠AOB的边OA上，OP=10，点M，N在边OB上PM=PN．若MN=2，OM=5，则PM的长为（ ）
A．63B．8C．65D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟记等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．过点P作PH⊥OB于点H，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得MH=NH=1，则OH=6，在Rt△OPH中根据勾股定理可求得PH=OP2−OH2=8，再在Rt△MPH中，根据勾股定理求PM的长即可．
【详解】解：过点P作PH⊥OB于点H，如下图，
∵PM=PN，MN=2，
∴MH=NH=12MN=1，
∵OM=5，
∴OH=OM+MH=5+1=6，
∴在Rt△OPH中，PH=OP2−OH2=102−62=8，
∴在Rt△MPH中，PM=MH2+PH2=12+82=65．
故选：C．
【变式3】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为边BC上一点，连接AD，AE=AD，且∠DAE=90°，连接CE、BE，若AD=52，BD=8，则CE的长为（ ）
A．15B．258C．18D．152
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABE≌△ACD是解题的关键，连接DE，利用SAS证明△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得出BE=CD，∠ABE=∠ACD，进而推出∠EBD=90°，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出DE=2AD=10，BE=6=CD，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接DE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠EAB=∠DAC，∠ABC+∠ACD=90°，
在△ABE和△ACD中，
AE=AD∠EAB=∠DACAB=AC，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ABC+∠ACD=90°，
∵AE=AD 且∠DAE=90°，AD=52，
∴DE=2AD=10，
∵BD=8，
∴BE=DE2−BD2=6=CD，
∴BC=BD+CD=14，
∴CE=BE2+BC2=258，
故选：B．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·山东淄博·七年级统考期中）已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，那么BD等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】由题意根据已知可求得AD的长，再根据勾股定理即可求得BD的长．
【详解】解：∵AB=AC=10，DC=2，
∴AD= AC-DC=8，
∴BD=AB2−AD2=102−82=6.
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.
2．（2022上·山东泰安·七年级统考期中）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=5：12：13； ④△ABC中，三边长分别为13，14，15；其中，直角三角形的个数有( )．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，逐一判定即可.
【详解】①∵△ABC中，∠C=∠A-∠B，
∴∠C+∠B=∠A，
∵∠C+∠A+∠B=180°，
∴2（∠B+∠C）=180°，
∴∠B+∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30°，
∴∠C=3x=3×30°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC中，a：b：c=3：4：5，
∴设a=3x，则b=4x，c=5x，
∴a2+b2+c2=（3x）2+（4x）2=（5x）2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵△ABC中，三边长分别为13，14，15
∴152+142≠132
∴△ABC不是直角三角形；
故答案为C.
【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
3．（2022·河北保定·校考一模）如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为（ ）
A．2mB．25mC．4mD．42m
【答案】A
【分析】根据勾股定理，求出FC=DF2+CD2=45，令DE=x，在Rt△CDE中，EC2=DE2+CD2，在Rt△CFE中，EC2=FE2−CF2=DE2+CD2，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，DF=8m，
由勾股定理，得
FC=DF2+CD2=82+42=45，
EC2=DE2+CD2，EC2=FE2−CF2，
∴FE2−CF2=DE2+CD2，
令DE=x，则EF=x+8，
∴（x+8）2−(45)2=x2+16，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
4．（2022上·河南商丘·九年级永城市实验中学校考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1:2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】A、∵△AMN∽△ACB，则MNBC=48=12，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
B、∵△AMN∽△ACB，则AMAC=24=12，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
C、∵△MCA∽△ACB，则MCAC=24=12，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
D、∵△AMC∽△ACB，由勾股定理得：AB=45，则ACAB=445=55≠12，此选项是不符合要求的作图，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的相似比等于对应边的比是关键．
5．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．5，12，23D．6，8，11
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、5+12