第十七章 勾股定理-单元复习题 2024-2025学年人教版八年级数学下册（含答案+解析）

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第十七章 勾股定理一、选择题： 1.以下四组数中，不是勾股数的是(    )A. 3n，4n，5n(n为正整数)B. 5，12，13C. 20，21，29D. 8，5，72.在△ABC中，BC:AC:AB=1:1: 2，则△ABC是(    )A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(    )A. a=7，b=24，c=25B. a= 41，b=4，c=5C. a=54，b=1，c=34D. a=13，b=14，c=154.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，CD=12，AD=16，BC=15，则AB=(    )．A. 20B. 25C. 35D. 305.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(    )A. 9B. 8C. 27D. 456.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= 5，则BC的长为(    )A. 3−1B. 3+1C. 5−1D. 5+17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是(    )A. 5B. 7C. 125D. 2458.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为(    )dm．A. 20B. 25C. 30D. 359.如图，在Rt△ABC中，直角边AC=6，BC=8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(    )A. 254B. 223C. 53D. 74二、填空题： 10.如图：图中每一个小正方形的面积是1，请利用图中的格点，画出一个面积是5的正方形，这个正方形的边长是______．11.如果梯子底端离建筑物9m，则15m长的梯子可达到建筑物的高度是______．12.甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了6km，乙往南走了8km，这时甲、乙两人相距______km．13.设a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2+b2)(a2+b2+1)=12，则这个直角三角形的斜边的长为          ．14.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=          °(点A，B，P是网格线交点)．15.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE=______．16.如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则CN的长为          cm．17.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是______cm．三、解答题： 18. 如图，每个小方格的边长都是1，求： (1)求△ABC的周长；(2)画出BC边上的高，并求△ABC的面积；(3)画出AB边上的高，并求出高．19. 池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米，求这颗荷花的茎长OA．20. 如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请在图中画出以DE为斜边的2个面积不同的直角三角形．(要求：所画三角形顶点都在格点上)21. 在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：其中m、n为正整数，且m>n．(1)观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．(2)探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．(3)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．(1)当t=2时，CD=          ，AD=          ;(请直接写出答案)(2)当△CBD是直角三角形时，t=          ;(请直接写出答案)(3)求当t为何值时，△CBD是等腰三角形?并说明理由．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A、(3n)2+(4n)2=(5n)2，其中n为正整数，是勾股数；B、52+122=132，是勾股数；C、202+212=292，是勾股数；D、72+52≠82，不是勾股数；故选：D．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，逐项验证即可．考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数，并能够熟练运用．2.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，利用设x法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．根据题意设出三边分别为x，x， 2x，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形．【解答】设三角形三边为x，x， 2x，因为x2+x2=( 2x)2，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D．3.【答案】D 【解析】解：解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、42+52=( 41)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+(34)2=(54)2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、(14)2+(15)2≠(13)2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．4.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查的是勾股定理的有关知识，先利用勾股定理求出AC，然后利用勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵∠D=90°，CD=12，AD=16，∴AC= AD2+DC2= 162+122=20，∵∠ACB=90°，BC=15，∴AB= AC2+BC2= 202+152=25．故选B．5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵正方形A、B的面积依次为2、4，∴正方形E的面积为2+4=6，又∵正方形C的面积为3，∴正方形D的面积3+6=9．6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质.掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解题的关键．根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B=∠BAD，再由等腰三角形的判定得出DB=AD，最后由BC=BD+CD计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，AD= 5，∴CD= AD2−AC2=1，∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠BAD，∴DB=AD= 5，∴BC=BD+CD= 5+1．故选D．7.【答案】C 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB= 42+32=5，∵12×AC×BC=12×CD×AB，∴12×3×4=12×5×CD，解得CD=125．故选C．首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．8.【答案】B 【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得：x=25(dm)．故选：B．【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．9.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到BD=AD是关键．由翻折易得DB=AD，在直角三角形ACD中，利用勾股定理即可求得CD长．【解答】解：由题意得DB=AD；设CD=x，则AD=DB=(8−x)，∵∠C=90°，∴AD2−CD2=AC2，(8−x)2−x2=36，解得x=74；即CD=74．故选D．10.【答案】 5 【解析】解：面积为5的正方形的边长为 5，画出图形如下：．故答案为： 5．面积为5的正方形的边长为 5，画出正方形即可．本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理．11.【答案】12m 【解析】解：如图；梯子AC长是15m，梯子底端离建筑物的距离AB长为9m；在Rt△ABC中，AC=15m，AB=9m；根据勾股定理，得BC= AC2−AB2= 152−92=12m．故答案为：12m．在梯子与建筑物构成的直角三角形中，梯子的长即为斜边的长，梯子底端离建筑物的距离为直角边的长，由勾股定理即可求得梯子可以达到的建筑物的高度．此题主要考查勾股定理的应用，正确地获取题目中的信息是解答此类题的关键．12.【答案】10 【解析】解：根据题意画出示意图，设甲往东走了6km到达A点，乙往南走了8km到达B点．∵△OAB是直角三角形，∴AB2=OA2+OB2．∵OA=6，OB=8，AB2=OA2+OB2，∴AB=10，即此时甲、乙两人相距10km．故答案为：10．此时甲乙两人相距的距离就是线段AB的长度，可在Rt△OAB中利用勾股定理求出．本题考查了勾股定理的基本运用，把方向运动构建成一个沿三角形两边的运动，再由勾股定理进行计算求解．13.【答案】 3 【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理c2=a2+b2代入方程求解即可．【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，设斜边长为c，∴(a2+b2)(a2+b2+1)=12，根据勾股定理得：c2(c2+1)−12=0即c2(c2+1)=12=3×4∴c2=3，解得c= 3或c=− 3(舍去)．则直角三角形的斜边长为 3．故答案为： 3．14.【答案】45 【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的外角性质，延长AP交格点D，连结BD，设每个小正方形的边长均为1，由勾股定理和勾股定理的逆定理得到△PDB是等腰直角三角形，再根据三角形的外角性质求解即可．【解答】解：如图，延长AP交格点D，连结BD，设每个小正方形的边长均为1，则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2= PB2，∴∠PDB=90∘，∵PD=BD，∴∠DPB=∠DBP=45∘，∴∠PAB+ ∠PBA=∠DPB=45∘．故答案为45．15.【答案】45° 【解析】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC=90°，∠ACD=45°，最后根据平角的定义可得结论．【解答】解：连接AD，由勾股定理得：AD2=12+32=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，∴AD=CD，AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ACD=45°，观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形，∴∠BCF=45°，∠ECG=45°，∴∠BCA+∠DCE=180°−45°−45°−45°=45°，故答案为：45°．16.【答案】3 【解析】【分析】本题考查翻折变换，以及勾股定理，根据折叠的性质得出DN=EN，再得出EC=4cm，然后设CN=x，表示出EN，再利用勾股定理求出x的值即可．【解答】解：∵E为BC的中点，∴EC=12BC=4cm．由折叠的性质可得DN=EN．设CN=xcm，则DN=EN=(8−x)cm，在Rt△CEN中，CN2+CE2=EN2，即x2+42=(8−x)2，解得x=3，故答案为3．17.【答案】25 【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB= BD2+AD2= 152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB= BD2+AD2= 102+252=5 29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB= AC2+BC2= 302+52=5 37；∵25