2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点15 正比例函数与一次函数图象、性质及其应用（Word版附解析），共34页。试卷主要包含了【2025•长春】已知点A等内容，欢迎下载使用。
1．【2025•长春】已知点A（﹣3，y1）、B（3，y2）在同一正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＝y2C．y2＞0D．y1＜0
【答案】A
广西
1.【2025•广西7题】已知一次函数y＝﹣x+b的图象经过点P（4，3），则b＝（ ）
A．3B．4C．6D．7
【答案】D
内蒙古
1.【2025•内蒙古7题】在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（ ）
A．12AB．8AC．6AD．4A
【答案】A
山东省
1.【2025•东营】一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，当x＝﹣1时y的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】A
陕西省
1.【2025•陕西6题】在平面直角坐标系中，过点（1，0），（0，2）的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）
【答案】B
【解析】令过点（1，0），（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
则k+b=0b=2，解得k=-2b=2，
所以直线的解析式为y＝﹣2x+2，
则向上平移3个单位长度后，所得直线的解析式为y＝﹣2x+5，
显然只有B选项符合题意．
新疆
1.【2025•新疆】在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
山西省
1.【2025•山西】氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=9xB．y＝9xC．y=19xD．y=19x
【答案】C
江苏省
1.【2025•苏州】声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如表：
研究发现v，t满足公式v＝at+b（a，b为常数，且a≠0），当温度t为15℃时，声音传播的速度v为（ ）
A．333m/sB．339m/sC．341m/sD．342m/s
【答案】B
【解析】将t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分别代入v＝at+b，
得b=33010a+b=336，解得a=0.6b=330，
∴v与t之间的函数关系式为v＝0.6t+330，
当t＝15时，v＝0.6×15+330＝339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339m/s．
2．【2025•扬州】已知m2025+2025m＝2025，则一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】∵m2025+2025m＝2025，
∴m＞0且2025m＜2025，
∴0＜m＜1，∴1﹣m＞0，
∴一次函数y＝（1﹣m）x+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
江西省
1.【2025•江西6题】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】如图：
根据题意得k=yx，∴y＝kx，
根据正比例函数的意义，k越大，图越陡，反之图越陡，k越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
∴获胜的同学是甲．
安徽省
1.【2025•安徽7题】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A．（﹣2，2）B．（2，1）C．（﹣1，3）D．（3，4）
【答案】D
【解析】根据题意，得k＞0，
把M点和（﹣2，2）代入y＝kx+b得k+b=2-2k+b=2，解得k＝0，故A选项不符合题意；
把M点和（2，1）代入y＝kx+b得k+b=22k+b=1，解得k＝﹣1，故B选项不符合题意；
把M点和（﹣1，3）代入y＝kx+b得k+b=2-k+b=3，解得k=-12，故C选项不符合题意；
把M点和（3，4）代入y＝kx+b得k+b=23k+b=4，解得k＝1，故D选项符合题意．
二、填空题
天津
1.【2025•天津16题】将直线y＝3x﹣1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
湖北省
1.【2025•湖北】已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
福建省
1.【2025•福建16题】弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
【答案】0.8
【解析】将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx，得0.5g＝0.5k，解得k＝g，
∴F与x的函数关系式为F＝gx，
将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx，得mg＝0.8g，解得m＝0.8，
∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克．
四川省
1.【2025•南充】已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则nm+mn的值是 ．
【答案】-52
【解析】当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n，
∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，
∴m＝﹣2n，∴nm+mn=n-2n+-2nn=-52，
2．【2025•广安】已知一次函数y＝﹣3x﹣6，当x＜﹣1时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可）
【答案】1（答案不唯一）
江苏省
1.【2025•苏州】过A，B两点画一次函数y＝﹣x+2的图象，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 （填一个符合要求的点的坐标即可）．
【答案】（1，1）（答案不唯一）
三、解答题
辽宁省
1．【2025•辽宁20题】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE．
（1）求证：∠OAB＝45°；
（2）设点C的坐标为（0，m），当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值．
解：（1）证明：由条件可知A（0，4），B（4，0），∴OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°；
（2）∵点C的坐标为（0，m），∴OC＝m，AC＝4﹣m，
由条件可知CE＝AC＝4﹣m，∠OAB＝∠CED＝45°，
∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2m，
∵∠EOF＝90°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OF＝OE＝4﹣2m，
∵CD⊥OA，∴∠OAB＝∠CDA＝45°，∴CD＝AC＝4﹣m，
∴四边形COFD面积=12(OF+CD)×OC=12(4-2m+4-m)⋅m =-32m2+4m =-32(m-43)2+83
∵-32＜0，∴当m=43，四边形COFD面积有最大值，最大值为83．
北京
1．【2025•北京21题】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5），
∴k+b=32k+b=5，解得k=2b=1；
（2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2，
当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1，
当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2，
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，
∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0，∴m≥2，
当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合题意；
当m＞2时，则x＜1m-2且x＜2m-1，
当1m-2≥2m-1时，则2m-1≥1．
解不等式1m-2≥2m-1得m≤3，解不等式m≤3，
∴2＜m≤3；
当1m-2＜2m-1时，则1m-2≥1，
解不等式1m-2＜2m-1得m＞3，解不等式1m-2≥1得m≤3，此时不符合题意；
综上所述，2≤m≤3．
吉林省
1.【2025•吉林20题】【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
解：（1）当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得6k+b=410k+b=2.8，解得k=-0.3b=5.8，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，
当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得6k1+b1=410k1+b1=2.5，解得k1=-0.375b1=6.25，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），∴n＝1.6．
2．【2025•长春】随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y（件）与乙机器人工作时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟，m＝ ；
（2）求AB所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
解：（1）从函数图象可知：A（40，2200），B（60，2700），从40分钟到60分钟，这段时间只有乙机器人工作，
∴甲机器人停工保养的时间为：60﹣40＝20（分钟），
甲、乙两台机器人每分钟分拣快递的件数为：2200÷40＝55（件），
∴m＝2700+55×（80﹣60）＝3800（件），故答案为20，3800；
（2）设AB所在直线对应的函数表达式为：y＝kx+b，
代入A（40，2200），B（60，2700），
得2200=k×40+b2700=k×60+b，解得k=25b=1200，
∴y＝25x+1200；
（3）设乙机器人工作时间为n分钟，
由题意，得5450＝2700+55×（n﹣60），解得n＝110，故答案为110．
广东省
1.【2025•深圳17题】某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
选择条件①②：
根据题意得：x+y+30=1402y-x=40，解得x=60y=50，
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）设该学校购买篮球m个，则购买足球（10﹣m）个，
根据题意得：10﹣m≤2m，解得m≥103，
又∵m≤10，∴103≤m≤10，
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得：w＝60m+50（10﹣m）＝10m+500，
∵10＞0，∴w随m的增大而增大，
∵103≤m≤10，且m为正整数，∴当m＝4时，w最小，最小值为540．
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元．
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，C两区相距 米，a＝ ；
（2）求线段EF所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米），
机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分），
∴a＝7.5．
故答案为：240，7.5．
（2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分），
∴E（9，0），
机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分），
则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）．
（3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240，
解得x＝7，
当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30，
解得x＝11，
当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30，
解得x＝13，
∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米．
2．【2025•绥化】自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元．
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．
（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h．
②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 ．
解：（1）设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元．
根据题意，得m+2n=7502m+3n=1300，解得m=350n=200．
答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元．
（2）设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（8000﹣a）颗．
根据题意，得a≥3（8000﹣a），解得a≥6000，
设所需资金W元，则W＝350a+200（8000﹣a）＝150a+1600000，
∵150＞0，∴W随a的增大而增大，
∵a≥6000，∴当a＝6000时W值最小，W最小＝150×6000+1600000＝2500000（元）．
答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元．
（3）①乙车的速度为（480﹣60）÷7＝60（km/h），
当x＝3时，y乙＝60+60×3＝240，则甲车的速度为240÷3＝80（km/h）．故答案为80．
②y甲＝80x，当80x＝480时，解得x＝6，
∴y甲与x之间的函数关系式为y甲＝80x（0≤x≤6），
y乙与x之间的函数关系式为y乙＝60x+60（0≤x≤7），
当0≤x≤6时，当甲、乙两车相距30km时，得|y乙﹣y甲|＝30，即|60x+60﹣80x|＝30，
解得x＝1.5或4.5，
当6＜x≤7时，当甲、乙两车相距30km时，得480﹣y乙＝30，即480﹣（60x+60）＝30，
解得x＝6.5，
∴当甲、乙两车相距30km时，x的值为1.5或4.5或6.5．
3．【2025•龙东地区】一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚13h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ，b的值是 ；
（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；
（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．
解：（1）由图象可知，A、B两地之间的距离为180km，B、C两地之间的距离为120km，
180+120＝300（km），∴a＝300，
轿车的速度为180÷1.5＝120（km/h），300÷120＝2.5（h），
根据图象，得1.5+（3﹣b）＝2.5，解得b＝2．故答案为300，2．
（2）3-13=83（h），∴N（83，0），
83÷2=43（h），∴M（43，120），
货车的速度为120÷43=90（km/h），
y＝120﹣90（x-43）＝﹣90x+240，
∴在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式为y＝﹣90x+240（43≤x≤83）．
（3）当0≤x≤43时，得（120+90）x+40＝300，解得x=2621，
当1.5≤x≤2时，得90（x-43）＝40，解得x=169，
当2＜x≤83时，得180+120（x﹣2）+40﹣90x+240＝300，解得x=83，
∴出轿车出发2621h或169h或83h与货车相距40km．
河南省
1.【2025•河南】为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元/千克，乙种苹果每箱的售价为b元/千克，
根据题意得：2a+3b=4404a+5b=800，解得：a=100b=80，
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱，
根据题意得：12﹣x≤x，解得：x≥6，
设该公司需花费w元，
根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960，
∵20＞0，∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080，
答：该公司最少需花费1080元．
天津
1.【2025•天津23题】已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（Ⅰ）①填表：
②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（Ⅱ）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）．
解：（Ⅰ）①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6＝0.1（km/min），
当x＝1时，y＝0.1×1＝0.1，
当x＝18时，y＝0.6，
当x＝50时，1.8．
②小华从公园返回家的速度为1.8÷15＝0.12（km/min）．故答案为0.12．
③当0≤x≤6时，y＝0.1x，
当6＜x≤18，y＝0.6，
当18＜x≤30时，小华的速度为（1.8﹣0.6）÷12＝0.1（km/min），则y＝0.6+0.1（x﹣18）＝0.1x﹣1.2，
∴当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式y=0.1x(0≤x≤6)0.6(6＜x≤18)0.1x-1.2(18＜x≤30)．
（Ⅱ）妈妈从家到公园所用时间为1.8÷0.05＝36（min），则小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象如图所示：
y2与x之间的函数关系式为y2＝0.05x（0≤x≤36），
当6≤x≤18时，当y1＝y2时，得0.05x＝0.6，解得x＝12，
当18＜x≤30时，当y1＝y2时，得0.1x﹣1.2＝0.05x，解得x＝24，
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围为12＜x＜24．
陕西省
1.【2025•陕西22题】研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y（L）与气体温度x（℃）成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热．求停止加热时的气体温度．
解：（1）根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y＝596+2（x﹣25）＝2x+546，
∴y与x的函数关系式为y＝2x+546．
（2）当y＝700时，得2x+546＝700，解得x＝77．
答：停止加热时的气体温度为77℃．
河北省
1.【2025•河北22题】一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数aCu＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量．
解：（1）1.7×10﹣5×0.6×50＝5.1×10﹣4（m），
即该铜棒的伸长量为5.1×10﹣4m；
（2）aFe=1.8×10-32.5×(80-20)=1.2×10﹣5，
4.8×10﹣4÷（1.2×10﹣5×1）＝40（℃），
即该铁棒温度的增加量为40℃；
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，
由题意得1.7×10﹣5lx＝1.2×10﹣5l（x+20），
整理得：17x＝12x+240，
解得：x＝48，则x+20＝48+20＝68，
即该铁棒温度的增加量为68℃．
山西省
1.【2025•山西】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴6=k1，即k＝6，∴反比例函数的解析式为y=6x；
设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0），
把A、C两点坐标分别代入得：
-2a+b=0a+b=6，解得：a=2b=4，
即直线AC的解析式为y＝2x+4；
上式中，令x＝0，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）∵点D在反比例函数y=6x的图象上，纵坐标为2，∴2=6x，
解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4，
∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD
=12OA⋅OB+12OB⋅xD
=12×2×4+12×4×3
＝10．
江西省
1.【2025•江西18题】如图，直线l：y=23x+m与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（6，2）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
解：（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式得：23×6+m=2，2=k6，
解得：m＝﹣2，k＝12，
∴一次函数和反比例函数解析式分别为y=23x-2，y=12x；
（2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称，
∴点A与点C关于直线y＝x对称，
∵A（6，2）∴C（2，6），
设直线l平移后的直线对应的表达式为y=23x+n，
将点C（2，6）代入得：23×2+n=6，解得：n=143，
∵143-(-2)=203，∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为203．
四川省
1.【2025•眉山】如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标．
解：（1）把A（1，4）代入y=kx得4=k1，∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
把B（4，m）代入y=4x得m=44=1，∴B（4，1），
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点，
∴4=k+b1=4k+b，∴k=-1b=5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）设P（m，0），
∵点D与点A关于点O对称，A（1，4），∴OA＝OD=12+42=17，
∵直线AB与x轴交于C（5，0）∴OC＝5，
∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD，
∴OAOD=OCOP或OAOP=OCOD，∴1717=5OP或17OP=517，
∴OP＝5，OP=175，∴P（﹣5，0）或（-175，0）．
2．【2025•眉山】国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：
（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？
（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？
解：（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，
根据题意得：240x+280y=128012x+13y=62，解得：x=3y=2，
答：应选用A种食品3份，B种食品2份；
（2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品（30050-m）份，即（6﹣m）份，
根据题意得：12m+13（6﹣m）≥76，解得：m≤2，
设每份午餐的能量为w Kcal，
则w＝240m+280（6﹣m）＝﹣40m+1680，
∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w取得最小值，此时，6﹣m＝4．
答：应选用A种食品2份，B种食品4份．
3．【2025•凉山州】如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点A（6，1），B（2，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＞kx的解集为 ；
（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．
解：（1）∵反比例函数y2=kx(x＞0)的图象经过A（6，1），
∴1=k6，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y2=6x(x＞0)；
在y2=6x(x＞0)中，当x＝2时，y2=62=3，∴B（2，3），
∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（6，1），B（2，3），
∴6a+b=12a+b=3，解得a=-12b=4，
∴一次函数解析式为y1=-12x+4；
（2）由函数图象可知，当一次函数y1=-12x+4的图象在反比例函数y2=6x(x＞0)的图象上方时自变量的取值范围为2＜x＜6，
∴不等式ax+b＞kx的解集为2＜x＜6，
故答案为：2＜x＜6；
（3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D（2，﹣3），
由轴对称的性质可得DC＝BC，
∵A（6，1），B（2，3），∴AB=(2-6)2+(3-1)2=25，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AC+BC+25，
∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值，
∵AC+BC＝AC+DC，
∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值，
∵AC+DC≥AD，
∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，
∵A（6，1），D（2，﹣3），∴AD=(2-6)2+(-3-1)2=42，
∴△ABC的周长的最小值为42+25；
设直线AD解析式为y＝k1x+b1，
则6k+b=12k+b=-3，∴k=1b=-5，
∴直线AD解析式为y＝x﹣5，
在y＝x﹣5中，当y＝x﹣5＝0时，x＝5，∴C（5，0）；
综上所述，当点C的坐标为（5，0）时，△ABC的周长有最小值，最小值为42+25．
4．【2025•广安】某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
（1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？
（2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的13，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
解：（1）设A种帐篷的单价为x元，
由题意得：1800x=3000x+400，解得：x＝600．
经检验：x＝600符合题意∴x+400＝1000．
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元；
（2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20﹣m）顶，总费用为W元．
由题意得：20-m≥13m，解得：m≤15．
又∵两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15．
W＝600m+1000（20﹣m）＝﹣400m+20000．
∵﹣400＜0，∴W随m的增大而减小，
∴当m＝15时，W取最小值，W总小＝﹣400×15+20000＝14000．
此时20﹣m＝5．
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元．
5．【2025·达州】如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（2，2），点B（﹣4，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标．
解：（1）∵双曲线y=mx(m≠0)经过点A（2，2），B（﹣4，a），
∴m＝2×2＝4＝﹣4a，∴a＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），反比例函数解析式为y=4x，
∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（2，2），点B（﹣4，﹣1），
∴-4k+b=-12k+b=2，解得：k=12b=1，
∴一次函数解析式为：y=12x+1；
（2）∵点P在x轴上，S△AOP＝3，∴12OP×yA=3，
∴12OP×2=3，∴OP＝3，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
6．【2025•德阳】中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．
（1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？
（2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？
解：（1）设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，
由题意得：2x+2y=100，3x+2y=120.解得：x=20，y=30.
答：A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元；
（2）设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面为（40﹣a）袋，
由题意得：20(40-a)+30a≤950a≥10，解得：10≤a≤15，
∵a为正整数，∴a＝10，11，12，13，14，15，
∴共有6种购买方案，
设总花费为w元，
由题意得：w＝（40﹣a）×20+30a＝10a+800，
∵10＞0，∴w随a的增大而增大．
∴a＝10时，w有最小值，最小值＝10×10+800＝900，
答：共有6种购买方案，最低花费为900元．
甘肃省
1.【2025•甘肃24题】如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）当△ABC的面积为3时，求m的值．
解：（1）由题意得：﹣1+4＝a，解得：a＝3，
∴点B坐标为（﹣1，3），代入比例函数y=kx得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=-3x；
（2）一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后的图象的表达式为y＝x+4﹣m，
令y＝0得：x+4﹣m＝0，解得：x＝m﹣4，
∴点C坐标为（m﹣4，0），
∵一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，∴点A的坐标（﹣4，0），∴AC＝m，
∵点B坐标为（﹣1，3），∴S△ABC=12m⋅3=3，∴m＝2．
云南省
1.【2025•云南】请你根据下列素材，完成有关任务．
解：（任务一）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：2x=3y2x+5y=800，
解得：x=150y=100．
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
（任务二）设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60﹣m）个排球，
根据题意得：w＝150m+100（60﹣m）＝50m+6000，
∵k＝50＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60﹣m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m＝20时，w取得最小值，此时60﹣m＝60﹣20＝40（个）．
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低．
安徽省
1.【2025•安徽18题】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积．
解：（1）由题意得，6a+4=k6，2a+4=k2，
解得a=-12，k=6；
（2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为y=-12x+4，
令y＝0，得x＝8，所以OC＝8，
令x＝0，得y＝4，所以OD＝4，
故△COD的面积为12OC⋅OD=12×8×4=16．
江苏省
1.【2025•连云港】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
解：（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，
根据题意得：x+2y=2004x+3y=400，
解得：x=40y=80．
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个；
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则制作甲种纸盒（100﹣m）个，
根据题意得：w＝2m+（100﹣m）＝m+100，
∵k＝1＞0，∴w随m的增大而增大，
又∵m≥12（100﹣m），解得：m≥1003，
∵m为正整数，∴当m＝34时，w取得最小值，最小值为34+100＝134（张）．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
2．【2025•苏州】如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．
解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，∴点B的坐标为（0，4）；
（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴CB＝CD，
∵CE⊥BD，∴BE＝DE，
在y=kx中，令y＝4得x=k4，∴D（k4，4），
∴BE＝DE=k8，
在y=kx中，令x=k8得y＝8，∴C（k8，8），
∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上，∴8＝2×k8+4，解得k＝16，
∴k的值为16．
3．【2025•扬州】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入y=kx，得：k＝﹣1×6＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为y=-6x，
将点B（m，﹣2）代入y=-6x可得：m=-6-2=3，∴B（3，﹣2），
将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：-a+b=63a+b=-2，
解得a=-2b=4，所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；
（2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，
将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴C（2，0），∴OC＝2，
由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），
∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2，
∴△OAB 的面积为S△AOC+S△BOC=12×2×6+12×2×2=8．
山东省
1.【2025•烟台】2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
（1）求甲、乙两种路灯的单价；
（2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
解：（1）设甲种路灯的单价是x元，乙种路灯的单价是y元，
根据题意得：x+2y=2204y-3x=140，
解得：x=60y=80．
答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元；
（2）设购买m盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元，则购买（40﹣m）盏乙种路灯，
根据题意得：w＝60m+80（40﹣m）＝﹣20m+3200，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤13（40﹣m），
∴m≤10，
∴当m＝10时，w取得最小值，此时40﹣m＝40﹣10＝30（盏）．
答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少．
2．【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
解：（1）y＝6x+5，
∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5．
（2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2，
解得x＝5．
答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时．
3．【2025•东营】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标．
解：（1）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象相交于点A和B（﹣4，﹣3），点A的横坐标为2，
∴将B（﹣4，﹣3）代入y2=mx，则m＝（﹣3）×（﹣4）＝12，
∴反比例函数解析式为：y2=12x，
∴将xA＝2代入y2=12x，则yA=122=6，∴A（2，6），
将 A（2，6），B（﹣4，﹣3）代入y1＝kx+b，
则2k+b=6-4k+b=-3，解得：k=32b=3，
∴一次函数解析式为：y1=32x+3；
（2）∵xA＝2，xB＝﹣4，
∴观察图象，当y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣4或0＜x≤2；
（3）设y1=32x+3与x轴交于点D，
当y＝0时，32x+3=0，∴x＝﹣2，∴D（﹣2，0），
设C（t，0），∴CD＝|t+2|，
∵△ABC的面积为18，∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=12CD(yA-yB)，
∴S△ABC=12CD⋅(6+3)=18，∴CD＝4，即|t+2|＝4，
解得：t＝2或t＝﹣6，
∴点C坐标为 （﹣6，0）或（2，0）．水的质量x/g
4.5
9
18
36
45
氢气的质量y/g
0.5
1
2
4
5
温度t（℃）
﹣10
0
10
30
声音传播的速度v（m/s）
324
330
336
348
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
小华离开家的时间/min
1
6
18
50
小华离家的距离/km
0.6
气体温度x（℃）
…
25
30
35
…
气体体积y（L）
…
596
606
616
…
食品类别
能量（单位：Kcal）
蛋白质（单位：g）
脂肪（单位：g）
碳水化合物（单位：g）
A
240
12
7.5
29.8
B
280
13
9
27.6
背景
某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一
购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二
购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三
该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二
给出最节省费用的购买方案．