2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点17 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用（Word版附解析），共57页。试卷主要包含了1+m2-0=1+m，，解得k=-1，b=3等内容，欢迎下载使用。
1.【2025•齐齐哈尔】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论：
①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+c＞-cx1x+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴当x＝0，则y＝c＜0．
又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，∴1＜﹣1+x1＜2．
∴12＜-1+x12＜1．∴对称轴是直线x=-1+x12=-b2a＞0．
∴b＞0．∴abc＞0，故①错误．
由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．
∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0．∴2a+c＜0，故②正确．
∵12＜-1+x12＜1，且对称轴是直线x=-1+x12=-b2a＞0，∴12＜-b2a＜1．
∵a＞0，∴a＜﹣b＜2a．
∴2a+b＞0．∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0．
∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误．
由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）．
∵当x＝0时，y＝c，∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称．
如图所示，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确．
由题意，∵y=-cx1x+c过（0，c），（x1，0），
∴可以作图如下．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞-cx1x+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞-cx1x+c（a≠0）的解集是0＜x＜x1，故⑤正确．
综上，正确的有②④⑤共3个．
2．【2025•绥化】如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：
①a﹣c＞0；
②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；
③-83＜b＜﹣2；
④a+b+cb-a＞0．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上，
∴对称轴直线为-b2a=3-12=1，a＞0，
∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3，
∴当x＝0，y＝c＝m，∴﹣4＜c＜﹣3，
∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，c=32b，∴-4＜32b＜-3 解得，-83＜b＜-2故③正确；
当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a，
∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0，∴a+b+cb-a＞0，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，∴错误的有1个．
陕西省
1.【2025•陕西8题】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2时，y＜0
【答案】D
【解析】由题意可得，
∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号，
∴x1x2=a-3a＜0，解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意；
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x=--2a2a=1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当x＝1时，y＝﹣3，∴最小值为﹣3，故C不符合题意；
当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，∴此时y＜0，故D符合题意
山东省
1.【2025•威海】已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1
【答案】C
福建省
1.【2025•福建10题】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（ ）
A．1＜y1＜y2B．y1＜1＜y2C．1＜y2＜y1D．y2＜1＜y1
【答案】A
【解析】∵y＝3x2+bx+1，
∴当x＝0时，y＝1，∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=-b2×3=-b6，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3＜b＜4，∴-23＜-b6＜-12，
∵-2+12=-12＞-b6，-2+02=-1＜-b6，
∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离，
∴1＜y1＜y2．
四川省
1.【2025•泸州】已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（ ）
A．2a＝bB．b2﹣4ac＜0C．a﹣2b+4c＜0D．8a+c＞0
【答案】D
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，∴当x＝0时，y＜0，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0，∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-12时，y=14a-12b+c=14(a-2b+4c)，
当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
当x=-12时，y=(-12)2-2×(-12)-1=14+1-1=14＞0，故C选项中原结论不正确，不符合题意．
2．【2025•南充】已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（ ）
A．-14＜b＜0 B．-94＜b＜-14C．-14≤b≤0 D．b≤-14或b＞0
【答案】A
【解析】∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x，
∴当﹣2≤x＜0时，y＝x2+2x；当x＜﹣2时，y＝﹣2x﹣4．
画出函数图象：
当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，这是一个开口向上，顶点为（1，﹣1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线一部分．
当x＞2时，y＝2x﹣4，是一条k为2，过（2，0）的射线．
根据对称性画出x＜0时的函数图象．
联立y=x2+2xy=x+b（﹣2≤x＜0时），得x2+x﹣b＝0，
当Δ＝1+4b＝0，即b=-14时，直线与y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切．
当直线过（0，0）时，b＝0．
结合图象可知，当-14＜b＜0时，直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
3．【2025•遂宁】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为-32＜n＜0．
其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则-b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m，
∵2＜m＜3，即c＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1，
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误；
∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，∴4a﹣2b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，∴8a+c＝0即c＝﹣8a，
∵2＜m＜3，即2＜c＜3，∴2＜﹣8a＜3，∴2×98＜-8a×98＜3×98即94＜-9a＜278，
当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴y最大值＝﹣9a，∴94＜y最大值＜278，故③正确；
∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a，即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4（8a+2）＝4a2+36a+9，
对称轴为直线a=-362×4=-92，当a＞-92时，Δ的值随a的增大而增大，
又∵2＜﹣8a＜3，∴-38＜a＜-14，
∴当a=-38时，Δ=4×(-83)2+36×(-38)+9=43118＞0，
∴当-38＜a＜-14时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0有两个不相等实根，故④正确；
若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4，
∵y1＜y3＜y2，∴x1+x22＜1，x2+x32＞1，x1+x32＜1，
即2n+32＞1，n+1＜1，解得n＞-12且n＜0，∴-12＜n＜0，故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个．
4．【2025•凉山州】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（ ）
A．bc＞0
B．4a+b＝0
C．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝4
D．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1
【答案】D
【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x=-b2a=2，∴b＝﹣4a＞0，∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意；
∵ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，∴ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称，∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|，∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意；
5．【2025•宜宾】如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②23＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣27，6＜x2＜4+27．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵对称轴为直线x=-b2a=-2，∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x=-b2a=-2，∴a=14b，
∵A（2，0）在抛物线上，∴4a+2b+c＝0，
∴b+2b+c＝0，∴c＝﹣3b，
∵﹣3＜c＜﹣2，∴﹣3＜﹣3b＜﹣2 3＜b＜1，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c，
将a=14bc＝﹣3b代入得，y＝﹣4b，∴ED＝4b，
∵23＜b＜1，
∵对称轴为直线x＝﹣2，A（2，0），∴AE＝4，
∴tan∠CAD=DEAE=4b4=b＜1，∴∠CAD＜45°，
∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＜45°，
∴∠ADC＞90°，∴△ACD是钝角三角形，故③正确；
∵23＜b＜1，∴当b=23时，a=14b=16，c＝﹣3b＝﹣2，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为16x2-43x-2=0，解得x=4±27，
∴当b＝1时，a=14b=14，c＝﹣3b＝﹣3，
∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为14x2-x-3=0，解得x＝﹣2或6；
∵方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1x2（x1＜x2），
∴﹣2＜x1＜4﹣27，6＜x2＜4+27，故④正确．
综上所述，其中正确结论有3个．
6．【2025•广安】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④-b2a=n-12．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，x=-b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故结论①正确；
由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n-b2a=-1+n2，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3个．
7．【2025·达州】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴a＞0，c＞0，
∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），
当x＝﹣1时y＞0，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确；
∴-b2a=2，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确；
∴abc＜0，故结论①正确，
综上，说法正确的有4个．
8．【2025•德阳】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）过点（1，0），（m，0），且2＜m＜3，该抛物线与直线y＝kx+c（k，c是常数，k≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（点A在点B左侧）．下列说法：①bc＜0；②3a+b＞0；③点A′是点A关于直线x=-b2a的对称点，则3＜AA′＜4；④当x2＝4时，不等式ax2+（b﹣k）x＜0的解集为0＜x＜4．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由题意，∵抛物线过点（1，0）和（m，0）（2＜m＜3），∴对称轴为直线x=1+m2．
又∵2＜m＜3，∴1.5＜1+m2＜2．
∴1.5＜-b2a＜2．∴3＜-ba＜4．
∴14＜-ab＜13．∴-34＜-1-ab＜-23．
∵a+b+c＝0，∴cb=-1-ab＜0．∴bc＜0，故①正确．
∵对称轴是直线x=-b2a=1+m2，∴b＝﹣a（1+m）．
∴3a+b＝3a﹣a（1+m）＝a[3﹣（1+m）]＝a（2﹣m）．
∵2＜m＜3，∴2﹣m＜0．
又∵a＞0，∴3a+b＜0，故②错误．
由题意，∵点A的横坐标为x1＝0，对称轴为直线x=1+m2，
∴对称点A'的横坐标为2.1+m2-0=1+m，
∴两点横向距离为1+m﹣0＝1+m，
∵2＜m＜3，∴3＜1+m＜4，即3＜AA'＜4，故③正确．
由题意，当x2＝4时，联立方程解得x2=k-ba=4，∴b＝k﹣4a．
又∵ax2+（b﹣k）x＜0，∴ax（x﹣4）＜0．
又∵a＞0，∴0＜x＜4，故④正确．
安徽省
1.【2025•安徽9题】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（ ）
A．abc＜0B．2a+b＜0C．2b﹣c＜0D．a﹣b+c＜0
【答案】C
【解析】由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间，
根据对称性可知对称轴12＜-b2a＜1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误；
当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误；
观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误；
由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0，
故4b+4a＜0①，
把点（2，0）代入抛物线中，
得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c，
再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0，
整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确．
山东省
1.【2025•烟台】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n=-3a．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①③④
【答案】D
【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①符合题意；
∵顶点P的坐标为（1，n），∴当x＝1时，n＝a+b+c最大，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，a﹣b+c＞0，∴a=-12b，-12b-b+c＞0，∴3b＜2c，故③符合题意；
如图，△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°，
∴PH＝tan60°•AH，
记A，B的横坐标分别为x1，x2，
∴n=3（x2﹣1）=3（1﹣x1），∴2n=3(x2-x1)，
当y＝ax2+bx+c＝0，则x1+x2=-ba=2，x1x2=ca，
∴x2-x1=(x1+x2)2-4x1x2=4-4ca，
∴n=32⋅4a-4ca=3⋅a-ca=3a-3ca=-3a2-3aca，
∵n＝a+b+c＝c﹣a，∴c-a=-3a2-3aca，
∴a（a﹣c）＝3，∴n=-3a(a-c)a=-3a，故④符合题意；
故选D．
二、填空题
湖北省
1.
三、解答题
青海省
1．【2025•青海】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（1，0），点C（2，5）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ；
（3）连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得，
a+b-3=04a+2b-3=5，解得a=1b=2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0）；
②根据图象可知，当y＜0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1；
（3）设点P的坐标为（0，a），
∵A（﹣3，0），C（2，5），
∴AC2＝（2+3）2+（5﹣0）2＝50，AP2＝（0+3）2+（a﹣0）2＝9+a2，CP2＝（0﹣2）2+（a﹣5）2＝a2﹣10a+29，
∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当AP为斜边时，则AP2＝AC2+CP2，
∴9+a2＝50+a2﹣10a+29，解得a＝7，
∴P1（0，7），
当CP为斜边时，则CP2＝AC2+AP2，
∴a2﹣10a+29＝50+9+a2，解得a＝﹣3，
∴P2（0，﹣3），
综上所述，存在符合条件的P点，P1（0，7），P2（0，﹣3）．
辽宁省
1．【2025•辽宁23题】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=-14（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为-73．
（1）求点A的坐标及a，c的值．
（2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当-73＜m＜3时，
①求证：DE＝2CE；
②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值．
（3）二次函数y1=-14（x﹣1）2+1（-73≤x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当-73≤x≤t﹣n时，函数y3的最小值为119-5t，最大值为83-t，求n的取值范围．
解：（1）令-14(x-1)2+1=0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（3，0），
将x=-73代入y1=-14(x-1)2+1，得y1=-169，∴B(-73，-169)，
将A（3，0），B(-73，-169)分别代入y2=ax2+c，得
9a+c=0499+c=-169，解得a=12c=-92．
答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为12，-92．
（2）①证明：如图，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得：
3k+b=0-73k+b=-169，解得k=13b=-1，∴y=13x-1，
设点E的坐标为(m，13m-1)，
∵a=12c=-92，∴y2=12x2-92，
将x＝m代入y1得D(m，12m2-92)，
将x＝m代入y2，得C(m，-14m2+12m+34)，
∴CE=-14m2+12m+34-(13m-1)=-14m2+16m+74，
DE=(13m-1)-(12m2-92)=2(-14m2+16m+74)，
∴DE＝2CE；
②如图：
当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，∴DECE=BEAE=2，
∴AEAB=yEyB=13，即13m-1-169=13，解得m=119．
当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，∴DECE=BEAE=2，
∴AEAB=yEyB=23，即13m-1-169=23，解得m=-59，
∴m=119或m=-59．
（3）由条件可知y3=-14(x-1)2+1(-73≤x＜3)12x2-92(x≥3)，
∴当-73≤x≤1时，y随x的增大而增大；当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；
当x≥3时，y随x的增大而增大．且当x=-73时，y3取得最小值．
∵当-73≤x≤t-n时，函数y3的最小值为119-5t，最大值为83-t，
∴当x=-73时，y3取得最小值为119-5t，即119-5t=-169，解得t=53．
∵-73≤x≤t-n时，函数y3的最大值为83-t，
∴当x＝1时，函数y3的最大值为83-t，即83-t=1，解得t=53；
当y2＝1时，12x2-92=1，解得x=11或-11（舍去），
∴1≤t-n≤11，
∵t=53，∴1≤53-n≤11，化简得-2≤-3n≤311-5，
解得53-11≤n≤23．
吉林省
1．【2025•长春】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx经过点（3，3），点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M（1，1），作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
（3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为12，求m的值；
（4）连结OA、OB，当∠AOB＝∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围．（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角）
解：（1）将点（3，3）代入y＝x2+bx，
∴9+3b＝3，解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x；
（2）∵点A、B横坐标分别为m、m+1，
∴A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1），
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x＝1，
∵A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，∴2m+1＝2，
解得m=12，∴A（12，-34），
∵A、C关于M点对称，∴C（32，114）；
（3）由（2）知m=12时，A、B关于对称轴对称，
当0＜m＜12时，最高点纵坐标为m2﹣2m，最低点为﹣1，∴m2﹣2m+1=12，
解得m=2-22或m=2+22（舍）；
当12≤m＜1时，最高点纵坐标为m2﹣1，最低点为﹣1，∴m2﹣1+1=12，
解得m=22或m=-22（舍）；
综上所述：m的值为2-22或22；
（4）∵A、C关于点M对称，B、D关于M点对称，
∴MA＝MC，MB＝MD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
过点O作直线EF∥BC，∴EF∥AD，
∵∠AOB＝∠OAD+∠OBC，∴∠OBC＝∠BOF，∠OAD＝∠FOA，
∵A（m，m2﹣2m），B（m+1，m2﹣1），∴C（2﹣m，2﹣m2+2m），D（1﹣m，3﹣m2），
直线OA的解析式为y＝（m﹣2）x，直线OB的解析式为y＝（m﹣1）x，
直线AD的解析式为y=2m2-2m-12m-1x+m2﹣2m-m(2m2-2m-3)2m-1，
直线BC的解析式为y=2m2-2m-32m-1x+m2﹣1-(m-1)(2m2-2m-3)2m-1，
当OA与AD重合时，2m2-2m-12m-1=m﹣2，解得m=53，
当OB与BC重合时，2m2-2m-32m-1=m﹣1，解得m＝4，
∴53＜m＜4时，∠AOB＝∠OAD+∠OBC．
北京
1．【2025•北京26题】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c，可得c＝0，
∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx，
将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx，可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a；
（2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x，
当t＝4时，可有点P（4，0），如下图，
∵PM⊥x轴，∴xM＝xN＝4，
将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8），
将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），∴MN＝8﹣4＝4；
②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，
∵PM⊥x轴，P（t，0），∴xM＝xN＝t，
将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at），
将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|，
令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3，
若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如下图，
当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线x=32，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则2a≤32，
解得a≤34，
当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线x=32，不符合题意；
若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如下图，
当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线x=32，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，
则2a≤32，解得a≤34，∴a＜0，
综上所述，a的取值范围为a≤34且a≠0．
黑龙江省
1.【2025•绥化】综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标；
（3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点，
∴a+b-5=025a-5b-5=0，解得a=1b=4，
∴y＝x2+4x﹣5；
（2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），
∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5，
∵B（﹣5，0），∴﹣5k﹣5＝0，∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），
当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5，
∵PE＝3ED，∴x2+5x＝3（﹣x﹣5），
解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去），∴点P不存在；
当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5，∴﹣x2﹣5x＝3（x+5），
解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去），
∴x2+4x﹣5＝﹣8．∴P1（﹣3，﹣8）；
当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在；
当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5），
解得x＝3，或x＝﹣5（舍去），∴x2+4x﹣5＝16，∴P2（3，16），
故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）；
（3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H，则∠AGF＝∠AHP＝90°，
∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．∴AF＝AP，∠PAF＝90°90°，
∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°，∴∠FAG＝∠APH，
∴△AFG≌△PAH（AAS），∴AH＝FG，PH＝AG，
设P（m，m2+4m﹣5），
当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5，
∴FG＝1﹣m，∴﹣x﹣5＝1﹣m，
∴x＝m﹣6，∴F（m﹣6，1﹣m），
∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m，∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m，解得m＝﹣1，m＝﹣2，
∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）；
当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5，∴FG＝m﹣1，
∴﹣x﹣5＝m﹣1，∴x＝﹣m﹣4，
∴F（﹣m﹣4，m﹣1），∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5，
∴m2+4m﹣5＝m+5，解得m＝2，m＝﹣5（舍去），
∴P坐标为 （2，7）；
故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）．
2．【2025•龙东地区】如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）．
（1）求b与c的值．
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4），
∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，∴b＝﹣6，c＝5；
（2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5，
当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，
当x＝0，y＝5，
∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，
∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，
连接AD与BC交于点E，则D（5，4），
∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，∴BC⊥AD，ED＝EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，S△BCA=12BC×AE，
∴S△BCA＝S△BCP，
设直线BC：y＝mx+n，则5m+n=0n=5，∴m=-1n=5，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵BC∥PD，∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4，
解得：q＝9，
∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：y=-x+9y=x2-6x+5，
整理得：x2﹣5x﹣4＝0，解得x=5+412或x=5-412，
∴点P的横坐标为5+412或5-412．
河南省
1.【2025•河南】在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．
解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x=-2+02=-1．
∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3．
∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1时，即n≥4，
∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5．∴n=103＜4，不合题意．
②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4，
∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5．
∴n＝1+5或n＝1-5（不合题意，舍去）或n＝4+5（不合题意，舍去）或n＝4-5．
③当n﹣1≤0时，即n≤1，
∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5．
∴n=53＞1，不合题意．
综上，n＝1+5或n＝4-5．
天津
1.【2025•天津25题】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．
①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标；
②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为26时，求顶点E的坐标．
解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）；
（II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上，∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a，
又∵a＝﹣2，点C（0，c），∴OC＝c＝b+2，AO＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2，
如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠AHD＝90°，∴∠HAD+∠ADH＝90°，
∵∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠HAD＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°，∴△ADH≌△CAO（AAS），
∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2，
∵OH＝AH﹣AO，∴OH＝b+2﹣1＝b+1，
∴点D的坐标为（b+1，﹣1），
∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上，
∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2，
整理得，b2+2b﹣1＝0，
解得b1=-1+2，b2=-1-2，
∵b＞0，∴b2=-1-2不合，舍去，∴b=-1+2，
∴点D的坐标为(2，-1)；
②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0，
∴c＞0，m＞1，
在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC．
∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA．
∵∠CAB＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠CGA．
∴CG＝CB，则GO＝OB．
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2，
∴AC=1+c2，∴GA=1+c2，
∴GO=GA+AO=1+c2+1．
又∵点B（m，0），得OB＝m．∴1+c2+1=m，即c2＝m2﹣2m，
根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF．
又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF．∴CE+CF＝BF+CF≥BC．
∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值26，即BC=26，
在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2，∴m2+c2＝24．
将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24．
解得m1＝4，m2＝﹣3（舍），∴c=22，
∴点B（4，0），C(0，22)，
∴直线BC的解析式为y=-22x+22．
设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1），得x0=32，
∴点F的坐标为(32，524)．
∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，
∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移22个单位得到的，
∴点E的坐标为(52，1324)．
河北省
1.【2025•河北24题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（12，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2．
（1）求b，c的值及点P的坐标．
（2）点D在L1上，到x轴的距离为234．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由．
（3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半．
①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值；
②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P，
∴c=3-36+6b+c=3，解得：b＝6，c＝3，
∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，∴P（3，12）；
（2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为234，则yD=234，
∴当y=234时，234=-x2+6x+3，解得：x=12或x=112，
∴D(12，234)或(112，234)，
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C(12，2)，对称轴为直线x＝3，
∴L2经过点C(12，2)和(112，2)，∴L2不能经过点D，
（3）①∵A（0，3），P（3，12），
当E，P重合时，则E（3，12），
∵M是AE的中点，
∴M(32，152)，
∵点M(32，152)恰好落在L2上，L2经过点C(12，2)，
∴2=(12-3)2a+d152=(32-3)2+d，
解得：a=-118；
②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3），
∴n＝3，
∴直线AE的解析式为y＝kx+3，
∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C(12，2)，
∴2=254a+d，
∴d=2-254a，
∴y=a(x-3)2+2-254a=ax2-6ax+114a+2，
联立y=ax2-6ax+114a+2y=kx+3，
消去y得，ax2-kx-6ax+11a4-1=0，
∴x1+x2=6a+ka，则E(6a+ka，6ak+k2a+3)，
∵点M的横坐标是点E横坐标的一半，
∴M(6a+k2a，6a+k2ak+3)，即(6a+k2a，6ak+k22a+3)，
将E代入y＝﹣x2+6x+3，
∴6ak+k2a+3=-(6a+k)2a2+6×6a+ka+3①
∵点M为直线AE与L2的唯一公共点，
∴Δ=(k+6a)2-4×a×(11a4-1)=0②，
联立①②得：a=-1k=6-15或a=-1k=6+15，
当k=6+15时，交点不在L2公共点不在第一象限，不符合题意，
∴k=6-15．
浙江省
1.【2025•浙江23题】已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，∴对称轴为直线x=--62×1=3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，∴xc＝2xB，
∴xB+xC2=32xB=3，∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，解得：x1＝7，x2＝﹣1，
即：n＝7，m＝﹣1，∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
湖北省
1.【2025•湖北】抛物线y=12x2-x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求c的值；
（2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求PH2TH的值；
（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f．
①求f关于t的函数解析式；
②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g=112，直接写出PQ的长．
解：（1）把A（﹣1，0）代入y=12x2-x+c，得12+1+c=0，
∴c=-32，
（2）由（1）可知：y=12x2-x-32=12(x-1)2-2，
∴T（1，﹣2），
∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，∴P(t，12t2-t-32)，
∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H，
∴PH＝1﹣t，TH=12t2-t-32+2=12t2-t+12=12(t-1)2，
∴PH2TH=(1-t)212(t-1)2=2；
（3）①当x＝0时，y=-32，当y=12x2-x-32=0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴c(0，-32)，B（3，0），
由（2）可知：T（1，﹣2），P(t，12t2-t-32)，对称轴为直线x＝1，
∴点c(0，-32)关于对称轴的对称点为(2，-32)，
∵P在第四象限，∴0＜t＜3，
当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，-32-12t2+t+32=-12t2+t，
∴f=2(t-12t2+t)=-t2+4t，
当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，-32-(-2)=12，
∴f=2⋅(t+12)=2t+1，
当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，12t2-t-32+2=12t2-t+12，
∴f=2⋅(t+12t2-t+12)=t2+1，
综上：f=-t2+4t(0＜t≤1)2t+1(1＜t≤2)t2+1(2＜t＜3)；
②∵PQ∥x轴，∴P，Q关于对称轴对称，
∴Q(2-t，12t2-t-32)，
当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，-32-(-2)=12，∴g=2(2-t+12)=5-2t，
∵f+g=112，∴-t2+4t+5-2t=112，
解得：t=1+22（舍去）或t=1-22，
∴PQ=2-t-t=2-2t=2，
当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，-32-(12t2-t-32)=-12t2+t，
∴g=2⋅(2-t-12t2+t)=-t2+4，
∵f+g=112，∴2t+1-t2+4=112，
解得：t=1+22或t=1-22（舍去），
∴PQ=t-2+t=2t-2=2；
当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，12t2-t-32-(-32)=12t2-t，
∴f=2×(12t2-t+t-2)=t2-4；
∵f+g=112，∴t2+1+t2-4=112，
解得：t=-172（舍去）或t=172，
∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣2=17-2，
综上：PQ=2或17-2
福建省
1.【2025•福建23题】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）．
（1）求ba的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1-34a2．
（i）求该二次函数的表达式；
（ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：(x1-1)2m=x2-2x1-2．
解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线x=-b2a，
∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上，∴2-(-b2a)=-b2a-1，
∴-b2a=32，∴ba=-3；
（2）①由（1）可得，
∵b＝﹣3a，∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2，
∴函数图象的顶点坐标为(32，-94a-2)，
∵函数的最大值为1-34a2，∴a＜0，且-94a-2=1-34a2，
解得a＝﹣1，或a＝4（舍去），
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2，
②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上，
∴m=-x12+3x1-2，
由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线x=32对称，不妨设x1＜x2，
则x2-32=32-x1，即x1+x2＝3，
∴(x1-1)2m-x2-2x1-2=(x1-1)2(x1-2)-m(x2-2)m(x1-2)
=(x1-1)(x1-2)(x1-1)-m(x2-2)m(x1-2)
=(x12-3x1+2)(x1-1)-m(x2-2)m(x1-2)
=-m(x1-1)-m(x2-2)m(x1-2)
=-m(x1+x2-3)m(x1-2)
＝0，
∴(x1-1)2m=x2-2x1-2．
山东省
1.【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数．
（1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x，
∴此函数图象的对称轴为直线x=-b2a=--62×3=1；
（2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2，
∴抛物线对称轴为直线x=-b2a=--6a2×3=a，
∵3＞0，∴抛物线开口方向向上，
∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，∴a≥1，
∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴a≤3，
∴1≤a≤3；
（3）若点A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，
∴y＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab，
y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab，
∴y2=3(a+b2)2-2(a+b)(a+b2)+ab
=3×(a+b)24-(a+b)2+ab
=-(a+b)24+ab
=-14a2-ab2-14b2+ab
=-14a2+ab2-14b2
=-14(a2-2ab+b2)
=-14(a-b)2，
y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab；
∵y1+my2+y3＝0，
∴a2-ab+m[-14(a-b)2]+b2-ab=0，
整理得：(a-b)2[1-14m]=0，
∵a，b为两个不相等的实数，∴a﹣b≠0，
∴1-14m=0，解得：m＝4．
湖南省
1.【2025•湖南26题】如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2；
②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2；
（3）如图，若x2=32x1，x3=12x1，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，MN=22．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值．
解：（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中，得﹣4a＝2，故a=-12，
故此二次函数的表达式为y=-12x2+2x．
（2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x，
由题意可知P（x1，-12x12+2x1），B（x1，x1），Q（x2，-12x22+2x2），C（x2，x2），
故PB=-12x12+2x1﹣x1=-12x12+x1，QC=-12x22+x2，
∵PB＞QC，即-12x12+x1＞-12x22+x22，
整理可得12（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0，故12（x2+x1）＞1，即x1+x2＞2；
选择②：同理得R（x3，-12x32+2x3），D（x3，x3），故RD=-12x32+x3，
∵PB＞RD，即-12x12+x1＞-12x32+x3，
整理可得12（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0，故12（x3+x1）＜1，即x1+x3＜2；
（3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1-12x1）x+x1，
设直线AP交y轴于点G，如图2所示，
则OG＝x1＝OT，
∵∠GOA＝∠TOA＝45°，
在△GOA和△TOA中，
OG=OT∠GOA=∠TOAOA=OA，∴△GOA≌△TOA（SAS），∴∠PAO＝∠TAO，
∵∠AMN＝∠PAO，∴∠AMN＝∠TAO，
∵AO=22+22=22=MN，
在△TOA和△TNM中，
∠TMN=∠TAO∠OTA=∠NTMAO=MN，∴△TOA≌△TNM（AAS），∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1，
作QH⊥x轴于点H，
则tan∠QTH=QHTH=-12x22+2x2x2-x1=-94x1+6，
又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO，即OQ1OT=-94x1+6，
∴OQ1＝（-94x1+6）x1=-94x12+6x1．
∵T（x1，0），R（12x1，-18x12+x1），
∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（14x1-2）x-14x12+2x1，即OR1=-14x12+2x1，
∴R1Q1＝OQ1+OR1=-52x12+8x1，
∴t＝R1Q1﹣ON=-52x12+8x1-2x1=-52x12+6x1=-52(x1-65)2+185，
故当x1=65时，t的最大值为185．即当x=65时，t的最大值为185．
安徽省
1.【2025•安徽23题】已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）．
（i）若a=12，且x1＝x2，比较y1与y2的大小；
（ii）当y2y1=x2x1时，若x2x1是一个与x1无关的定值，求a与b的值．
解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得，
16a+4b＝0，即b＝﹣4a，∴-b2a=2，故所求抛物线的对称轴是直线x＝2．
（2）①由（1）可知，抛物线的解析式为y=12x2-2x．
又∵x1＝x2，∴y2-y1=(x22-2x2)-(12x12-2x1)=(x12-2x1)-(12x12-2x1)=12x12．
∵抛物线y=12x2-2x过原点，且点A与原点不重合，∴x1≠0，∴12x12＞0，
故y2＞y1；
②由题意知，y1=ax12-4ax1，y2=x22-2x2，
∵y2y1=x2x1，∴x22-2x2a(x12-4x1)=x2x1，
∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0．
故x2-2a(x1-4)=1，即x2＝a（x1﹣4）+2．
∴x2x1=a(x1-4)+2x1=a+2-4ax1，
依题意知，a+2-4ax1是与x1无关的定值．
不妨将x1＝1和x1＝2分别代入a+2-4ax1，可得2﹣3a＝1﹣a，
解得a=12，
经检验，当a=12时，x2x1=12是一个与x1无关的定值，符合题意．
∴a=12，b＝﹣4a＝﹣2．
江苏省
1.【2025•连云港】已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数．
（1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点．
解：（1）∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，
∴函数的最小值小于2a2，
则4(3a2-2a+3)-4(a+1)24=2a2-4a+2，
即2a2﹣4a+2＜2a2，解得a＞12；
（2）∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0，
∴8（a﹣1）2≤0，
又∵8（a﹣1）2≥0，∴8（a﹣1）2＝0，解得a＝1；
（3）证明：∵当x＝0时，y=3a2-2a+3=3(a-13)2+83＞0，
∴二次函数的图象不经过原点．
2.【2025•苏州】如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点．
（1）求直线BC对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值．
解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3．
故点B的坐标为（3，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
故b=3，3k+b=0.解得k=-1，b=3.，
∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3．
（2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下：
方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中，
可得y1=-m2+2m+3，y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3，
∴y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9，
配方得y1+2y2=-3(m+13)2+913．故当m=-13时，y1+2y2的最大值为913≠10．
故不存在实数m使得y1+2y2＝10；
方法二：由方法一得y1+2y2=-3m2-2m+9．
当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0．
∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程没有实数根．∴不存在实数m使得y1+2y2＝10；
（3）m=1+52或m=1-52，理由如下：
如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，
作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，
则MM′∥NN′，
当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．
∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）．
∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），
∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），
点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．
∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．
∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°．
∴PN∥BC，∴△MDE∽△MNP．∴(MDMN)2=14，
∴MD=12MN，即MD＝ND．
∵MM′∥NN′，∴△MM′D′∽△NN′D．
∴MM'NN'=MDND=11，即MM′＝NN′，
∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）．
∴m2﹣3m＝﹣m2﹣m+2，即m2﹣m﹣1＝0，
解得m=1+52或m=1-52．
3．【2025•扬州】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A，C．直线x＝t与两个图象G1，G2分别交于点M，N，与x轴交于点P．
（1）求b，c的值．
（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值．
（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m，n．当m+n＝4时，对应的t值有 个；当m﹣n＝3时，对应的t值有 个；当mn＝2时，对应的t值有 个；当mn=1时，对应的t值有 个．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴令y＝0，可得x＝﹣3或1，即A（﹣3，0），B（1，0），
把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得
c=39-3b+3=0，解得b=4c=3，故b的值为4，c的值为3；
（2）由（1）知G2的表达式为y＝x2+4x+3，
设P（t，0）（﹣3≤t≤0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），
故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t+32）2+92，即MN的最大值为92；
（3）作MS⊥AC于点S，RN⊥AC于点R，设MN交AC于点E，如图1所示，
由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝x+3，∴∠CAB＝45°，
∴∠MES＝∠NER ＝45°，
∵MS＝m，RN＝n，∴ME=2m，RN=2n，
∵E（t，t+3），∴ME=，NE=，即ME＝NE=，
进而可得m＝n，
①当m+n＝4时，
即m＝n＝2，故MN=42，
当﹣3≤t≤0时，MNmax=92＜42，
那么由图可知当t＜﹣3时或t＞1时，共2种情况满足题意，
故对应的t值有2个；
②当m﹣n＝3时，即m＝n+3，这与m＝n相矛盾，故不成立，对应的t值有0个；
③当mn＝2时，由m＝n可知，m＝n=2，故ME＝2，
∴=2，即t2+3t＝±2，
解得t＝﹣2或﹣1或-3-172或-3+172，故对应的t值有4个；
④当mn=1时，∵m＝n恒成立，∴对应的t值有无数个．
故答案为：2，0，4，无数．
四川省
1.【2025•泸州】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C，D在直线y=12x+12上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标；
（3）设点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值．
解：（1）把（2，3），A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：-4+2b+c=3-1-b+c=0，
解得b=2c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过F作FH⊥x轴于H，设直线CD交y轴于K，如图：
在y=12x+12中，令x＝0得y=12，令y＝0得x＝﹣1，
∴K（0，12），直线y=12x+12与x轴交点为A（﹣1，0），∴tan∠KAO=OKOA=12，
∵四边形CDEF是正方形，∴EF∥CD，DE＝EF，
∴∠FEH＝∠KAO，∴tan∠FEH=FHEH=12，
设FH＝t，则EH＝2t，
∴EF=FH2+EH2=5t，∴DE＝EF=5t，
∵tan∠KAO=DEDA=12，∴AD＝2DE＝25t，
∴AE=DE2+AD2=(5t)2+(25t)2=5t，
∴AH＝AE+EH＝5t+2t＝7t，∴OH＝AH﹣OA＝7t﹣1，∴F（7t﹣1，t），
把F（7t﹣1，t）代入y＝﹣x2+2x+3得：t＝﹣（7t﹣1）2+2（7t﹣1）+3，
解得t＝0（舍去）或t=2749，∴F（207，2749）；
（3）∵点P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，点Q（x1，y2）在抛物线y＝x2﹣（4m﹣2）x+4m2+2上，∴y1=-x12+2x1+3，y2=x12-（4m﹣2）x1+4m2+2，
∴y2﹣y1=x12-（4m﹣2）x1+4m2+2﹣（-x12+2x1+3）＝2x12-4mx1+4m2﹣1＝2（x1﹣m）2+2m2﹣1，
当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1＝1时，y2﹣y1的值为3，
∴2（1﹣m）2+2m2﹣1＝3，
解得m=1+32（大于1，舍去）或m=1-32，∴m=1-32；
当1＜m＜2时，若1≤x1≤2，则x1＝m时，y2﹣y1的值为3，∴2m2﹣1＝3，
解得m=2或m=-2（舍去），∴m=2；
当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1＝2时，y2﹣y1的值为3，∴2（2﹣m）2+2m2﹣1＝3，
解得m1＝m2＝1（舍去）；
综上所述，m的值为1-32或2．
2．【2025•宜宾】如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标；
（3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
解：（1）依题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得0=-9+3b+c3=c，解得b=2c=3；
（2）由（1）得b＝2，c＝3，则y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3＝（﹣x+3）（x+1），∴x1＝3，x2＝﹣1，
故B（﹣1，0），A（3，0），
分别过点E、D作 EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示：
∵EN⊥OA，DM⊥OA，∴∠ENB＝∠DMB＝90°，
∵∠DBM＝∠EBN，∴△DMB∽△ENB，∴DMEN=BDBE，
∵DE：BE＝1：2，∴DB：BE＝3：2，∴DMEN=32，
设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m，
设AC的解析式为y＝kx+r（k≠0），
∵C（0，3），A（3，0），
∴3=r0=3k+r，解得r=3k=-1，
∴AC的解析式为y＝﹣x+3，
把y＝2m代入y＝﹣x+3，得2m＝﹣x+3，
∴x＝3﹣2m，∴E（3﹣2m，2m），
设BE的解析式为y＝tx+q（t≠0），
把E（3﹣2m，2m），B（﹣1，0）分别代入y＝tx+q，
得2m=t(3-2m)+q0=-t+q，解得t=m2-mq=m2-m，
∴BE的解析式为y=m2-mx+m2-m=m2-m(x+1)，
依题意，把y＝3m代入y=m2-m(x+1)，
得3m=m2-m(x+1)，则x＝5﹣3m，
即点D（5﹣3m，3m），
∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y＝﹣x2+2x+3，∴3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3，
整理得3m2﹣7m+4＝（m﹣1）（3m﹣4）＝0，
∴m1=1，m2=43，
此时y=m2-m(x+1)的2﹣m≠0，
故m1＝1，m2=43是符合题意的，
当m＝1时，则5﹣3m＝5﹣3＝2，3m＝3，此时D（2，3），
当m=43时，则5﹣3m＝5﹣4＝1，3m=3×43=4此时D（1，4），
综上：D（2，3）或D（1，4）；
（3）存在，过程如下：
由（2）得y＝﹣x2+2x+3，
整理y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∵F为抛物线的顶点，∴F（1，4），
∵平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，
连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN＝120°，如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣m）2+n，得yN=-(1-m)2+n，
∵点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上，∴n＝﹣（m﹣1）2+4，
∴（m﹣1）2＝4﹣n，
∴yN=-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n，∴N（1，﹣4+2n），
∵P（m，n），N（1，﹣4+2n），F（1，4），
∴PF2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，PN2＝（m﹣1）2+[n﹣（﹣4+2n）]2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，
则PF2＝PN2，即PF＝PN，
∴△PFN是等腰三角形，
∵∠FPN＝120°，∴∠EPH=12×120°=60°，则tan∠FPH=tan60°=FHHP=4-nm-1=3，
∴4-n=3(m-1)，
令t＝m﹣1，∴4-n=3t，即n=-3t+4，
∵n＝﹣（m﹣1）2+4，∴-3t+4=-t2+4，即t2-3t=0，
∴t(t-3)=0，∴t1=0，t2=3，
∴m﹣1＝0，或m-1=3，
∴m＝1（舍去）或m=3+1，∴P(1+3，1)，
∴平移后的抛物线解析式为y=-(x-1-3)2+1，
令y＝0，则0=-(x-1-3)2+1，
∴(x-1-3)2=1，即x-1-3=±1，
∴x1=2+3，x2=3，则|x1-x2|=2+3-3=2，
∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2．
3．【2025•内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值；
（3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴9a-3b+c=0a+b+c=0c=3，解得：a=-1b=-2c=3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）联立得：y=x-1y=-x2-2x+3，解得：x1=-4y1=-5，x2=1y2=0，
∴D（﹣4，﹣5），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为N（﹣1，4），
设M（﹣1，n），
∵MB＝MD，∴MB2＝MD2，
∴（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝（﹣1+4）2+（n+5）2，
解得：n＝﹣3，∴n的值为﹣3；
（3）由（2）得顶点N（﹣1，4），
设P（m，0），由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH，
当m＜﹣1时，过点P作y轴的平行线EF，过点H，N分别作EF的垂线，垂足为点F，E，如图，
∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°，
∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°，∴∠ENP＝∠FPH，
∴△PEN≌△HFP（AAS），
∴EN＝PF＝﹣1﹣m，PE＝FH＝4，∴H（4+m，1+m），
将点 H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m，
整理得：m2+11m+22＝0，解得m=-11±332，
∴P（-11-332，0）或P（-11+332，0）；
当m＞﹣1时，过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，如图，
∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°，
∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°，∴∠ENP＝∠FPH，
∴△PEN≌△HFP（AAS），
∴EN＝PF＝m+1，PE＝FH＝4，∴H（m﹣4，﹣m﹣1），
将点H（m﹣4，﹣m﹣1）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（m﹣4）2﹣2（m﹣4）+3＝﹣m﹣1，整理得：m2﹣7m+4＝0，
解得：m=7±332，∴P（7-332，0）或P（7+332，0）；
综上，所有符合条件的点P的坐标为：（-11-332，0）或（-11+332，0）或（7-332，0）或（7+332，0）．
4．【2025•广安】如图，二次函数y=13x2+bx+c（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CA的方向平移210个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
解：（1）把B（9，0），C（0，﹣3）代入到y=13x2+bx+c中，
得：13×92+9b+c=0c=-3，∴b=-83c=-3，
∴抛物线解析式为y=13x2-83x-3；
（2）如图所示，当点P在BC下方时，
∵∠PCB＝∠OBC，∴PC∥OB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线x=--832×13=4，∴点P的坐标为（8，﹣3）；
如图所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H，
∵∠PCB＝∠OBC，∴CH＝BH，∴CH2＝BH2，
设H（m，0），∴（0﹣m）2+（﹣3﹣0）2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，∴H（4，0）；
设直线PC解析式为y＝k1x+b1，
∴4k1+b1=0b1=-3，∴k1=34b1=-3，
∴直线PC解析式为y=34x-3，
联立y=34x-3y=13x2-83x-3，解得x=414y=7516或x=0y=-3（舍去），
∴点P的坐标为(414，7516)；
综上所述，点P的坐标为（8，﹣3）或(414，7516)；
（3）由（2）可得原抛物线对称轴为直线x＝4，
∵B（9，0），∴由对称性可得A（﹣1，0），∴OA＝1，
∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∴AC=OA2+OC2=10；
∵将抛物线沿射线CA的方向平移210个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为y=13(x+2)2-83(x+2)-3+6=13x2-43x-1，
当BE为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，∴BE，CF的中点坐标相同，
∴xE+92=0+42，∴xE＝﹣5，
∴yE=13×(-5)2-43×(-5)-1=14，
∴此时点E的坐标为（﹣5，14）；
当BF为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，∴BF，CE的中点坐标相同，
∴xE+02=9+42，∴xE＝13，
∴yE=13×132-43×13-1=38，
∴此时点E的坐标为（13，38）；
当BC为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，∴BC，EF的中点坐标相同，
∴xE+42=9+02，∴xE＝5，
∴yE=13×52-43×5-1=23，
∴此时点E的坐标为(5，23)；
综上所述，点E的坐标为（﹣5，14）或（13，38）或(5，23)．x
…
﹣2
0
1
…
y
…
﹣2
﹣2
1
…