2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点16 反比例函数图象、性质及其应用（Word版附解析）

这是一份2025年各省市中考数学试卷分类汇编知识点16 反比例函数图象、性质及其应用（Word版附解析），共31页。
①线段AB的长为8；
②点C的坐标为（3，3）；
③当x＞3时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】∵点A的横坐标为1，∴y=91=9，∴A（1，9），
∵过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，
∴B（1，1）；∴AB＝8；故①正确；
联立y=x(x≥0)y=9x(x＞0)，解得：x=3y=3或x=-3y=-3（舍去）；
∴点C的坐标为（3，3），故②正确；
由图象可知，当x＞3，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
甘肃省
1．【2025•兰州7题】若点A（2，y1）与B（﹣2，y2）在反比例函数y=2x的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2
【答案】C
吉林省
1．【2025•长春】在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24B．27C．45D．50
【答案】C
【解析】设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=kt（k≠0），
把t＝60，P＝20代入解析式，得20=k60，解得k＝1200，
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=1200t；
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，∴当t≥25时，P≤120025=48，
当t≤40时，P≥120040=30，∴30≤t≤48．
北京
1.【2025•北京8题】如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【解析】设点M坐标为(a，1a)，点N坐标为(b，1b)，则A（a，0），B(0，1b)，C(a，1b)，
∴OB=AB=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，CN＝a﹣b，CM=1b-1a，
∴S△COM=12CM×OA=12×(1b-1a)×a=a2b-12，
S△CON=12CN×OB=12×(a-b)×1b=a2b-12，
∴S△COM＝S△CON，故结论①正确；
S△MCN=12CN⋅CM=12×(a-b)(1b-1a)=(a-b)22ab，
S△MON=S矩形OACB-S△OBN-S△OAM-S△MCN=a×1b-12×b×1b-12×a×1a-(a-b)22ab=a2-b22ab，
当△MON与△MCN的面积相等时，(a-b)22ab=a2-b22ab，即a＝b，
当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误；
∵四边形OACB是矩形，∠AOB＝90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M、N在第一象限，∴∠AOM、∠BON均为锐角，
又∵∠MON＝90°﹣∠AOM﹣∠BON，∴∠MON＜90°，即∠MON 是锐角，
过O作OH⊥MN于H，
由S△MON=a2-b22ab是一个固定形式的正数，
根据三角形面积公式S△MON=12MN⋅OH，
∵S△MON＞0，∴OH＞0，
在△OMH和△ONH中，∠OMH、∠ONH是直角三角形的锐角，
∴∠OMH＜90°，∠ONH＜90°，即∠OMN＜90°，∠ONM＜90°，
∴△MON的三个角都是锐角，∴△MON一定是锐角三角形，故结论③正确；
假设△MON是等边三角形，则OM＝ON＝MN，且∠MON＝60°，
若OM＝ON，则OM2＝ON2，即：a2+(1a)2=b2+(1b)2，
整理得：a2-b2+1a2-1b2=0，∴(a2-b2)(1-1a2b2)=0，
∵a≠b（M、N不重合），∴1-1a2b2=0，
∴a2b2＝1，∴ab＝1，
此时OM＝ON，但结合角度条件∠MON＝60°，
由于ab＝1时，∠AOM+∠BON＝90°﹣60°＝30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求，∴△MON不可能是等边三角形，结论④错误；
综上，①③正确、②④错误．
黑龙江省
1.【2025•绥化】如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3
【答案】D
【解析】延长DC，BA交于点E，
设CD＝a（a＞0），
∵CD：OB＝1：3，∴OB＝3a，
∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，
∴a=kxC，3a=kxA，∴xC=ka，xA=k3a，OD=-ka，AB=-k3a，
∵反比例函数y=kx经过A、C两点，∴S△DOC=S△AOB=-k2．
∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°，∴四边形OBED是矩形，BE=OD=-ka，DE＝OB＝3a，
∴AE=BE-AB=-2k3a，CE＝DE﹣CD＝2a，
∴S△AEC=12AE⋅CE=-2k3，∴S矩形OBED=OD⋅OB=-ka×3a=-3k，
∵S△ACO＝4，∴S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO，
即-3k-(-k2)-(-k2)-(-2k3)=4，∴k＝﹣3．
2．【2025•龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y=kx（k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（ ）
A．2B．-52C．5-12D．-5+12
【答案】D
【解析】如图，过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，
∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴AB＝AO，∠BAO＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
在△BMA和△ANO中，
∠MBA=∠NAO∠BMA=∠ANOAB=AO，∴△BMA≌△ANO（AAS），∴AN＝BM＝1，ON＝AM，
∵点A的横坐标为﹣1，∴A（﹣1，﹣k），
∴ON＝AM＝﹣k，∴B（﹣1+k，﹣k﹣1），
∵点A、B在反比例函数图象上，∴k＝（﹣1+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k2，
整理得k2+k﹣1＝0，解得k=-1+52（舍去）或k=-1-52．
广西
1.【2025•广西12题】如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为（4，32），则第三级阶梯的高EF＝（ ）
A．4B．3C．72D．52
【答案】B
【解析】∵点A（4，32）在双曲线y=kx上，∴k＝4×32=6，∴反比例函数的解析式为y=6x，
∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，32），
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3，
∵点C在y=6x上，∴C点坐标为（3，2），
同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y=6x，则y＝3，∴求得E点坐标为（2，3），
FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y=6x，则y＝6，∴G点坐标为（1，6），
观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，即EF＝6﹣3＝3．
内蒙古
1.【2025•内蒙古8题】已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y=-3x的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．当m＜0时，y1＜y2D．当m＜﹣1时，y1＜y2
【答案】D
【解析】∵反比例函数常量k＝﹣3＜0，∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意；
B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意；
C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意；
D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意．
天津
1.【2025•天津7题】若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=-9x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y1
【答案】D
河北省
1.【2025•河北10题】在反比例函数y=4x中，若2＜y＜4，则（ ）
A．12＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜4D．4＜x＜8
【答案】B
浙江省
1.【2025•浙江5题】已知反比例函数y=-7x.下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】C
湖北省
1.【2025•湖北】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（ ）
A．3AB．4AC．5AD．6A
【答案】A
山东省
1.【2025•临沂、枣庄、聊城、菏泽、济宁】如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kx（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2B．x≥2C．0＜x≤4D．x≥4
【答案】A
【解析】∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b），
∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值），
∴点B的坐标为 （2，2），
∵函数y=kx(x＞0)的图象经过点B，满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2，故选A．
四川省
1.【2025•宜宾】如图，O是坐标原点，反比例函数y=-4x（x＞0）与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y=-4x（x＞0）的图象上，直线AB与y轴交于点C，连结OB，若AB＝3AC，则OB的长为（ ）
A．10B．522C．34D．1302
【答案】D
【解析】如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数y=-4x(x＞0)与直线y＝﹣2x交于点A，∴联立得，-4x=-2x，
解得x=2或-2，∴OD=2，
∵AD⊥x，BE⊥x，∴AD∥BE，∴ABAC=DEOD，
∵AB＝3AC，∴3=DE2，即DE=32，
∴OE=2+32=42，
∴将x=42代入y=-4x=-442=-22，∴BE=22，
∴OB=OE2+BE2=1302．
湖南省
1.【2025•湖南9题】对于反比例函数y=2x，下列结论正确的是（ ）
A．在（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】D
江苏省
1.【2025•连云港】如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2=k2x(k2＜0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【答案】C
重庆
1.【2025•重庆】反比例函数y=-12x的图象一定经过的点是（ ）
A．（2，6）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（6，﹣2）
【答案】D
云南省
1.【2025•云南】若点（1，2）在反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
二、填空题
辽宁省
1．【2025•辽宁12题】在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4时，I＝5．则电流I与电阻R之间的函数表达式为I＝ ．
【答案】20R
广东省
1.【2025•深圳12题】如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y=2-ax相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣1）
【解析】令ax=2-ax，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y=2-ax相交于点A和点B，A的横坐标为1，a⋅1=2-a1，∴a＝1，∴y＝x，
∴当x＝1时，y＝x＝1，∴A（1，1），
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴点A，B关于原点对称，∴B（﹣1，﹣1）．
黑龙江省
1.【2025•齐齐哈尔】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为 ．
【答案】﹣6
【解析】当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1，∴点B的坐标为 （﹣1，0），
∵点C坐标为（0，3），∴BC=OB2+OC2=12+32=10，
设点A坐标为（m，﹣m﹣1），
∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16，
∵AC＝BC，∴AC2＝BC2，∴2m2+8m+16＝10，
解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴m＝﹣3，∴点A坐标为（﹣3，2），
∴2=k-3，解得 k＝﹣6．
陕西省
1.【2025•陕西13题】如图，过原点的直线与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 ．
【答案】9
【解析】∵过原点的直线与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，
∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，∴m＝3，n＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入y=kx，得3=k3，解得k＝9．
新疆
1.【2025•新疆】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y=k2x（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
【答案】20
【解析】∵直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y=k2x(k2≠0)交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，
∴1×4＝﹣4n，∴n＝﹣1，∴B（﹣4，﹣1），
设C（c，0），
则：AB2＝（1+4）2+（4+1）2＝50，AC2＝（c﹣1）2+42＝（c﹣1）2+16，BC2＝（c+4）2+12＝（c+4）2+1，
∵AC⊥AB，∴BC2＝AB2+AC2，
∴（c+4）2+1＝（c﹣1）2+16+50，解得：c＝5，∴C（5，0），
∴AC2＝（5﹣1）2+16＝32，∴AC=32=42，
∵AB2＝50，∴AB=52，
∴△ABC的面积是12AB⋅AC=12×52×42=20．
山东省
1.【2025•威海】如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=-2x的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ ．
【答案】22
【解析】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H，
∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=-2x的图象上，∴S△BOG＝1，S△AOH＝2，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAH＝∠BOG，
∴△OAH∽△BOG，∴OB2OA2=S△BOGS△AOh=12，
∴tan∠BAO=OBOA=22．
福建省
1.【2025•福建13题】若反比例函数y=kx的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ ．
【答案】﹣2
江苏省
1.【2025•连云港】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ Pa．
【答案】16000．
四川省
1.【2025•成都】某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I=36R，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
2．【2025•德阳】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂 是 m．
【答案】0.5
3．【2025•德阳】△ABC在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 ．（只需写出一个即可）
【答案】（2，1）（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可）
【解析】∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，
∵△ABC的面积为1，∴12AB×|yC|=1，∴|yC|＝1，
∴yC＝±1，∴点C的坐标可以是 （2，1），
故答案为：（2，1）．（答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可）
三、解答题
青海省
1．【2025•青海】如图，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点C（﹣1，a）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△BOC的面积．
解：（1）把点A（1，0）代入y＝﹣x+b中，得0＝﹣1+b，b＝1，
∴一次函数解析式为 y＝﹣x+1，
把点C（﹣1，a）代入y＝﹣x+1 中，得a＝1+1＝2，
∴点C的坐标为（﹣1，2），
把C（﹣1，2）代入y=mx中，得2=m-1，m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y=-2x；
（2）过C点作CH⊥y轴于点H，
∵C（﹣1，2），∴CH＝1，
把 x＝0 代入y＝﹣x+1 得，y＝1．
∴B（0，1），∴OB＝1，
∴S△BOC=12OB⋅CH=12×1×1=12．
贵州省
1．【2025•贵州】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gā）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：
（1）表格中a的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
解：（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，
∴3a﹣300，∴a＝100，故答案为100；
（2）画出F与l的函数图象如图所示：
（3）当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小，理由如下：
∵F、l都是正数，∴这条曲线是反比例函数的一支，
∵FL＝300，∴其函数表达式为F=300l，
∵k＞0，∴在第一象限内，F素l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F是减小．
甘肃省
1．【2025•兰州19题】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C．
（1）求一次函数y=-12x+b与反比例函数y=kx的表达式；
（2）点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标．
解：（1）由条件可得-12×8+b＝0，解得b＝4，
∴一次函数解析式为y=-12x+4，
将点A（m，3）坐标代入解析式，得3=-12×m+4，解得m＝2，
∴A（2，3），∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x；
（2）由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x），
∴PC＝4﹣x，∴S△PAC=12×(4-x)×2=6，
解得x＝﹣2，∴P（0，﹣2）．
河南省
1.【2025•河南】小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点C，∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为：y=4x；
（2）∵C（2，2），∴CO2＝22+22＝8，
∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，AO=CO2+AC2=4，
如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置，
∴OE＝OA＝4，
∵D的对应点G在y=4x的图象上，∴yG＝1，∴EG＝1，
由旋转可得：AD＝GE＝1，
∴D（﹣1，4）．
四川省
1.【2025•成都】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y=kx的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）．
（1）求k的值；
（2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0），
∴0＝﹣3+b，解得b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
把A（a，2）代入y＝﹣x+3，得2＝﹣a+3，
解得：a＝1，∴点A（1，2），
把点A（1，2）代入y=kx，得k＝1×2＝2；
（2）如图，连接AD，
由（1）得：反比例函数的解析式为y=2x，
∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2），
∴点C的坐标为（﹣1，﹣2），
∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20，
设点D的坐标为(m，2m)，
∴AD2=(1-m)2+(2-2m)2，CD2=(-1-m)2+(-2-2m)2，
∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2+AC2，
∴(1-m)2+(2-2m)2=(-1-m)2+(-2-2m)2+20，
解得：m＝﹣4或﹣1（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，-12），
设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0）
把点（﹣4，-12）（1，2）代入得：-4k1+b1=-12k1+b1=2，
解得：k1=12b1=32∴直线AD的函数表达式为y=12x+32；
（3）设点E的坐标为（t，2t），
设直线AE的解析式为y＝k2x+b2，
把点（t，2t），（1，2）代入，
得tk2+b2=2tk2+b2=2，解得：k2=-2tb2=2t+2t，
∴直线AE的解析式为y=-2tx+2t+2t，
当y＝0时，0=-2tx+2t+2t，解得x＝t+1，
∴点P的坐标为（t+1，0），
∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|，
∴S△BEP=12×(-yE)×BP=12×(-2t)×|t-2|，
∵△BEP的面积为2，∴12×(-2t)×|t-2|=2，解得t=23或t＝﹣2，
∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或(23，3)．
2．【2025•泸州】如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y=mx的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=mx的图象相交于点B，C，求S△ABC的值．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过A（2，6），∴6＝2×2+b，∴b＝2，
∴一次函数解析式为 y＝2x+2；
∵反比例函数y=mx的图象经过A（2，6），∴6=m2，∴m＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
（2）将一次函数y＝2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y=12x的图象相交于点B，C，
∴直线BC解析式为y＝2x+2﹣12＝2x﹣10，
联立y=2x-10y=12x，解得x=-1y=-12或x=6y=2，
∴B（﹣1，﹣12），C（6，2），
如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，
∵A（2，6），∴点T的横坐标为2，
在y＝2x﹣10中，当x＝2时，y＝2×2﹣10＝﹣6，
∴T（2，﹣6），∴AT＝6﹣（﹣6）＝12，
∴S△ABC＝S△ABT+S△ACT=12×12×[2-(-1)]+12×12×(6-2) ＝18+24＝42．
3．【2025•自贡】如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=-8x的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．
（1）求k的值；
（2）若BD＝2，求点B坐标；
（3）双曲线y=-8x关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y′的交点坐标．
解：（1）∵点A（﹣2，a）在反比例函数y=-8x上，∴a＝4，即A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入正比例函数 y＝kx中，得﹣2k＝4，解得：k＝﹣2；
（2）∵B在直线 y＝﹣2x上，设B（m，﹣2m），
∵过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D，∴D(82m，-2m)
∵BD＝2，∴m-82m=2，
整理得：m2﹣2m﹣4＝0解得：m=1-5，m=1-5或m=1+5（不符合题意舍去），
∴B（1-5，-2+25）
（3）∵双曲线y=-8x关于y轴对称的图象为y'，y'=8x
如图，
由旋转可得：OA＝OA'，∠AOA'＝90°，
过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，∴∠AKO＝∠A'LO＝90°
∴∠AOK＝90°﹣∠A'OL＝∠OA'L∴△AOK≌△OA'L，
∵A（﹣2，4），∵OL＝AK＝4，A'L＝OK＝2，∴A'（4，2），
当x＝4时，y'=8x=2∴A'（4，2）在y'=8x的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：A'（﹣4，﹣2），
∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
4．【2025•南充】如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（﹣3，1），B（1，n）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD=72，求a的值．
解：（1）设反比例函数解析式为y=k1x(k1≠0)，
∵经过点A（﹣3，1），∴k1＝﹣3，∴反比例函数为y=-3x，
∵B（1，n）在y=-3x图象上，n＝﹣3，∴B（1，﹣3），
设一次函数解析式为y＝k2x+b（k2≠0），
∴.-3k2+b=1k2+b=-3，解得k2=-1b=-2，∴一次函数为y＝﹣x﹣2；
（2）∵CD⊥x轴，∴C(a，-3a)，D（a，﹣a﹣2），
∵CD=72，∴(-a-2)--3a=72，即2a2+11a﹣6＝0，∴a1＝﹣6，a2=12，
∵点C在第二象限，∴a＝﹣6．
5．【2025•遂宁】如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）结合图形，请直接写出不等式kx-x＜0；
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，∴反比例函数的解析式为y=4x；
又∵B（a，1）在反比例函数y=4x的图象上，
∴a＝3，∴B（4，1），
把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：
-2m+n=-24m+n=1，解得m=12n=-1，
∴一次函数解析式为y=12x﹣1；
（2）解方程组y=xy=4x得x=2y=2，x=-2y=-2，
∴不等式kx-x＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；
（3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为y=12x﹣1，
∴设另一条直角边的解析式为y＝﹣2x+b，
当直角顶点是A时，则有﹣2＝﹣2×（﹣2）+b，解得b＝﹣6，
当直角顶点是B时，则有1＝﹣2×4+b，解得b＝7，
∴点P的坐标是（0，﹣6）或（0，7）．
6．【2025•内江】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b-k1x≥0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积．
解：（1）∵反比例函数y=k1x的图象过点B（﹣6，1），∴k1＝﹣6×1＝﹣6，
故反比例函数的表达式为y=-6x，
把点A（a，6）代入反比例函数y=-6x得，6=-6a，
解得a＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，6），
∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，
∴-k+b=6-6k+b=1，解得k=1b=7，故一次函数的表达式为y＝x+7；
（2）∵k2x+b-k1x≥0，
∴k2x+b≥k1x，即一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴﹣6≤x≤﹣1；
（3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7，
解得：y＝﹣4+7＝3，∴C（﹣4，3），
当y＝3时，代入y=-6x，得3=-6x，
解得：x＝﹣2，∴D（﹣2，3），
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（﹣6，1），D（﹣2，3），
∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4，
∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，
∴S△BOD＝S梯形BFED=12（DE+BF）EF=12×（3+1）×4＝8．
7．【2025•广安】如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx(n为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（﹣8，1），点B的坐标是（n，﹣4）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
解：（1）把点A（﹣8，1）代入y=mx，得1=m-8，解得m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=-8x，
把点B（n，﹣4）代入y=-8x，得﹣4=-8n，解得n＝2，∴B（2，﹣4），
把A（﹣8，1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得-8k+b=12k+b=-4，
∴解得k=-12b=-3，∴一次函数的解析式为y=-12x﹣3；
（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x＜﹣8或0＜x＜2，∴关于x的不等式kx+b＞mx的解集x＜﹣8或0＜x＜2．
8．【2025•德阳】如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形的顶点A（3，4），连接OB，OB与反比例函数图象交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线OB的解析式和点D的坐标．
解：（1）把A（3，4）代入y=kx，得k＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
（2）∵A（3，4），∴OA=32+42=5，
∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝5，∴B（8，4），
设直线OB的解析式为y＝mx（m≠0），
把B（8，4）代入得4＝8m，∴m=12，
∴直线OB的解析式为y=12x，
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式y=12xy=12x，解得x=26y=6或x=-26y=-6，
∵x＞0，∴D(26，6)．
重庆
1.【2025•重庆】如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2=SS1+S2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4，
∴∠ABC＝90°，AC=AB2+BC2=5，∴AO＝CO＝5，
当0＜x≤52时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x，
当52＜x＜5时，AE＝CF＝x，如图，
∴y1＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，
∴y1=5-2x(0＜x≤52)2x-5(52＜x＜5)，
如图，过点B作BM⊥AC 于点M，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BM，∴BM=AB⋅BCAC=125，
∴△ABE的面积为S1=12AE⋅BM=12x×125=65x，
同理可得△CDF 的面积为S2=65x，
又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，∴y2=SS1+S2=1265x+65x=5x，
∴y2=5x(0＜x＜5)；
（2）作图如下：
性质：当0＜x≤52时，y1随x的增大而减小；
当52＜x＜5时，y1随x的增大而增大（不唯一）；
当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小；
（3）结合函数图象，可得y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1＜或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）．点A与点O的距离l/m
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小F/N
300
200
150
120
a