8.1一元二次方程第1课时（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（鲁教版五四制2024）

8.1 一元二次方程 第1课时 第八章 一元二次方程章节导读 本章将对一元二次方程进行全面的认识.与一元一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型.学 习 目 标1.理解一元二次方程的定义，能依据方程的构成特征判断一个方程是否为一元二次方程;（重点）2.掌握一元二次方程的一般形式，能准确地确定方程中的二次项系数、一次项系数和常数项，运用一般形式解决相关基础问题;（重点）3.通过分析实际问题中的数量关系，能将实际问题转化为一元二次方程模型，求解与一元二次方程相关的问题.(难点） 在一个方程中，只含有______________，且未知数的指数都是______，这样的方程叫做一元一次方程．复习回顾1.什么是一元一次方程？一个未知数12.一元一次方程的一般形式是什么？一元一次方程的一般形式是：ax＋b＝0（a，b是常数，a 0）．≠情境引入上述问题还能用学过的一元一次方程或分式方程解决吗？解:设所求的宽度为xm，则中间地毯的宽表示为_________m,长表示为________m,则方程列为 ，化简，得_________________.新知探究 探究一：一元二次方程的定义及有关概念(5-2x)(8-2x)(8-2x)(5-2x)=184x2 -26x+22 ＝0新知探究问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， .　根据题意，可得方程： 　　　　　 　　　,化简，得 . x2 - 8x - 20＝0 x+1x+2x+3x+4x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2新知探究解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m ,根据题意，可得方程： ，化简，得 .6x+672 + (x + 6)2 = 102x2 + 12 x - 15 = 06m新知探究共同特点：①只含有一个未知数; ②未知数的最高次数是2;③整式方程． 这三个方程有什么共同特点？新知探究一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程.我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式新知探究 ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. a x 2 + b x + c = 0(a ≠ 0)二次项系数一次项系数常数项二次项一次项一元二次方程的项及其系数新知探究当 a = 0 时当 a ≠ 0 ， b = 0时 当 a ≠ 0 ， c = 0时 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.当b ≠ 0时，为一元一次方程一元二次方程方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再根据定义作判断.新知探究C含两个未知数不是整式方程化简整理得x2-3x+2=0少了限制条件a≠0新知探究 探究二：建立一元二次方程模型解:设剪去的正方形边长为x cm,则无盖方盒的底面的长为(25-2x) cm ，宽为(15-2x ) cm .根据题意，可列方程为(25-2x)(15-2x)= 300,整理得：4x2 -8x+75 ＝0.新知探究列一元二次方程的基本思路：(1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系；(2)设未知数，一般求什么就设什么为x；(3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程．新知探究(17-x) x2+(17-x)2=132x2-17x十60=0典例分析解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0，所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．典例分析解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；（2）系数和项均包含前面的符号.典例分析解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程． 巩固练习 2.方程2x2-6-x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）A.6，2，9                     B.2，-6，9   C.2，-6，-9                    D.-2，6，9DC巩固练习3.将一元二次方程-3x2-2＝-4x化成一般形式为（　　）A.3x2-4x+2＝0                    B.3x2-4x-2＝0  C.3x2+4x+2＝0                    D.3x2+4x﹣2＝04.设一个奇数为x，它与跟它相邻奇数的积为323，所列方程正确的是(　　)A.x(x＋2)＝323                B.x(x-2)＝323C.x(x＋1)＝323                D.x(x-2)＝323或x(x＋2)＝323AD巩固练习①②④⑥ -1  -2-1巩固练习  巩固练习9.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：(1) 2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.解：（1）2x2=3x-1化为一般形式为  2x2-3x+1=0，∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为  -x2+2x-4=0,   ∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.课堂小结一元二次方程的定义我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式其中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数.列一元二次方程的基本思路感谢聆听! 第八章 一元二次方程