1.5.2有理数的加法运算律-课件2025-2026学年2024冀教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.5.2 有理数的加法运算律学科：数学年级：七年级上册版本：冀教版学习目标经历探索有理数加法运算律的过程，理解加法交换律和结合律在有理数范围内仍然适用，体会运算律的通用性。能准确表述有理数加法的交换律和结合律，掌握运用运算律简化有理数加法运算的方法，提高运算效率。能运用有理数加法运算律解决实际问题，培养观察、归纳与逻辑推理能力，感受数学的简洁美。学习重点：有理数加法交换律和结合律的推导与应用，运用运算律简化计算。学习难点：根据算式特点合理选择运算律（如凑整、凑零），灵活简化计算。回顾复习回顾有理数加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等和为 0，绝对值不等取大符号，用大绝对值减小绝对值；一个数与 0 相加，仍得原数。计算热身：（1）(-3)+5；（2）5+(-3)；（3）[2+(-4)]+(-1)；（4）2+[(-4)+(-1)]思考：两组算式（1）与（2）、（3）与（4）的结果有什么关系？这与小学学过的加法运算律是否一致？导入新课展示生活实例：情境一（交换律）：小明买文具，先花 5 元买笔记本，再花 (-3) 元（退掉一支 3 元的笔），总花费为 5+(-3)；若先花 (-3) 元退笔，再花 5 元买笔记本，总花费为 (-3)+5。两种顺序的总花费是否相同？情境二（结合律）：快递站第一天收到 3 个包裹（记为 + 3），第二天收到 (-2) 个包裹（退回 2 个），第三天收到 4 个包裹（记为 + 4）。若先算前两天的包裹数再加第三天，即 [3+(-2)]+4；若先算后两天的包裹数再加第一天，即 3+[(-2)+4]。两种计算顺序的总包裹数是否相同？提问：这些实例说明，有理数的加法是否也满足小学学过的加法交换律和结合律？如何用数学式子表示这些规律？探究新知一、有理数加法交换律规律探索：计算两组算式：① (-5)+3 = -2，3+(-5) = -2，结果相等，即 (-5)+3 = 3+(-5)；② (-1.2)+(-4.8) = -6，(-4.8)+(-1.2) = -6，结果相等，即 (-1.2)+(-4.8) = (-4.8)+(-1.2)。归纳定义：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，这就是有理数加法交换律。符号表示：对于任意有理数 a、b，都有 a + b = b + a。关键说明：交换律中，“交换加数位置” 仅改变加数的顺序，不改变加数的符号和绝对值，和始终不变（与小学加法交换律本质一致，适用范围扩展到有理数）。二、有理数加法结合律规律探索：计算两组算式：① [(-2)+(-3)]+4 = (-5)+4 = -1；(-2)+[(-3)+4] = (-2)+1 = -1，结果相等，即 [(-2)+(-3)]+4 = (-2)+[(-3)+4]；② (0.5+(-1))+2 = (-0.5)+2 = 1.5；0.5+[(-1)+2] = 0.5+1 = 1.5，结果相等，即 (0.5+(-1))+2 = 0.5+[(-1)+2]。归纳定义：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这就是有理数加法结合律。符号表示：对于任意有理数 a、b、c，都有 (a + b) + c = a + (b + c)。关键说明：结合律中，“改变相加顺序” 仅调整计算的先后，不改变加数的符号和绝对值，和始终不变（适用范围同样扩展到有理数）。三、运算律的应用（简化计算的技巧）核心思路：利用运算律将算式中的数进行 “凑整”（和为整数）、“凑零”（和为 0，即互为相反数）或 “同号结合”，减少计算量，避免出错。技巧 1：凑零（互为相反数结合）例 1：计算 (-3)+5+3解：利用交换律，将 (-3) 与 3 交换位置，得 5+(-3)+3；再利用结合律，先算 (-3)+3，得 5+[(-3)+3]；因为 (-3)+3=0，所以 5+0=5。（步骤简化：(-3)+5+3 = 5+[(-3)+3] = 5+0 = 5）技巧 2：凑整（和为整数的数结合）例 2：计算 (-2.5)+4.3+(-1.5)+5.7解：观察到 (-2.5) 与 (-1.5) 的和为 - 4（整数），4.3 与 5.7 的和为 10（整数）；利用交换律和结合律，分组计算：[(-2.5)+(-1.5)]+[4.3+5.7]；分别计算每组：(-4)+10 = 6。（步骤简化：(-2.5)+4.3+(-1.5)+5.7 = [(-2.5)+(-1.5)]+[4.3+5.7] = -4+10 = 6）技巧 3：同号结合（正数与正数结合，负数与负数结合）例 3：计算 (-1)+2+(-3)+4+(-5)解：将负数和正数分别分组，利用交换律和结合律：[(-1)+(-3)+(-5)]+[2+4]；计算每组：(-9)+6 = -3。（步骤简化：(-1)+2+(-3)+4+(-5) = [(-1)+(-3)+(-5)]+[2+4] = -9+6 = -3）技巧 4：含 0 的结合（0 与任何数结合不改变和，可优先计算）例 4：计算 0+(-5)+3+0+(-2)解：利用结合律，先算 0+0，再算其他数：(0+0)+[(-5)+(-2)+3]；计算得 0+(-4) = -4。（步骤简化：0+(-5)+3+0+(-2) = (0+0)+[(-5)+(-2)+3] = 0+(-4) = -4）四、易错点辨析（避坑指南）误区 1：交换或结合时忽略符号（如计算 (-3)+4+(-1) 时，错误写成 - 3+4+1，漏掉 “-1” 的负号）；提醒：交换或结合加数时，需连同加数的符号一起移动，符号是加数的一部分。误区 2：盲目使用运算律，未选择最优分组（如计算 (-2)+3+(-8) 时，错误结合 3+(-8)，而非 (-2)+(-8)，增加计算量）；提醒：先观察算式特点，优先凑零、凑整，再考虑同号结合。误区 3：多个数相加时漏加或重复加（如计算 (-1)+2+(-3)+4 时，错误得 2，正确应为 2，需逐个数核对）；提醒：分组后标记已计算的数，避免遗漏或重复。学生活动活动一：分组计算竞赛将学生分为若干小组，每组给出相同的复杂算式（如 (-3.5)+2.8+(-6.5)+7.2+(-1)），要求运用运算律简化计算，最先得出正确结果且步骤清晰的小组获胜。目的：通过竞赛，强化运算律的灵活应用，提高计算速度。活动二：规律验证与举例同桌合作，一人任意写出两个有理数 a、b，验证 a+b 是否等于 b+a（交换律）；再任意写出三个有理数 a、b、c，验证 (a+b)+c 是否等于 a+(b+c)（结合律），并记录 3 组验证结果，总结运算律的通用性。目的：通过自主验证，加深对运算律适用范围的理解。巩固练习基础题（夯实运算律应用）运用加法运算律计算下列各题：（1）(-5)+7+5 = ______；（2）[(-3)+(-4)]+6 = ______；（3）(-1.2)+3.5+(-1.8) = ______；（4）(-2)+(-3)+(-4)+5 = ______答案：（1）7（凑零：(-5)+5+7=0+7=7）；（2）-1（结合后计算：(-7)+6=-1）；（3）0.5（凑整：[(-1.2)+(-1.8)]+3.5=-3+3.5=0.5）；（4）-4（同号结合：[(-2)+(-3)+(-4)]+5=-9+5=-4）下列运用加法运算律正确的是（ ）A. (-3)+4+(-2) = (-3)+(4+2) B. 5+(-6)+3 = 5+3+(-6) C. (-1)+(-2)+3 = (-1)+(2+3) D. (-4)+0+(-5) = 4+5+0答案：B（A 选项 4+(-2) 错误写成 4+2；C 选项 - 2 错误写成 2；D 选项 - 4、-5 错误写成 4、5）中档题（实际应用）某便利店一周的利润情况如下（盈利记为正，亏损记为负）：-200 元、300 元、-150 元、250 元、-50 元、400 元、100 元。求这一周的总利润（运用运算律简化计算）。解：将利润数相加，利用同号结合和凑整：(-200)+300+(-150)+250+(-50)+400+100= [(-200)+(-150)+(-50)] + [300+250+400+100]= (-400) + 1050= 650（元）答：这一周的总利润为 650 元。拓展题（规律探究）观察下列算式，利用运算律计算：1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+…+99+(-100)解：分组为 [1+(-2)]+[3+(-4)]+…+[99+(-100)]，共 50 组；每组结果为 - 1，总结果为 50×(-1) = -50。答：结果为 - 50。课堂小结有理数加法的两个运算律：交换律：a + b = b + a（交换加数位置，和不变）；结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（改变相加顺序，和不变）。运算律的核心应用技巧：凑零（互为相反数结合）、凑整（和为整数结合）、同号结合、含 0 结合，目的是简化计算。计算步骤：“一观察（算式特点），二分组（选最优方式），三计算（分组求和），四验证（核对结果）”。数学思想：转化思想（将复杂算式转化为简单分组计算）、归纳思想（从实例中归纳运算律）。当堂训练计算 (-6)+8+(-4)，运用交换律和结合律的正确步骤是（ ）A. (-6)+(8+(-4)) = (-6)+4 = -2 B. 8+[(-6)+(-4)] = 8+(-10) = -2 C. (-6)+(-4)+8 = -10+8 = -2 D. 以上都正确答案：D（三种分组方式均正确，结果一致）运用运算律计算：（1）(-3)+(-1)+2+(-2)+3 = ______；（2）4.6+(-3.2)+5.4+(-6.8) = ______答案：（1）-1（凑零：(-3)+3+(-1)+(-2)+2=0+(-3)+2=-1）；（2）0（凑整：[4.6+5.4]+[(-3.2)+(-6.8)]=10+(-10)=0）某潜水员先潜入水下 10 米（记为 - 10 米），再上升 3 米（记为 + 3 米），接着又潜入水下 5 米（记为 - 5 米），最后上升 7 米（记为 + 7 米）。求潜水员最终的位置（相对于水面，运用运算律计算）。解：-10+3+(-5)+7 = [(-10)+(-5)] + [3+7] = (-15)+10 = -5（米）答：潜水员最终在水下 5 米处（相对于水面记为 - 5 米）。计算：(-1)+2+(-3)+4+…+(-99)+100 = ______答案：50（分组为 [(-1)+2]+[(-3)+4]+…+[(-99)+100]，共 50 组，每组 1，总结果 50×1=50）2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握有理数的加法运算律.2.能运用有理数的加法运算律简化运算，提高运算能力.3.能运用有理数的加法解决实际问题，形成应用意识.学习目标回顾 小学学过哪些加法运算律？两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变。 加法结合律课堂导入根据所学知识，解决下列问题. 为了给灾区群众筹集善款，支持灾后重建，某中学七年级一班捐款786元，七年级一班捐款957元，七年级三班捐款1214元，七年级四班捐款1543元.这四个班级一共给灾区捐款多少元？786+957+1214+1543运用加法的交换律和结合律可以使运算简便= 4500课堂导入问题1 计算下列算式，它们的计算结果是否相同？你能从中获得什么结论？30+(-20)( - 20 ) + 303.02 + ( - 2.07 )( - 2.07 ) + 3.020+ ( - 20)( - 20 ) + 0= 10= 10= 0.95= 0.95= - 20= - 20 总结 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变. 知识点 有理数的加法运算律 问题2 计算下列算式，它们的计算结果是否相同？你能从中获得什么结论？[ 8 + ( - 5 ) ] + ( - 4)8+ [ ( - 5 ) + ( - 4 ) ]= - 1= - 1[ 7 + ( - 3 ) ] + ( - 4)7 + [ ( - 3 ) + ( - 4 ) ]= 0= 0 总结： 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变.知识点 有理数的加法运算律 有理数加法的运算律：（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c)知识点 有理数的加法运算律 解：知识点 有理数的加法运算律 归纳 应用加法运算律运算时常用的三个规律：1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加. 2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整. 3.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加.知识点 有理数的加法运算律 问题4 某水库在星期一的水位是110.3m,星期二下降了0.2m,星期三上升了0.7m,星期四下降了0.8m. (1) 如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天水位变化情况用正数或负数表示出来.（2）星期四的水位是多少米？知识点 有理数的加法运算律 解：（1）每天水位的变化量分别是：星期二为-0.2m，星期三为+0.7m，星期四为-0.8m. (2) 根据题意，得 110.3+（-0.2）+（+0.7）+（-0.8） =[110.3+(+0.7)]+[(-0.2)+(-0.8)] =111+(-1) =110(m).答：每天水位的变化量分别是：星期二为-0.2m，星期三为+0.7m，星期四为-0.8m.星期四的水位是110m.知识点 有理数的加法运算律 1.在下面的括号里填上运用的运算律.计算：( - 1 ) + ( + 2 ) + ( - 3 ) + ( + 4 ).解：原式= ( - 1) + ( - 3 ) + ( + 2 ) + ( + 4 ) ( ) =［( - 1 ) + ( - 3 )］+［( + 2 ) + ( + 4 )］ ( )= ( - 4 ) + ( + 6 )= 2.加法交换律加法结合律2.某储蓄所先后办理了7笔业务：取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元，这时的存款比最初( )A.增加12.25万元 B.减少12.25万元C.增加12万元 D.减少12万元A3.用简便方法计算： （1）（+23）+（- 27）+（+ 9）+（- 5）； （2）（+0.7）+（- 0.9）+（- 1.8）+ 1.3 +（- 0.2）.解：（1）原式 =［( + 23 ) + ( + 9 )］+［( - 27 ) + ( - 5 )］ = ( + 32 ) + ( - 32 ) = 0.（2）原式 =［( + 0.7 ) + 1.3］+［( - 1.8 ) + ( - 0.2 )］+ ( - 0.9 ) = 2 + ( - 2 ) + ( - 0.9 ) = - 0.9.4.上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票(单位：元)的涨跌情况：则在星期五收盘时，每股的价格是多少？解 :根据题意，得35 + ( + 4 ) + ( + 4.5 ) + ( - 1 ) + ( - 2.5 ) + ( - 6 ) = 34 ( 元 ). 答：每股的价格 34 元.5.10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5. 问这10筐苹果总共重多少千克？=8+(-4)解:根据题意得： 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)=(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]=4 所以这10筐苹果总重量为：30×10+4=304（千克）知识点1 有理数加法运算律        返回 A  返回 A  返回              返回知识点2 利用有理数加法运算律解决实际问题 与4月30日比，5月3日的客流量变化是( )BA.下降了5万人 B.上升了13万人 C.上升了21万人 D.下降了7万人 返回  答：6天后冷库里的鲜肉减少了，减少了31吨. 返回 B  返回 D  返回9.（8分）计算：     返回 （1）请你通过计算说明王先生最后能否回到出发点1楼.    返回有理数加法的运算律有理数加法的运算律有理数加法运算律的实际应用加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！