7.6.1 与坡度和坡角有关的问题2025—2026学年苏科版数学九年级下册培优教学课件

在黑板上画出一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°。设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。​正弦函数定义​引导学生观察∠A 的对边 a 与斜边 c 的比值，给出正弦函数的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA = a/c 。通过多个不同边长的直角三角形示例，让学生计算∠A 的正弦值，加深对定义的理解。​余弦函数定义​类比正弦函数，讲解余弦函数：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA = b/c 。同样通过实例计算强化概念。​正切函数定义​介绍正切函数：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA = a/b 。引导学生分析正切函数与正弦、余弦函数的区别与联系。​（三）例题讲解（15 分钟）​知识点有关坡角、坡度的应用知1－讲11. 坡角与坡度(坡比)的定义(1)坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图7.6-1 中的α.(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)(如图7.6-1 所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶ x的形式.知1－讲 知1－讲4. 解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.知1－讲特别提醒①坡度是两条线段的比值，不是度数.②表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.③物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.知1－讲特别提醒当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.知1－练例 1 知1－练(1)求水库大坝的高度；解题秘方：过点A作AF⊥BC于点F，可得AF 为坝高，根据坡度的定义与勾股定理进行计算即可得到答案；知1－练 知1－练(2)若坝顶AD＝4 米，斜坡CD的坡角为60°. 求坝底BC的长(结果保留根号).解题秘方：过点D作DE⊥BC于点E，可得四边形AFED为矩形，得到相应线段的长，再结合tan 60°的值求得CE的长.知1－练 知1－练方法点拨此题是教材问题1的改编， 在解与坡角、坡度有关的问题时，通常紧扣坡度、坡角的定义，利用锐角三角函数和勾股定理等知识计算求解；有时还需根据实际问题进行画图，根据需要作出辅助线，常常添加垂线或平行线，构造直角三角形和矩形. 返回D1.如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为(　　) 返回2.A[2024南通崇川区校级月考]如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，宽为30 cm，为方便残障人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是(　　)A．210 cm B．120 cm C．504 cm D．60 cm 返回3.115°一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为________． 返回4.165.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 返回 返回6.[2024眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为____________米．7.如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到河边C的距离AC＝130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山BD的坡比为4：3，乙山上B点到河边D的距离BD＝450米，从B处看A处的俯角为25°.(参考值：sin 25°≈0.423，cos 25°≈0.906，tan 25°≈0.466)(1)求乙山B处到河边CD的垂直高度；解：过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AH⊥BF于点H，则四边形AEFH为矩形，∴HF＝AE＝120米，AH＝EF.∴BH＝BF－HF＝360－120＝240(米)．∵从B处看A处的俯角为25°，∴∠BAH＝25°.(2)求河CD的宽度．(结果保留整数) 返回