7.6.3 与仰角和俯角有关的问题2025—2026学年苏科版数学九年级下册培优教学课件

在黑板上画出一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°。设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。​正弦函数定义​引导学生观察∠A 的对边 a 与斜边 c 的比值，给出正弦函数的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA = a/c 。通过多个不同边长的直角三角形示例，让学生计算∠A 的正弦值，加深对定义的理解。​余弦函数定义​类比正弦函数，讲解余弦函数：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA = b/c 。同样通过实例计算强化概念。​正切函数定义​介绍正切函数：锐角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA = a/b 。引导学生分析正切函数与正弦、余弦函数的区别与联系。​（三）例题讲解（15 分钟）​知3－讲知识点有关仰角和俯角的应用31. 仰角和俯角的定义在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.知3－讲2. 示意图(如图7.6-5)知3－讲3. 基本图形及关系式知3－讲续表知3－讲特别提醒1. 仰角和俯角是视线相对于水平线而言的， 不同位置的仰角和俯角是不同的， 可巧记为“上仰下俯”.2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中解决问题，注意确定水平线.知3－练[模拟·淮安] 如图7.6-6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后在教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知AB高4 米.例 3解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.知3－练(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； 知3－练(2)求旗杆CD的高度. 知3－练方法点拨解决有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形.知4－讲知识点方向角的应用41. 方向角的定义 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°.知4－讲2. 示意图 如图7.6-7，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向.知4－讲特别提醒1. 因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角， 所以方向角通常都写成“ 北偏……” “ 南偏……”的形式.2. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.3. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.知4－练[中考·南京] 如图7.6-8，在港口A处的正东方向有两个相距6 km 的观测点B，C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)例 4 知4－练 知4－练 返回B1.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物(如图)CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　) 返回2.17[2024盐城]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为________ m．(精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)3.如图，在电视背景墙上，银幕投影区域的下沿B距离地面的高度BC为72 cm，投影区域的上沿A距离地面228 cm.小明为了获得最大的投影效果，将投影仪调整到影像达到银幕投影区域的上下沿．经测量，此时投影仪镜头D到上沿A的仰角为17.7°，到下沿B的俯角为11.3°，求此时镜头D到地面的距离．(参考数据：tan 11.3°≈0.20，tan 17.7°≈0.32)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥CM于点F.∵AC⊥CM，∴四边形DECF是矩形．∴DF＝CE.∵AC＝228 cm，BC＝72 cm，∴AB＝AC－BC＝228－72＝156(cm)．设AE＝x cm，则BE＝(156－x)cm. 返回4.[2023南京]如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B.无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5 m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′.AB＝10 m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．(参考数据：tan 36°52′≈0.75，tan 63°26′≈2.00)解：如图，延长DC交AB于点E.由题意得DE⊥AB，CD＝5 m．设BE＝x m.∵AB＝10 m，∴AE＝AB＋BE＝(10＋x)m.在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52′，∴CE＝AE·tan 36°52′≈0.75(10＋x)m.在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26′，∴DE＝BE·tan 63°26′≈2x m.∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75(10＋x)≈2x，解得x≈10.∴CE≈15 m．∴无人机在C处时离地面的高度约为15 m. 返回5.[2023泰州]如图，堤坝AB长为10 m，坡度i为1：0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35′≈0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m) 返回用锐角三角函数解决问题解直角三角形的应用类型坡角和坡度问题旋转高度问题仰角和俯角问题方向角问题一般步骤一般测量问题