1.8.2有理数的乘法运算律-课件2025-2026学年2024冀教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.8.2 有理数的乘法运算律学科：数学年级：七年级上册版本：冀教版学习目标经历探索有理数乘法运算律的过程，理解乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内仍然适用，体会运算律的通用性。能准确表述有理数乘法的三个运算律，掌握运用运算律简化有理数乘法运算的方法，提高运算效率与准确性。能运用有理数乘法运算律解决实际问题（如分组计算、分配求和），培养观察、归纳与逻辑推理能力，感受数学的简洁美。学习重点：有理数乘法交换律、结合律、分配律的推导与应用，运用运算律简化计算。学习难点：根据算式特点合理选择运算律（如凑整、凑 1 或凑 0），灵活处理符号问题，尤其是分配律中负数的分配。回顾复习回顾有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。回顾小学乘法运算律：交换律：\(a×b = b×a\)；结合律：\((a×b)×c = a×(b×c)\)；分配律：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)。计算热身：（1）\(2×(-3)\)与\((-3)×2\)；（2）\([(-4)×(-5)]×3\)与\((-4)×[(-5)×3]\)；（3）\(5×[(-2) + 3]\)与\(5×(-2) + 5×3\)思考：两组算式的结果有什么关系？小学学过的乘法运算律在有理数范围内是否仍然成立？导入新课展示生活中的乘法情境（需分组计算）：情境一（交换律与结合律）：超市进货，每次进 2 箱饮料，每箱有 (-3) 瓶（表示破损 3 瓶），共进了 4 次。若先算每次进货的破损数（2×(-3)），再算 4 次总破损数；或先算总进货箱数（2×4），再算总破损数，结果是否相同？（列式：\((2×(-3))×4\)与\(2×(4×(-3))\)）情境二（分配律）：某班有 3 组学生，每组分别有 (-2) 人（请假 2 人）和 5 人（到校 5 人），老师要给每人发 1 支笔，总共需要准备多少支笔？若先算每组总人数再乘 3，或先分别算请假和到校人数的笔数再相加，结果是否相同？（列式：\(3×[(-2) + 5]\)与\(3×(-2) + 3×5\)）提问：这些情境中的算式涉及负数，运用小学乘法运算律计算是否可行？有理数乘法运算律该如何表述与应用？探究新知一、有理数乘法运算律的推导（从实例到规律）1. 乘法交换律实例验证：① \(2×(-3) = -6\)，\((-3)×2 = -6\)，结果相等，即\(2×(-3) = (-3)×2\)；② \((-4)×(-5) = 20\)，\((-5)×(-4) = 20\)，结果相等，即\((-4)×(-5) = (-5)×(-4)\)。规律总结：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变，这就是有理数乘法交换律。符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有 \(a×b = b×a\)（可简记为\(ab = ba\)）。2. 乘法结合律实例验证：① \([(-4)×(-5)]×3 = 20×3 = 60\)；\((-4)×[(-5)×3] = (-4)×(-15) = 60\)，结果相等；② \((-2)×(3×(-1)) = (-2)×(-3) = 6\)；\([(-2)×3]×(-1) = (-6)×(-1) = 6\)，结果相等。规律总结：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，这就是有理数乘法结合律。符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有 \((a×b)×c = a×(b×c)\)（可简记为\((ab)c = a(bc)\)）。3. 乘法分配律实例验证：① \(5×[(-2) + 3] = 5×1 = 5\)；\(5×(-2) + 5×3 = -10 + 15 = 5\)，结果相等；② \((-4)×(2 + (-1)) = (-4)×1 = -4\)；\((-4)×2 + (-4)×(-1) = -8 + 4 = -4\)，结果相等。规律总结：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，这就是有理数乘法分配律。符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有 \(a×(b + c) = a×b + a×c\)（可简记为\(a(b + c) = ab + ac\)），反向运用为\(ab + ac = a(b + c)\)。二、运算律的应用技巧（简化计算的核心）核心思路：利用运算律将算式中的数进行 “凑整”（积为整数）、“凑 1”（积为 1，如倒数）、“凑 0”（积为 0）或 “分配简化”，减少计算量，避免符号错误。1. 交换律与结合律的应用（多适用于三个及以上数相乘）技巧 1：凑整（积为整数）例 1：计算\((-0.25)×(-4)×(-3)\)解：观察到\((-0.25)×(-4) = 1\)（整数），利用结合律分组：\([(-0.25)×(-4)]×(-3) = 1×(-3) = -3\)。技巧 2：凑 0（含 0 的数优先结合）例 2：计算\(5×(-7)×0×(-2)\)解：利用结合律，先算\(0×(-2) = 0\)，再算其他：\(5×(-7)×[0×(-2)] = 5×(-7)×0 = 0\)（任何数与 0 相乘得 0）。技巧 3：同号结合（减少符号判断次数）例 3：计算\((-2)×(-3)×4×(-5)\)解：利用交换律，将负数与负数结合，正数与正数结合：\([(-2)×(-3)]×[4×(-5)] = 6×(-20) = -120\)（先定每组符号，再算绝对值）。2. 分配律的应用（多适用于 “一个数 × 两个数的和” 或反向提取公因数）技巧 1：正向分配（将数分配到和中，简化计算）例 4：计算\((-6)×[(-1/2) + (1/3)]\)解：利用分配律，将\(-6\)分别与\(-1/2\)、\(1/3\)相乘，再相加：\((-6)×(-1/2) + (-6)×(1/3) = 3 + (-2) = 1\)（避免先算括号内的分数加法，简化运算）。技巧 2：反向分配（提取公因数，合并同类项）例 5：计算\(3×(-4) + 3×(-6)\)解：观察到两项都有公因数\(3\)，反向运用分配律：\(3×[(-4) + (-6)] = 3×(-10) = -30\)（避免两次乘法，直接算一次乘法）。技巧 3：分配律中的负数处理（注意符号传递）例 6：计算\((-5)×(2 - 7)\)解：先将括号内转化为和的形式：\(2 - 7 = 2 + (-7)\)，再分配：\((-5)×2 + (-5)×(-7) = -10 + 35 = 25\)（或直接理解为 “减去一个数等于加它的相反数”，分配时符号需对应）。三、易错点辨析（避坑指南）误区 1：交换或结合时忽略因数符号（如计算\((-2)×3×(-4)\)时，错误写成\(-2×3×4 = -24\)，正确应为\([(-2)×(-4)]×3 = 8×3 = 24\)）；提醒：交换或结合因数时，需连同因数的符号一起移动，符号是因数的一部分。误区 2：分配律中漏乘或符号错误（如计算\(2×(-3 + 4)\)时，错误写成\(2×(-3) + 4 = -6 + 4 = -2\)，正确应为\(2×(-3) + 2×4 = -6 + 8 = 2\)）；提醒：分配律需将括号外的数 “分别乘括号内的每一个数”，不能漏乘，且负数乘正数得负、负数乘负数得正。误区 3：多个数相乘时，错误判断负因数个数（如计算\((-1)×(-2)×(-3)×4\)时，错误得 24，正确应为 - 24）；提醒：多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正），先定符号，再算绝对值。误区 4：反向分配时，公因数符号错误（如计算\(-3×2 + (-3)×5\)时，错误提取为\(3×(-2 + 5) = 9\)，正确应为\(-3×(2 + 5) = -21\)）；提醒：反向分配时，若两项都含负号，可提取负的公因数，确保括号内符号正确。学生活动活动一：运算律应用竞赛将学生分为若干小组，每组给出相同的复杂算式（如\((-0.125)×(-8)×(-3) + 4×(-5)\)、\((-6)×(1/2 - 1/3 + 1/6)\)），要求运用运算律简化计算，最先得出正确结果且步骤清晰的小组获胜。目的：通过竞赛强化运算律的灵活应用，提高计算速度与准确性。活动二：实例编题与验证同桌合作，一人根据乘法运算律编一道有理数乘法题（如结合律：\([(-3)×2]×(-5)\)；分配律：\(4×(-2 + 3)\)），另一人用两种方法（直接计算、用运算律计算）验证结果是否一致，再交换角色。目的：通过编题与验证，加深对运算律 “简化计算且结果不变” 的理解。巩固练习基础题（夯实运算律应用）运用乘法运算律计算下列各题：（1）\((-5)×(-6)×(-2) = \_\_\_\_\)；（2）\((-0.5)×(-4)×3 = \_\_\_\_\)；（3）\(3×(-2 + 5) = \_\_\_\_\)；（4）\(-4×2 + (-4)×3 = \_\_\_\_\)答案：（1）-60（结合律：\([(-5)×(-6)]×(-2) = 30×(-2) = -60\)）；（2）6（结合律：\([(-0.5)×(-4)]×3 = 2×3 = 6\)）；（3）9（分配律：\(3×(-2) + 3×5 = -6 + 15 = 9\)）；（4）-20（反向分配：\(-4×(2 + 3) = -4×5 = -20\)）下列运用乘法运算律正确的是（ ）A. \((-3)×4×(-2) = (-3)×(4×2)\) B. \((-2)×(3 + (-4)) = (-2)×3 + (-2)×4\) C. \(5×(-6) = 6×5\) D. \(2×(-3) + 2×5 = 2×(-3 + 5)\)答案：D（A 选项 4×(-2) 错误写成 4×2；B 选项 (-2)×(-4) 错误写成 (-2)×4；C 选项交换后符号错误，应为\(5×(-6) = (-6)×5\)）中档题（实际应用）某工厂生产零件，每天生产\(-5\)个（表示不合格 5 个），每周工作 6 天，3 周共生产多少个不合格零件？（运用乘法结合律计算）解：列式：\((-5)×6×3\)；运用结合律：\((-5)×(6×3) = (-5)×18 = -90\)（个）；答：3 周共生产 - 90 个不合格零件（即 90 个不合格零件）。某班级有 20 名学生，每人需要缴纳\(-2\)元（表示退还 2 元）的班费和 5 元的资料费，总共需要处理多少元费用？（运用乘法分配律计算）解：列式：\(20×[(-2) + 5]\)；运用分配律：\(20×(-2) + 20×5 = -40 + 100 = 60\)（元）；答：总共需要处理 60 元费用（即收入 60 元）。拓展题（规律探究）观察下列算式，利用运算律计算：\((-1)×(1/2) + (-1)×(1/2)×(1/3) + (-1)×(1/2)×(1/3)×(1/4) + \dots + (-1)×(1/2)×(1/3)×\dots×(1/100)\)提示：反向运用分配律，提取公因数\((-1)×(1/2)\)，逐步简化；解：设\(a = (-1)×(1/2)\)，则原式\(= a + a×(1/3) + a×(1/3)×(1/4) + \dots + a×(1/3)×\dots×(1/100)\)\(= a×[1 + 1/3 + 1/(3×4) + \dots + 1/(3×4×\dots×100)]\)（后续可进一步化简，此处重点体现分配律应用）。课堂小结有理数乘法的三个运算律：交换律：\(ab = ba\)（交换因数位置，积不变）；结合律：\((ab)c = a(bc)\)（改变相乘顺序，积不变）；分配律：\(a(b + c) = ab + ac\)（分配到和中，或反向提取公因数）。应用技巧：交换律与结合律：凑整、凑 0、同号结合，减少符号判断；分配律：正向分配2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握有理数的乘法运算律,能灵活运用乘法运算律 简化运算.2.能利用有理数的乘法解决简单的实际问题，形成 应用意识.学习目标 3.小学时候大家学过乘法的那些运算律？两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，仍得0.先确定积的符号； 再计算绝对值的积.乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律1.有理数乘法法则是什么？2.如何进行有理数的乘法运算？回顾课堂导入问题1 在有理数的范围内，乘法的交换律和结合律是否仍然适用？-8-86-2412-24探究乘法交换律仍然成立乘法结合律仍然成立知识点 有理数乘法的运算律一般地，有理数的乘法有以下运算律：乘法交换律：ab=ba.即，两个数相乘，交换因数的位置，积不变.乘法结合律：（a×b)×c=a×(b×c).即对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变.归纳知识点 有理数乘法的运算律解：运用交换律运用结合律知识点 有理数乘法的运算律问题3 在有理数的范围内，乘法对加法的分配律是否仍然适用？-530-245430-11-55-40-15-55乘法对加法的分配律（简称分配律）仍然成立知识点 有理数乘法的运算律一般地，我们可以得出：乘法对加法的分配律（简称分配律）： a(b+c)=ab+ac.即一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.归纳知识点 有理数乘法的运算律解：知识点 有理数乘法的运算律 1.计算： （1）1×2×3×4= ，（2）（-1）×2×3×4= ，（3）（-1）×（-2）×3×4= ，（4）（-1）×（-2）×（-3）×4= ，（5）（-1）×（-2）×（-3）×（-4）= ，24-2424-2424探究多个有理数相乘的符号法则知识点 有理数乘法的运算律2.通过上面的计算，填写下表：0+1-2+3-4+知识点 有理数乘法的运算律 3.根据表中填写的结果，探究几个不为0的数相乘时，积的符号与负因数个数之间有什么关系？几个不为0的数相乘，积的符号由_____________ 决定.当负因数有_____ 个时，积为负；当负因数有_____ 个时，积为正.几个数相乘,如果有一个因数为0，_________负因数的个数奇数偶数奇负偶正积就为0.知识点 有理数乘法的运算律解：先确定积的符号，再把绝对值相乘.知识点 有理数乘法的运算律1.(-0.125)×15×(-8)×-0.8=［(-0.125)×(-8)］×15×-0.8的运算中用到了( )A.乘法结合律 B.乘法交换律C.分配律 D.乘法交换律和结合律D2.算式 -25×14+18×14-39×（-14）=（-25+18+39）×14是逆用了（　　）A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法对加法的分配律 D3.有2021个有理数相乘，如果积为0，那么这2021个有理数( )A.全部为0 B.只有一个因数为0C.至少有一个为0 D.有两个数互为相反数C4.下列计算(-55)×99+(-44)×99-99正确的是( )A.原式=99×(-55-44)=-9 801B.原式=99×(-55-44+1)=-9 702C.原式=99×(-55-44-1)=-9 900D.原式=99×(-55-44-99)=-19 602C5.计算解：知识点1 乘法运算律的运用 BA.第①步运用了乘法交换律B.第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误C.第②步的运算结果正确D.第③步的结果是本题的正确结果 返回 DA.加法交换律B.乘法交换律C.乘法结合律D.分配律 返回 D  返回4.（12分）计算：       返回知识点2 几个有理数相乘5.下列算式的结果为正值的是( )A  返回 A  返回 A  返回          返回 B  返回 B  返回有理数乘法的运算律乘法的运算律多个有理数相乘的符号法则乘法的交换律______________乘法的结合律__________________乘法对加法的分配律_________________ab=ba.（ab)c=a(bc).a(b+c)=ab+bc.有一个因数为0时，积就为0.几个不等于0的数相乘，当负因数有____个时，积为__；当负因数有____个时，积为___.奇数负偶数正必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！