1.9 有理数的除法-课件2025-2026学年2024冀教版数学七年级上册教学课件

封面标题：1.9 有理数的除法学科：数学年级：七年级上册版本：冀教版学习目标经历有理数除法法则的探索过程，理解除法是乘法的逆运算，掌握有理数除法法则。能准确运用有理数除法法则进行有理数的除法运算，将除法运算转化为乘法运算，提高运算能力。了解有理数除法运算中的特殊情况（如除数不能为 0，0 除以任何非 0 数都得 0），培养严谨的数学思维。运用有理数除法解决简单的实际问题，体会数学与生活的紧密联系，增强应用意识。学习重点：有理数除法法则的理解与应用，正确进行有理数的除法运算。学习难点：处理除法运算中的符号问题，灵活选择合适的除法法则进行运算，尤其是在复杂算式中的应用。回顾复习回顾有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。回顾乘法与除法的关系（以整数为例）：因为\(3×4 = 12\)，所以\(12÷4 = 3\)，\(12÷3 = 4\)，即除法是乘法的逆运算。计算热身：（1）\(3×(-4)\)；（2）\((-5)×(-2)\)；（3）\(0×(-6)\)。思考：如果已知乘法的积和其中一个因数，如何求另一个因数？例如，已知积为\(-12\)，一个因数为\(-4\)，另一个因数是多少？这种求法在有理数范围内是否适用？导入新课展示生活中的除法情境：情境一：某商店一周内亏损了\(14\)元，平均每天亏损多少钱？（亏损用负数表示，即\(-14\)元，一周按\(7\)天算，可列式为\((-14)÷7\)）情境二：小明从学校出发，向西走了\(15\)米，记作\(-15\)米，若他以相同的速度\(3\)米 / 秒行走，那么他走了几秒？（可列式为\((-15)÷3\)）提问：这些情境中的算式涉及负数，我们之前学过的整数除法运算方法还能直接用于这些有理数的除法运算吗？有理数的除法运算又该遵循怎样的规则呢？探究新知一、有理数除法法则的推导（从乘法逆运算到除法法则）利用乘法逆运算推导：设\(a÷b = x\)（\(b≠0\)），根据除法是乘法的逆运算，那么\(x×b = a\)。例如：计算\((-12)÷(-3)\)，设\((-12)÷(-3)=x\)，则\(x×(-3)= -12\)。因为\((-4)×(-3)=12\)，所以\(x = 4\)，即\((-12)÷(-3)=4\)。再如计算\(18÷(-6)\)，设\(18÷(-6)=y\)，则\(y×(-6)=18\)。因为\((-3)×(-6)=18\)，所以\(y = -3\)，即\(18÷(-6)= -3\)。法则总结：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)。注意：\(0\)不能作除数。因为如果\(0\)作除数，例如\(a÷0\)（\(a\)为任意有理数），设\(a÷0 = x\)，那么\(x×0 = a\)，但任何数与\(0\)相乘都得\(0\)，不可能等于\(a\)（\(a≠0\)时），所以\(0\)不能作除数。符号表示：若\(a\)、\(b\)为有理数，且\(b≠0\)，当\(a\)、\(b\)同号时，\(a÷b = +(|a|÷|b|)\)；当\(a\)、\(b\)异号时，\(a÷b = -(|a|÷|b|)\)；\(0÷b = 0\)（\(b≠0\)）。二、除法转化为乘法（更简便的运算方式）倒数的概念回顾：乘积是\(1\)的两个数互为倒数。例如，\(2\)与\(\frac{1}{2}\)互为倒数，因为\(2×\frac{1}{2}=1\)；\(-\frac{3}{4}\)与\(-\frac{4}{3}\)互为倒数，因为\((-\frac{3}{4})×(-\frac{4}{3}) = 1\)。注意：\(0\)没有倒数，因为任何数与\(0\)相乘都不可能等于\(1\)。除法转化为乘法的推导：对于\(a÷b\)（\(b≠0\)），因为\(b×\frac{1}{b}=1\)，所以\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)。例如\(6÷3 = 6×\frac{1}{3}=2\)，\((-8)÷4 = (-8)×\frac{1}{4}= -2\)。结论：有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数。符号表示为\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）。这种转化在很多情况下能使计算更加简便，尤其是当除数是分数时。例如计算\(\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}\)，根据法则转化为\(\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\)。三、有理数除法运算的应用技巧核心思路：根据算式的特点，灵活选择合适的法则进行运算，尽量将复杂的除法运算转化为更易计算的乘法运算，同时注意符号的处理。1. 直接运用除法法则（适用于简单整数除法）例 1：计算\((-24)÷6\)解：因为\(-24\)与\(6\)异号，根据除法法则 “异号得负，并把绝对值相除”，\(| -24|÷|6| = 4\)，所以\((-24)÷6 = -4\)。例 2：计算\(0÷(-5)\)解：根据 “\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)”，所以\(0÷(-5)=0\)。2. 转化为乘法运算（适用于除数为分数或算式可通过乘法简化的情况）例 3：计算\((-18)÷(-\frac{2}{3})\)解：根据 “除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数”，\(-\frac{2}{3}\)的倒数是\(-\frac{3}{2}\)，则\((-18)÷(-\frac{2}{3}) = (-18)×(-\frac{3}{2})\)。两个负数相乘得正，\(18×\frac{3}{2}=27\)，所以\((-18)÷(-\frac{2}{3}) = 27\)。例 4：计算\(\frac{3}{4}÷(-\frac{5}{8})×(-\frac{4}{9})\)解：先将除法转化为乘法，\(\frac{3}{4}÷(-\frac{5}{8}) = \frac{3}{4}×(-\frac{8}{5})\)，则原式变为\(\frac{3}{4}×(-\frac{8}{5})×(-\frac{4}{9})\)。多个有理数相乘，先确定符号，负因数有\(2\)个，积为正。再计算绝对值，\(\frac{3}{4}×\frac{8}{5}×\frac{4}{9}=\frac{3×8×4}{4×5×9}=\frac{8}{15}\)。四、易错点辨析（避坑指南）误区 1：忽略除数不能为 0（如计算\(5÷0\)，错误认为有结果）；提醒：在有理数除法运算中，除数绝对不能为\(0\)，这是除法运算的基本要求，看到除法算式，首先要检查除数是否为\(0\)。误区 2：除法法则中符号判断错误（如计算\((-12)÷(-3)\)时，错误得\(-4\)，应得\(4\)）；提醒：牢记除法法则中 “同号得正，异号得负”，先确定商的符号，再计算绝对值相除的结果。误区 3：除法转化为乘法时，误将被除数也取倒数（如计算\(6÷\frac{2}{3}\)，错误写成\(\frac{1}{6}×\frac{3}{2}\)，正确应为\(6×\frac{3}{2}\)）；提醒：除法转化为乘法时，只是将除数取倒数，被除数保持不变，严格按照\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）的规则进行转化。误区 4：在混合运算中，运算顺序错误（如计算\(12 - 6÷3×2\)，错误先算减法，正确应先算除法，再算乘法，最后算减法）；提醒：在有理数的混合运算中，遵循先乘除后加减的顺序，如果有括号，先算括号内的。乘除运算按照从左到右的顺序依次进行。学生活动活动一：运算竞赛将学生分为若干小组，每组给出相同的有理数除法及混合运算算式（如\((-36)÷9\)、\(\frac{5}{6}÷(-\frac{1}{3})\)、\(8 - 4÷(-2)×3\)），要求运用正确的法则进行计算，最先得出正确结果且步骤清晰的小组获胜。目的：通过竞赛形式，强化学生对有理数除法法则及运算顺序的掌握，提高运算速度和准确性。活动二：编题互测同桌合作，一人根据有理数除法知识编一道题目（可以是简单的除法运算、混合运算或实际应用问题），另一人解答，解答完成后相互交流思路和错误原因，然后交换角色。目的：通过编题和解答过程，加深学生对有理数除法知识的理解和应用能力，培养学生的思维能力和表达能力。巩固练习基础题（夯实运算基础）计算下列各题：（1）\((-35)÷5 = \_\_\_\_\)；（2）\(0÷(-8) = \_\_\_\_\)；（3）\((-18)÷(-\frac{3}{2}) = \_\_\_\_\)；（4）\(\frac{4}{5}÷(-\frac{8}{15}) = \_\_\_\_\)答案：（1）-7（异号得负，\(| -35|÷|5| = 7\)）；（2）0（\(0\)除以任何非\(0\)数都得\(0\)）；（3）12（转化为乘法\((-18)×(-\frac{2}{3})\)，同号得正，\(18×\frac{2}{3}=12\)）；（4）\(-\frac{3}{2}\)（转化为乘法\(\frac{4}{5}×(-\frac{15}{8})\)，异号得负，约分计算得\(-\frac{3}{2}\)）下列计算正确的是（ ）A. \((-6)÷2 = 3\) B. \(0÷(-3) = 0\) C. \(1÷(-\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}\) D. \((-2)÷(-4) = - \frac{1}{2}\)答案：B（A 选项应为\(-3\)；C 选项\(1÷(-\frac{1}{2}) = 1×(-2)= -2\)；D 选项应为\(\frac{1}{2}\)）中档题（实际应用与运算能力提升）某冷库的温度是\(-12℃\)，下降了\(5℃\)后，又下降了\(3℃\)，两次变化后冷库的温度是多少？（用有理数除法或混合运算解决）解：下降\(5℃\)后温度为\(-12 - 5 = -17℃\)，又下降\(3℃\)后温度为\(-17 - 3 = -20℃\)。也可列式为\([(-12)+(-5)+(-3)]÷1 = -20℃\)（这里除以\(1\)不改变结果，主要体现思路）。答：两次变化后冷库的温度是\(-20℃\)。某登山队攀登一座山峰，每登高\(1km\)气温的变化量为\(-6℃\)，攀登\(3km\)后，气温有什么变化？解：气温变化量为\((-6)×3 = -18℃\)，也可理解为\(3÷\frac{1}{(-6)} = 3×(-6)= -18℃\)（从除法与乘法转化角度）。答：气温下降了\(18℃\)。拓展题（综合运用与思维拓展）已知\(a\)、\(b\)互为相反数（\(a≠0\)），\(c\)、\(d\)互为倒数，\(m\)的绝对值为\(2\)，求\((a + b)÷m - cd + m\)的值。解：因为\(a\)、\(b\)互为相反数，所以\(a + b = 0\)；\(c\)、\(d\)互为倒数，所以\(cd = 1\)；\(m\)的绝对值为\(2\)，所以\(m = ±2\)。当\(m = 2\)时，原式\(= 0÷2 - 1 + 2 = 1\)；当\(m = -2\)时，原式\(= 0÷(-2) - 1 + (-2)= -3\)。答：值为\(1\)或\(-3\)。课堂小结有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)，\(0\)不能作除数。除法与乘法的关系：除法是乘法的逆运算，除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数，即\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）。运算技巧与注意事项：运算时根据算式特点灵活选择法则，先确定符号，再进行绝对值运算；注意除数不能为\(0\)，在混合运算中遵循正确的运算顺序。2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握有理数除法法则,体会除法与乘法的关系,以及将除法转化为乘法的转化思想.2.会熟练进行有理数的除法运算，提高运算能力.3.会利用有理数的除法运算解决简单的实际问题形成应用意识.学习目标你能很快地说出下列各数的倒数吗?-1复习课堂导入根据“除法是乘法的逆运算”填空：（-6）÷（-2）= （-6）÷（+3）= （+6）÷（-2）= （+6）÷（-3）= （+6）÷（+2）= （+6）÷（+3）= -2+3+2-3+3-2+3+2-3-2+3-2探究知识点 有理数除法法则观察下列两组式子，你能找到它们的共同点吗？“÷”变“×”“÷”变“×”互为倒数互为倒数 归纳： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 知识点 有理数除法法则（+6）÷（-2）= - 3（-6）÷（+3）= - 3 同号两数相除得正数异号两数相除得负数并把它们的绝对值相除.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.归纳知识点 有理数除法法则0除以任何不等于0的数都得0.00观察一下式子，你能得出什么结论？归纳 你能结合有理数的乘法法则，归纳出有理数的除法法则吗？知识点 有理数除法法则知识点 有理数除法法则问题1 计算：解：同号得正，绝对值相除.除以一个数等于乘这个数的倒数.异号得负，绝对值相除.知识点 有理数除法法则问题2 计算：解：知识点 有理数除法法则1.下列把除法转换为乘法的过程中正确的是( )C2.下列计算正确的是( )D　CD　6.计算　7.计算： 8.火车在东西方向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负；进站以前的时间为负，出站以后的时间为正.请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“（-180）÷（-3）”的含义并解答.解：编制的问题为：（-180）÷（-3）=60（千米）， 火车从车站东边180公里处进入车站用了3小时，火车平均每小时行多少千米？即火车平均每小时行60千米.知识点1 有理数的除法法则 C  返回 A  返回3.下列把除法转换为乘法的过程中正确的是( )C  返回 A  返回 0 返回6.（24分）计算：             返回        返回知识点2 有理数除法的应用   返回 B  返回 B  返回 D  返回   返回      返回两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 法则一法则二除法 有理数 0除以任何非0的数都得0.除以一个数等于乘这个数的倒数.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！