5.1 二次函数2025—2026学年苏科版数学九年级下册培优教学课件

1. 情境导入（5 分钟）问题 1：投篮时篮球的运动轨迹是什么形状？问题 2：桥梁的抛物线形拱桥如何用数学表达式描述？引出课题：二次函数（板书）。2. 探究新知（20 分钟）活动 1：分析实际问题例 1：矩形场地的长为 10 米，宽为 x 米，面积 y 与 x 的关系为 y=10x−x 2 。例 2：圆的面积 S=πr 2 ，其中 r 为半径。引导学生观察：两个函数的共同特征（最高次数为 2）。活动 2：定义二次函数归纳定义：形如 y=ax 2 +bx+c（a=0）的函数称为二次函数。强调关键点：a=0，二次项系数不为零。活动 3：图像绘制与性质探究示范：用描点法画出 y=x 2 的图像，分析开口方向、顶点、对称轴。学生动手：分组绘制 y=−x 2 、y=2x 2 的图像，对比参数变化对图像的影响。3. 例题讲解（10 分钟）例 3：已知二次函数 y=x 2 −2x+3，求其开口方向、顶点坐标和对称轴。步骤：配方化为顶点式 y=(x−1) 2 +2。分析开口方向（向上）、顶点（1,2）、对称轴（x=1）。4. 课堂练习（10 分钟）基础题：判断下列函数是否为二次函数：\ y=3x 2 ，y=x 3 +2x，y=2x+1。提高题：根据实际问题列二次函数关系式（如利润问题、面积问题）。5. 课堂小结（5 分钟）学生总结：二次函数的定义、图像性质及应用。教师补充：强调二次函数在实际生活中的广泛应用。五、课后作业必做题：教材习题 21.1 第 1、3、5 题。画出函数 y=−2x 2 +4x 的图像，并分析其性质。选做题：探究二次函数 y=ax 2 +bx+c 中参数 a、b、c 对图像的影响。知识点二次函数的定义知1－讲11. 定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a ≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中x是自变量，y是x的函数，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．知1－讲示例：知1－讲2. 确定二次函数的“三要素”(1)含有自变量的代数式必须是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于0.知1－讲特别解读二次函数的特殊形式：①只含二次项，即：y＝ax2(b＝0，c＝0)；②不含一次项，即：y＝ax2＋c(b＝0，c ≠0)；③不含常数项，即：y＝ax2＋bx(b ≠0，c＝0).知1－练例 1[月考·南通启东市] 下列函数是二次函数的是( )A. y＝x(－x＋1) B. y＝ax2＋bx＋cC. y＝2x＋3 D. y＝(x－1)2－x2解题秘方：紧扣二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．知2－讲知识点根据实际问题列二次函数表达式2根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤1. 审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言.2. 找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式.3. 列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式.知2－练某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年的增长率都是x，写出y与x之间的函数关系式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项.例2解题秘方：基数是a万元，增长次数是2，结果为y万元，根据增长率问题的公式得出函数关系式.知2－练解：根据题意，得y＝a(1＋x)2＝ax2＋2ax＋a，是二次函数，二次项系数为a，一次项系数为2a，常数项为a.知3－讲知识点确定二次函数自变量的取值范围3一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的自变量x的取值范围可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围应使实际问题有意义．知3－讲特别提醒如表示长度、时间、售价等自变量的取值均为非负数，表示人数或计件等自变量的取值应为非负整数.知3－练[中考·无锡改编] 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1 ∶ 2 的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的一边长为x m，矩形养殖场的总面积为S m2 (如图5.1-1)．例 3知3－练 知3－练解题秘方：结合(1)及AD 不大于10 m 可得自变量的取值范围.(2)若墙的长度为10 m，求此时自变量x的取值范围. 1. [2024苏州姑苏区校级月考]下列函数的表达式中，一定为二次函数的是(　　)C 返回2. 二次函数y＝－3x＋x2＋2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　)A．0，－3，2 B．0，2，－3 C．1，－3，2 D．1，2，－3C 返回3. 二次函数y＝x2＋2x－1的函数值是2，那么对应的x值是(　　)A．3 B．1 C．－3或1 D．3或－1C 返回4.当m________时，函数y＝(m－2)x2＋3x－5(m为常数)是关于x的二次函数．≠2 返回5. 已知二次函数y＝(2x＋3)(x－1)＋5的二次项系数、 一次项系数、常数项分别为a，b，c，则a－b＋c＝________．3 返回6. (1)新能源汽车越来越受人们的青睐，是人们出行的交通工具之一．一辆某品牌的新能源汽车原价为21.59万元，若每年的折旧率是x，两年后这辆新能源汽车的价格为y万元，则y与x的函数关系式为_______________．(2)用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系式为____________．y＝21.59(1－x)2 返回7.已知二次函数y＝3(x－1)2＋2.(1)将该二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；解：y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5，a＝3，b＝－6，c＝5.(2)当x＝6时，求y的值；解：当x＝6时，y＝3×62－6×6＋5＝77.(3)当y＝77时，求x的值．当y＝77时，3x2－6x＋5＝77，解得x1＝6，x2＝－4. 返回8.根据下面的条件列出函数表达式，并判断列出的函数是否为二次函数：(1)如果两个数中，一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；解：p＝m(m－5)＝m2－5m，是二次函数．(2)在一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔的边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60 m、宽为40 m的矩形空地，计划在它的内部边沿相同的宽度内种植草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数．解：S＝100π－4x2，是二次函数．S＝(60－2a)(40－2a)＝4a2－200a＋2 400，是二次函数． 返回二次函数二次函数三要素表达式y＝ax2y＝ax2＋cy＝ax2＋bxy＝ax2＋bx＋c定义自变量的取值范围