5.1 轴对称现象（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548805.1 轴对称现象一、学习目标通过观察生活中的对称现象，理解轴对称的概念，能准确识别轴对称图形和两个图形成轴对称。掌握轴对称图形的基本特征，明确对称轴的含义，能找出简单轴对称图形的对称轴。区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，体会轴对称在生活中的广泛应用。在探究轴对称现象的过程中，培养观察能力、空间想象能力和审美意识。二、情境引入生活中处处充满对称之美：蝴蝶的翅膀左右对称，展开后能完美重合；天安门城楼的建筑设计对称分布，给人庄重和谐的感觉；剪纸艺术中对称的图案更是精美绝伦。这些对称现象都蕴含着一种特殊的几何关系 —— 轴对称。轴对称不仅是一种视觉上的美感体现，更具有严谨的数学定义和性质。本节课我们就来探索轴对称现象的奥秘，感受数学与生活的紧密联系。三、轴对称的概念（一）轴对称图形定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。实例分析：等腰三角形：沿着底边上的高所在的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴（如图 1）。正方形：沿着两条对边中点的连线或两条对角线所在的直线折叠，直线两旁的部分都能重合，因此正方形是轴对称图形，它有 4 条对称轴（如图 2）。圆：沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆的两部分都能重合，因此圆是轴对称图形，它有无数条对称轴（所有直径所在的直线）。[此处插入图 1：等腰三角形的对称轴示意图][此处插入图 2：正方形的 4 条对称轴示意图]（二）两个图形成轴对称定义：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。实例分析：如图 3，将△ABC 沿着直线 l 折叠后，能与△A'B'C' 完全重合，则△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，直线 l 是对称轴，点 A 与点 A'、点 B 与点 B'、点 C 与点 C' 是对称点。生活中，镜子中的像与原物体关于镜面所在的直线对称，这也是两个图形成轴对称的典型例子。[此处插入图 3：两个三角形关于直线对称的示意图]（三）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系概念区别联系轴对称图形针对一个图形而言，是图形自身的对称性质1. 都沿一条直线折叠后能够重合；2. 对称轴都是直线；3. 可以相互转化：轴对称图形可看作是两个成轴对称的图形重合在一起的情形两个图形成轴对称针对两个图形而言，是两个图形之间的对称关系四、轴对称的特征（一）对称轴的特征对称轴是一条直线，不是线段或射线。例如，等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而不仅仅是这条高（线段）。一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。例如，长方形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴，圆有无数条对称轴。两个图形成轴对称时，对称轴只有一条，是两个图形对应点连线的垂直平分线。（二）对称点的特征关于某条直线对称的两个图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。例如，图 3 中，对称点 A 与 A' 的连线 AA' 被对称轴 l 垂直平分（即 l⊥AA'，且 l 经过 AA' 的中点）。对称点到对称轴的距离相等。例如，图 3 中，点 A 到对称轴 l 的距离等于点 A' 到对称轴 l 的距离。（三）图形的特征轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够完全重合，因此对应线段相等，对应角相等。例如，等腰三角形沿对称轴折叠后，两腰重合（对应线段相等），两底角重合（对应角相等）。关于某条直线对称的两个图形是全等图形。因为它们能够完全重合，所以形状和大小完全相同，符合全等图形的定义。五、生活中的轴对称现象（一）自然中的轴对称自然界中许多生物的形态都具有轴对称特征：植物的叶片通常是轴对称的，有利于接受阳光照射和进行光合作用。动物的身体结构大多对称，如蝴蝶、蜻蜓的翅膀，对称的形态有助于它们保持飞行平衡。花朵的花瓣排列往往呈轴对称，这种对称结构能吸引昆虫传粉，提高繁殖效率。（二）建筑中的轴对称轴对称在建筑设计中应用广泛，体现出庄重、和谐的美感：中国的古典建筑如故宫、天坛等，整体布局和细节设计都遵循轴对称原则，对称轴通常为建筑的中轴线。现代建筑如人民大会堂、悉尼歌剧院的部分结构也采用了轴对称设计，兼顾美观与实用性。桥梁的结构设计中，轴对称能使桥梁受力均匀，提高稳定性，如拱桥的对称结构。（三）艺术与文化中的轴对称剪纸艺术：对称是剪纸的重要表现手法，通过折叠和剪裁能快速制作出对称的精美图案。书法与文字：许多汉字是轴对称图形，如 “中”“田”“日” 等，体现了汉字的对称美。标志设计：不少企业和组织的标志采用轴对称图形，如中国银行的标志、奥迪汽车的标志，对称的设计便于识别和记忆。六、典型例题解析例 1：判断下列图形是否为轴对称图形，若是，指出其对称轴的数量。（1）平行四边形 （2）等边三角形 （3）五角星 （4）直角梯形解：（1）平行四边形不是轴对称图形，因为无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合。（2）等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴（每条边上的高所在的直线）。（3）五角星是轴对称图形，它有 5 条对称轴（过每个角的顶点与对边中点的直线）。（4）直角梯形不是轴对称图形，沿任何直线折叠后两旁部分都无法重合。例 2：如图 4，△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，已知∠A = 60°，AB = 5cm，求∠A' 的度数和 A'B' 的长度，并说明理由。[此处插入图 4：△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称的示意图]解：∵△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称（已知）∴△ABC≌△A'B'C'（关于某条直线对称的两个图形是全等图形）∴∠A' = ∠A（全等三角形的对应角相等），A'B' = AB（全等三角形的对应边相等）∵∠A = 60°，AB = 5cm（已知）∴∠A' = 60°，A'B' = 5cm。例 3：找出图 5 中轴对称图形的对称轴，并说明该图形有几条对称轴。[此处插入图 5：一个含对称轴的复杂图形，如奥运五环中的单个圆环或特定标志]解：该图形是轴对称图形。通过观察和折叠验证，它有 1 条对称轴（如图中直线 l 所示）。七、易错点警示概念混淆：混淆 “轴对称图形” 和 “两个图形成轴对称”，错误地认为两者是同一概念。实际上，轴对称图形是一个图形自身的性质，而两个图形成轴对称是两个图形之间的关系。对称轴识别错误：将对称轴当作线段或射线，而忽略对称轴是直线的特征。例如，误将等腰三角形的对称轴说成是 “底边上的高”（线段），而正确表述应为 “底边上的高所在的直线”。对称轴数量判断错误：漏数或多数对称轴，尤其是对于复杂图形或有多条对称轴的图形。例如，认为长方形只有 1 条对称轴（实际有 2 条），或认为圆只有 1 条对称轴（实际有无数条）。对称点特征误解：错误地认为对称点到对称轴的距离相等是指对称点之间的距离等于对称轴到某点的距离，而实际上是每个对称点到对称轴的垂直距离相等。忽略非对称图形的判断：仅凭直观感受判断图形是否为轴对称图形，而未通过折叠验证，导致错误。例如，认为平行四边形是轴对称图形，而实际上它不是。八、课堂练习填空题：（1）正方形有______条对称轴，圆有______条对称轴。（2）若△ABC 是轴对称图形，且对称轴是 BC 边的垂直平分线，则△ABC 是______三角形（填 “等腰” 或 “等边”）。（3）两个图形关于某条直线对称，对应点的连线被______垂直平分。选择题：（1）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 等边三角形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 圆（2）下列说法正确的是（ ）A. 轴对称图形只有一条对称轴 B. 两个全等图形一定关于某条直线对称C. 轴对称图形的对应角相等 D. 对称轴是轴对称图形的一部分解答题：（1）画出下列图形的对称轴（至少画出一条）：①等腰梯形 ②正五边形 ③角。（2）如图 6，四边形 ABCD 是轴对称图形，直线 AC 是它的对称轴，求证：∠B = ∠D，AB = AD。[此处插入图 6：四边形 ABCD 关于 AC 对称的示意图]九、方法总结轴对称图形的识别方法：直观观察：初步判断图形是否具有对称特征。折叠验证：将图形沿某条直线折叠，看直线两旁的部分是否完全重合，若重合则为轴对称图形，这条直线就是对称轴。特征分析：根据常见轴对称图形的特征（如等腰三角形、正方形等）快速识别。对称轴的寻找技巧：对于简单图形，可通过折叠直接找出对称轴。对于复杂图形，可先找出对称点，再连接对称点，对称轴是对称点连线的垂直平分线。记住常见图形的对称轴数量：等腰三角形 1 条、长方形 2 条、等边三角形 3 条、正方形 4 条、圆无数条。概念区分方法：看研究对象：轴对称图形研究 “一个图形”，两个图形成轴对称研究 “两个图形”。看关系本质：轴对称图形是自身对称，两个图形成轴对称是彼此对称。通过本节课的学习，我们认识了轴对称现象，理解了轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，掌握了轴对称的基本特征和应用。轴对称不仅是一种重要的几何关系，更是生活中美的体现。希望同学们能在生活中发现更多轴对称现象，感受数学的魅力，同时为后续学习轴对称的性质和应用打下坚实基础。庄严肃穆，中正祥和天工造物，自然之美民间艺术，趣味横生它们有什么共同特点？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.轴对称图形对称轴am轴对称和轴对称图形观察图中的图形，这些图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请找出它的对称轴.议一议 如图是一个轴对称图形，直线 l 是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点 A 与点 A' 重合，称点 A 关于对称轴的对应点是点 A'. 轴对称图形认识对应点、对应线段、对应角：BCB'AA'类似地，线段 AB 关于对称轴的对应线段是线段 A'B'，∠B 关于对称轴的对应角是∠B'.问题1：你还能在图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗?点 B 和点 B'，AC 和 A'C，∠A 和∠A' 等.合作探究问题2：如图是一个轴对称图形，直线 l 是它的对称轴. 观察这个图形，回答下列问题：（1）在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系?（2）在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系?AA1对应角相等.对应线段相等.l(3) 连接对应点 A 与点 A'，线段AA' 与对称轴之间有什么关系?连接其他任意一组对应点再试一试.AA1对应点所连的线段被对称轴垂直平分.l观察图中的每组图案，你发现了什么？两个图形成轴对称及其性质 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴.例1 右边四组图形中有哪几组图形成轴对称？典例精析1. 找出下面每个轴对称图形的对称轴.练一练 如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数，将纸打开后铺平：在铺平的纸中打开合作探究(1) 两个“14”有什么关系？(2) 对应线段之间有什么关系? 对应角之间有什么关系?连接对应点的线段与对称轴 l 之间有什么关系? 请举例说明，并与同伴进行交流.对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.关于直线 l 对称.打开l 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.知识要点例2 如图是一个图案的一半，直线 MN 是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半.解：如图 ，延长 AO 至 A'，使 OA' = OA；延长 BN 至 B'，使 NB' = NB；依次连接 MA'，MB'， A'B'，A'P，B'P. 这样画出来的图形就是这个图形的另一半.典例精析方法总结：先确定一些特殊的点(如三角形的顶点)，然后作这些特殊点的对称点，再顺次连接.比较归纳有特殊位置关系的两个全等图形1. 都是沿着某条直线折叠后能重合；2. 可以通过分割或整合互相转化.具有特殊形状的一个图形例3 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，∠A = 100°，∠B = 125°，∠C = 80°，∠D = 55°，AB = 3 cm，EH = 4 cm.(1)试写出 EF，AD 的长度；解：∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，典例精析∴ EF = AB = 3 cm， AD = EH = 4 cm.例3 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，∠A = 100°，∠B = 125°，∠C = 80°，∠D = 55°，AB = 3 cm，EH = 4 cm.(2)求∠G 的度数；(3)连接 BF，线段 BF 与直线 MN 有什么关系?解：(2) ∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 MN 对称，∴∠G =∠C = 80°.(3)∵ 对称轴垂直平分对称点的连线，∴ 直线 MN 垂直平分 BF.一、选择题1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(　B　)B当堂检测1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )CA. B. C. D. 返回2. 左边图形与右边图形成轴对称的是( )DA. B. C. D. 3. [2024临沂期中] 下列图形中，对称轴的数量最多的是( )BA. B. C. D. 返回（第4题） BA. 14 B. 13 C. 12 D. 11 返回 D（第5题）  返回 书 返回    4 5  返回 （1）指出两个三角形中的对称点. （2）指出图中相等的线段和角. （3）图中还有对称的三角形吗？    返回9. 小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00的是( )BA. B. C. D. 返回（第10题） DA. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个轴对称如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作对称轴定义区别轴对称图形：具有特殊形状的一个图形成轴对称：有着特殊位置关系的两个全等图形性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086