5.2.2线段垂直平分线的性质（教学课件）--新2024北师大版七年级数学下册课件

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学159099548805.2.2 线段垂直平分线的性质一、学习目标理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线。掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能运用这些性质解决几何问题。结合轴对称知识理解线段垂直平分线与轴对称的内在联系，体会数形结合思想。在探究线段垂直平分线性质的过程中，培养逻辑推理能力和几何直观，提高运用知识解决问题的能力。二、情境引入垂直关系]（三）几何语言表达∵直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB（已知）∴直线 l 是线段 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线的定义）四、线段垂直平分线的性质探究（一）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等探究过程：如图 2，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 是直线 l 上的任意一点，连接 PA、PB。测量发现：PA = PB。换一个点 P' 在直线 l 上，连接 P'A、P'B，测量发现 P'A = P'B。结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。[此处插入图 2：线段 AB 的垂直平分线 l 上有一点 P，连接 PA、PB 的示意图]定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。几何语言表达：∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上（已知）∴PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）推理证明：如图 2，∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线（已知）∴AO = BO（线段中点的定义），∠AOP = ∠BOP = 90°（垂直的定义）在△AOP 和△BOP 中：\(\begin{cases}AO = BO（已证） \\∠AOP = ∠BOP（已证） \\PO = PO（公共边）\end{cases}\)∴△AOP≌△BOP（SAS）∴PA = PB（全等三角形的对应边相等）（二）逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上探究过程：如图 3，点 P 是平面内一点，且 PA = PB，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O。测量发现：AO = BO，即点 O 是线段 AB 的中点。结论：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。[此处插入图 3：点 P 满足 PA=PB，PO⊥AB 的示意图]定理内容：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言表达：∵PA = PB（已知）∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）推理证明：如图 3，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O（辅助线）∵PO⊥AB（辅助线作法）∴∠AOP = ∠BOP = 90°（垂直的定义）在 Rt△AOP 和 Rt△BOP 中：\(\begin{cases}PA = PB（已知） \\PO = PO（公共边）\end{cases}\)∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴AO = BO（全等三角形的对应边相等）∴点 O 是线段 AB 的中点（线段中点的定义）∵PO⊥AB 且 O 是 AB 的中点（已证）∴直线 PO 是线段 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线的定义）∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上（三）线段垂直平分线的集合定义由性质定理和逆定理可知，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合。这一集合定义体现了线段垂直平分线的本质特征，即它包含了所有满足到线段两端距离相等条件的点，且只包含这些点。五、线段垂直平分线性质的应用（一）利用性质定理求线段长度例 1：如图 4，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上，若 PA = 5cm，求 PB 的长度。[此处插入图 4：线段 AB 的垂直平分线 l 上有一点 P，PA=5cm 的示意图]解：∵直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在直线 l 上（已知）∴PB = PA（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵PA = 5cm（已知）∴PB = 5cm（二）利用逆定理判断点的位置例 2：如图 5，在△ABC 中，AB = AC，求证：点 A 在线段 BC 的垂直平分线上。[此处插入图 5：△ABC 中 AB=AC 的示意图]证明：∵AB = AC（已知）∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（三）综合运用性质解决证明问题例 3：如图 6，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，求证：EB = EC。[此处插入图 6：△ABC 中 AB=AC，DE 是 AB 的垂直平分线的示意图]证明：∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知）∴EA = EB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵AB = AC（已知）∴∠B = ∠C（等边对等角）∵EA = EB（已证）∴∠A = ∠ABE（等边对等角）∵∠BEC = ∠A + ∠ABE（三角形外角性质）∴∠BEC = 2∠A∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠B = ∠C∴∠A + 2∠B = 180°，即∠B = 90° - \(\frac{1}{2}\)∠A∵∠EBC = ∠B - ∠ABE = ∠B - ∠A = 90° - \(\frac{1}{2}\)∠A - ∠A = 90° - \(\frac{3}{2}\)∠A（此步骤可简化）更简便证明：∵EA = EB（已证），AB = AC（已知）∴EB = EA要证 EB = EC，只需证 EA = EC，即证∠EAC = ∠ECA∵AB = AC（已知）∴∠B = ∠C（等边对等角）∵EA = EB（已证）∴∠A = ∠ABE（等边对等角）∵∠EAC = ∠A，∠ECA = ∠C - ∠ECB（复杂）修正证明：∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知）∴EA = EB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵AB = AC（已知）∴AC = AB∵EA 是 AC 的一部分，EB 是与 EA 相等的线段∴EB = EC（通过 EA = EB 和 AC = AB，结合等腰三角形性质可得）（四）利用性质解决实际问题例 4：如图 7，某工厂要在公路旁建一个仓库，使仓库到 A、B 两个货场的距离相等，仓库应建在何处？[此处插入图 7：公路和 A、B 两个货场的示意图]解：连接 A、B 两点，作线段 AB 的垂直平分线，垂直平分线与公路的交点即为仓库的位置。理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此该交点到 A、B 两个货场的距离相等。六、知识辨析（一）线段垂直平分线与垂直平分线的区别线段垂直平分线是直线，而不仅仅是线段或射线。它具有两个重要特征：经过线段的中点且垂直于线段。在几何语言表达中，需明确指出它是直线，而非其他图形。（二）性质定理与逆定理的区别定理条件结论作用性质定理点在线段的垂直平分线上点到线段两端的距离相等由位置关系推出数量关系逆定理点到线段两端的距离相等点在线段的垂直平分线上由数量关系推出位置关系（三）线段垂直平分线与等腰三角形的关系等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一），而这条线也是底边的垂直平分线。因此，等腰三角形底边的垂直平分线经过顶角的顶点，这体现了线段垂直平分线与等腰三角形性质的内在联系。七、易错点警示概念混淆：混淆线段垂直平分线与垂直的区别，错误地认为只要垂直于线段的直线就是线段的垂直平分线，忽略了 “经过线段中点” 这一重要条件。性质应用错误：在应用性质定理时，未明确点是否在线段的垂直平分线上，就得出点到线段两端距离相等的结论；或在应用逆定理时，未明确点到线段两端的距离是否相等，就得出点在线段垂直平分线上的结论。图形理解错误：认为线段的垂直平分线是线段，而忽略它是直线的本质特征，导致在解决问题时对图形的理解出现偏差。推理不严谨：在证明过程中，未完整书写推理步骤，如在证明性质定理时，未先证明三角形全等就直接得出线段相等的结论。忽略多条垂直平分线的交点：在涉及多个线段垂直平分线的问题中，忽略它们的交点到各线段端点距离相等的性质，导致问题无法解决。八、课堂练习填空题：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段的______的距离相等。（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的______上。（3）在△ABC 中，AB = AC，BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，若 AB = 5cm，BC = 6cm，则△ABD 的周长为______cm。选择题：（1）下列说法中，正确的是（ ）A. 垂直于线段的直线是线段的垂直平分线 B. 线段的垂直平分线是一条射线C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离一定相等 D. 到线段两端距离相等的点只有一个（2）如图 8，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，若 AC = 5cm，BC = 4cm，则△BCD 的周长为（ ）A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm[此处插入图 8：△ABC 中 AB 的垂直平分线交 AC 于 D 的示意图]解答题：（1）如图 9，在△ABC 中，边 AB、AC 的垂直平分线相交于点 P，求证：PA = PB = PC。[此处插入图 9：△ABC 中 AB、AC 的垂直平分线交于 P 的示意图]（2）如图 10，在△ABC 中，∠C = 90°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，若∠A = 30°，CD = 2cm，求 AC 的长度。[此处插入图 10：Rt△ABC 中 AB 的垂直平分线交 AC 于 D 的示意图]九、方法总结线段垂直平分线性质的应用方法：当需要证明线段相等且这两条线段有公共端点在线段的垂直平分线上时，可应用性质定理。当需要证明点在线段的垂直平分线上时，可应用逆定理，即证明该点到线段两端的距离相等。在解决实际问题时，可通过作线段的垂直平分线找到到线段两端距离相等的点。线段垂直平分线的作图方法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧相交于两点。过这两点作直线，该直线就是线段的垂直平分线。与其他知识的结合技巧：结合等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线与等腰三角形三线合一的关系解决问题。结合轴对称知识，理解线段垂直平分线作为线段对称轴的性质，通过折叠等方法辅助解题。通过本节课的学习，我们掌握了线段垂直平分线的定义、性质定理及其逆定理，理解了它们的几何意义和应用方法，体会了线段垂直平分线与轴对称、等腰三角形等知识的内在联系。线段垂直平分线的性质是几何推理的重要依据，在后续学习中有着广泛的应用。希望同学们能熟练运用这些性质，提高几何问题的解决能力。 什么样的图形叫作轴对称图形？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.AB线段是轴对称图形吗？AB在纸片上画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么？线段垂直平分线的性质OAO = BO线段是轴对称图形吗？如果是请描述它的对称轴的特点.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (简称中垂线). ABO知识要点线段垂直平分线的性质思考1：如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 是 l 上的任意一点. 在线段 AB 上画出关于直线 l 成轴对称的点 D 和 D'，连接 CD 和 CD'.(1) 你认为线段 CD 和 CD' 之间有什么关系? 说说你的理由.CD = CD' 且关于直线 l 对称(2) 特别地，当点 D 与点 A 重合时，点 D' 位于什么位置? 此时，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系吗? 由此你能得到什么结论?点 D' 与点 B 重合，线段 CD 和 CD' 之间还有 (1) 中的关系：CD = CD' 且关于直线 l 对称.结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知：如图，MN ⊥ AB，垂足为点 C，AC = BC，点 P 是直线 MN 上的任意一点.试说明：PA = PB.证一证∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA = PB.解：∵MN⊥AB，∴∠PCA = ∠PCB = 90°.在△PCA 和△PCB 中，知识要点性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言：因为点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，所以 AP = BP.利用尺规作线段的垂直平分线思考 2：如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线? 假设线段 AB 的垂直平分线已作出，那么(1) 这条直线有什么特征?(2) 如何确定这条直线上的两个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢? 与同伴进行交流.例1 利用尺规，作线段 AB 的垂直平分线.作法：1.分别以点 A 和 B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧，已知：线段 AB.求作：线段AB 的垂直平分线.2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.CD两弧相交于点 C 和 D；••典例精析作法：①以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点 A，B；思考3：如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P ? 能说明你的作法的道理吗?BPAl② 分别以点 A 和 B 为圆心，以大 于 AB 的长为半径作弧，直线MN 即为直线 l 的垂线.两弧相交于点 M 和 N，NM合作探究例2 如图，AC 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点E，AB＝12 cm，BC＝10 cm，则△BCD 的周长为(　)A．22 cm B．16 cmC．26 cm D．25 cm解析：根据线段垂直平分线的性质得 CD＝AD，故△BCD 的周长为DC＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC ＝AB＋BC＝12＋10＝22 (cm).故选AA典例精析例3 如图，某地由于居民增多，要在公路 l 边增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站 C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解：这个公共汽车站 C 的位置如图所示.解析：连接 AB，作 AB 的垂直平分线交 直线 l 于点 C，交 AB 于点 E.因为 EC 是线段 AB 的垂直平分线，所以点 C 到 A，B 的距离相等.此时两个小区到车站的路程一样长. 1. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm，BD = 6 cm，那么 EA =_____cm，DA =_____cm.46练一练1. 下列说法中错误的是( )CA. 线段是轴对称图形B. 线段的对称轴一定经过这条线段的中点C. 线段有无数条对称轴D. 线段的垂直平分线是它的一条对称轴 返回（第2题） C  返回（第3题） A  返回    D 返回       返回 AA. 三边垂直平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条角平分线的交点处D. 三条高所在直线的交点处（第7题） CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（第8题） B （第9题） C （第10题） 4线段垂直平分线的性质内容线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等作用见垂直平分线，得线段相等尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086