3.1.3整式（教学课件）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

情境引入在前面的学习中，我们接触了很多代数式，比如：10x、a + b、x² + 2xy + y²、3m - 3n + 2mn、1 + x + x² + x³ 等。这些代数式的构成有什么特点呢？今天我们就来对代数式进行分类研究，学习整式的相关知识。单项式的概念观察下列代数式：10x、25、a、-3ab、(1/2) x²y。它们有什么共同特点？这些代数式都是由数与字母的乘积组成的。像这样，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。注意：单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：5、a 都是单项式。单项式中不能含有加、减运算，也不能含有除号（数字与数字相除除外）。单项式的系数和次数系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：10x 的系数是 10；-3ab 的系数是 - 3；(1/2) x²y 的系数是 1/2；单独的一个数 5 的系数是 5。注意：系数包括前面的符号。次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：10x 中 x 的指数是 1，所以 10x 的次数是 1；-3ab 中 a 的指数是 1，b 的指数是 1，所以 - 3ab 的次数是 1 + 1 = 2；(1/2) x²y 中 x 的指数是 2，y 的指数是 1，所以 (1/2) x²y 的次数是 2 + 1 = 3。多项式的概念观察下列代数式：a + b、x² + 2xy + y²、3m - 3n + 2mn、1 + x + x² + x³。它们有什么共同特点？这些代数式都是由几个单项式相加组成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。例如：在多项式 x² + 2xy + y² 中，x²、2xy、y² 是它的项，没有常数项；在多项式 3m - 3n + 2mn + 5 中，3m、-3n、2mn、5 是它的项，其中 5 是常数项。多项式的次数和项数次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项式 x² + 2xy + y² 中，各项的次数都是 2，所以这个多项式的次数是 2；在多项式 3m³ - 3n + 2mn 中，3m³ 的次数是 3，-3n 的次数是 1，2mn 的次数是 2，次数最高的项是 3m³，所以这个多项式的次数是 3。项数：多项式中所含单项式的个数叫做多项式的项数。例如：多项式 a + b 有 2 项，是二项式；多项式 x² + 2xy + y² 有 3 项，是三项式。整式的概念单项式和多项式统称为整式。也就是说，整式包括单项式和多项式。判断一个代数式是否为整式，关键看它是否为单项式或多项式。例如：10x（单项式）、a + b（多项式）都是整式；而 1/x、(x + 1)/y 不是整式，因为它们的分母中含有字母。例题讲解例 1：指出下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式。(1)-5(2) a(3) 3x + 2y(4) x² - 2x + 1(5) 1/x(6)(2a - b)/3解：单项式有 (1)(2)；多项式有 (3)(4)(6)；整式有 (1)(2)(3)(4)(6)。解析：(5) 的分母中含有字母，不是整式；(6) 可以变形为 (2/3) a - (1/3) b，是两个单项式的和，所以是多项式，也是整式。例 2：指出下列单项式的系数和次数。(1)-4x²y(2)(3/5) ab³(3)-7解：(1) 系数是 - 4，次数是 2 + 1 = 3；(2) 系数是 3/5，次数是 1 + 3 = 4；(3) 系数是 - 7，次数是 0（单独的一个非零数的次数是 0）。例 3：指出多项式 3x³ - 2x²y + xy² - 5y³ 的项数、次数以及最高次项的系数。解：这个多项式有 4 项，分别是 3x³、-2x²y、xy²、-5y³；各项的次数依次是 3、3、3、3，所以这个多项式的次数是 3；最高次项是 3x³、-2x²y、xy²、-5y³，它们的系数分别是 3、-2、1、-5。课堂练习下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？(1) 2πr(2) x + y/3(3)-a²b(4) x² + 2x - 1(5) 1/(x + y)(6) 0分别指出下列单项式的系数和次数。(1) 5a(2)-3x²y³(3)(1/2) mn(4)-8已知多项式 2x⁴ - 3x³ + ax² + 7x + b 能被 x² + x - 2 整除，求 a、b 的值。（提示：先将 x² + x - 2 因式分解，再根据整除的性质求解）一个关于 x 的二次三项式，二次项系数是 1，一次项系数是 - 2，常数项是 3，这个多项式是多少？已知单项式 - 5x³yⁿ与 5xᵐy⁴是同类项（关于同类项的概念将在后续学习），求 m + n 的值。易错点强调单项式的系数包括前面的符号，不要忽略符号。单独的一个非零数的次数是 0，而不是 1。多项式的次数是次数最高的项的次数，不是所有项的次数之和。判断一个代数式是否为整式，要看它是否为单项式或多项式，分母中含有字母的代数式不是整式。课堂小结什么是单项式？什么是多项式？什么是整式？由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式。单项式的系数和次数分别指什么？单项式中的数字因数叫做系数；所有字母的指数的和叫做次数。多项式的项数、次数分别指什么？多项式中所含单项式的个数叫做项数；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。拓展思考多项式的次数与单项式的次数在定义上有什么联系和区别？2024北师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 经历观察、分析、交流，概括出单项式、多项式、整式的概念，发展有条理的思考能力及语言表达能力。2. 通过交流研讨活动，培养学生主动与他人合作的意识。重点：掌握整式及多项式的有关概念。难点：准确判断多项式的次数。 一个组合柜如图 1 所示，内部用隔板纵向分隔成 5 个独立的小柜子 (如图 2 )，柜门由 5 个完全相同的长方形组成。(1) 若要在 5 个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少?图1图25a + 5a + 6b(2) 若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少(边框缝隙忽略不计) ?(3) 设柜子的进深为 c (如图)， 则整个柜子的容积是多少 (柜门、隔板及背板的厚度忽略不计) ?图1图25ab5abc都是数与字母的_________。问题1：这些代数式有什么共同点？ 5 ab 5 abc= 8×ab 乘积 = 5×abc πr2= π×r2 6 p= 6×p 由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。为什么？单独一个数或一个字母也是单项式。0.8p mn a2h -nv + 2.5v - 2.53x + 5y + 2zx2 + 2x + 18100t单项式？探究：这些式子可以怎么分类？分别填入下面的框中。v + 2.5v - 2.53x + 5y + 2zx2 + 2x + 18问题2：这些式子有什么特点？v 2.5v - 2.53x 5y2zx2 2x 18v + (-2.5)和 单项式多项式整式单项式有： ；多项式有： ；整式有： 。①②③⑤①②③⑤等式 问题3：单项式中的数字和字母各有何意义呢?a26系数次数系数定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数；所有字母的指数的和叫作单项式的次数。二次次数 对于单独一个非零的数，规定它的次数为 0。填表：13-1153π32π1当单项式系数为 1 或 -1 时，“1”通常省略不写.常数项1.每个单项式叫作多项式的项。次数：2.不含字母的项叫作常数项。4.次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数。一次二项式名称：项数：12一次项3.每一项次数是几就叫作几次项。 (最高次项)5.多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号。v - 2.5v - 2.5想一想：你能完成下面的表格吗？ 2a， 2b无1一次二项式－22二次二项式2a，－12b无1一次二项式无2二次二项式18a2 ，4ab 2a＋2bm2－22a－12b18a2＋4abm2， －2例2 若多项式 x|a|+1y3 - (a - 1)x + x2 是五次三项式，求 a 的值。解：由题意，得 |a| + 1 + 3 = 5，a - 1≠0，解得 a = ±1，a≠1，所以 a = -1。分析：项的次数依次为 |a| + 1 + 3，1，2；五次 →|a| + 1 + 3 = 5；三项 → 三项前的系数不为 0 →a - 1≠0.2. (x + 3) ayb + ab2 - 5 是关于 a、b 的四次三项式，最高次项的系数为 2，则 x = ，y = 。y + 1 = 4x + 3 = 2-131. 关于 x、y 的多项式 -3kxy + 3y - 8x + 1 (k 为常数)不含二次项，则 k = 。-3k = 00 请列出下列问题中的代数式，并指出其中：① 哪些是单项式? 单项式的系数和次数分别是多少?② 哪些是多项式? 多项式的次数是多少?(1) 如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少?ab - 4c2多项式，次数是 2 次。(3) 如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 a，b，c。这个箱子露在外面的表面积是多少？ab + ac + bc多项式，次数是 2 次。(4) 某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高 15% 标价，后又以八折 (即按标价的 80% ) 销售，这件商品的售价为多少元？0.8(1 + 15%)a 元多项式，次数是 1 次。1.用代数式表示：（1）f 的11倍再加上2可以表示为_______;（2）一个数a的 与这个数的和可以表示为_______；11f+2习题3.1（5）某班共有x个学生，其中女生人数占45%，那么男生人数是 。1.用代数式表示：（3）一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有_____扇门和_____扇窗户;（4）产量由mkg增长15％后，达到____________ kg．4n2n(m+15%m)（1-45%）x 2.人体血液的质量占人体体重的7%~8%。(1)如果某人体重是akg，那么他的血液质量大约在什么范围内?(2)小亮体重是35kg，他的血液质量大约在什么范围内?(3)估计你自己的血液质量。解：(1)这个人的血液质量大约在6%akg到7.5%a kg之间.(2)亮亮的血液质量大约在2.1 kg 到2.625 kg 之间.(3)略. .3. 物体由静止自由下落的高度h(单位: m)和下落时间t(单位: s)之间的关系，在地球上大约是h=4.9t2，在月球上大约是h=0.8t。(1)填写下表。019.678.4176.4313.649003.212.828.851.280(2)物体在地球，上下落得较快还是在月球上下落得较快?(3)当h=20m时，比较物体在地球.上和在月球上自由下落所需的时间。(2)地球.(3)当h=20 m时，物体在地球上自由下落所需的时间约为2s,物体在月球上自由下落所需的时间约为5s.4.声音在干燥空气中传播的速度随着温度的变化而变化，当温度为 t ℃ 时，声音的传播速度(单位: m/s)大约是331+0.6t，求温度分别为 2 ℃和 30 ℃时声音的传播速度。解：当t=2 9℃时，331 +0.6t= 331 +0.6×2= 332.2( m/s).当t=30 ℃时，331 +0.6t= 331+30×2=391( m/s).所以温度分别为2 C和30 C时声音的传播速度分别是332.2 m/s,391 m/s.5.如右图：（1）标出未注明的边的长度；（2）阴影部分的周长是_________;（3）阴影部分的面积是___________;（4）当x=5.5，y=4时，阴影部分的周长是______,面积是______.解：（1）如图所示.（4x+6y）4677（4xy-0.5xy）6.某物体由静止竖直向上运动，物体的高度h(单位: m)与运动时间t(单位:s)之间的关系可以用公式h=-5t2+ 150t+ 10表示，求运动时间分别为10s，15s, 20s时该物体的高度。答：运动时间分别为 10 s，15 s，20 s 时该物体的高度分别1010m，1135m，1010m.解：图中运算过程是（x2+y3）÷2.7.下图是一个“数值转换机”的示意图，写出运算过程并填写下表.1-0.06252.0625解：单项式：7h，次数为1；多项式：xy³+1，2ab+6， x－by³，次数分别是4，2，4.8.下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ 7h，xy3+1，2ab+6， x−by3．解：（1）3项，第一项系数为 ，次数为1；第二项系数为－1，次数为3；第三项系数为2π，次数为0. （2）3项，第一项系数为1，次数为3；第二项系数为－2，次数为4；第三项系数为3，次数为2.9.下列多项式分别有几项？每项的系数和次数分别是多少？（1）− x−x2y+2π； （2）x3-2x2y2+3y2.10. (1)小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，并写出1 +3n的结果，请解释他的想法。解：(1)由图形摆放规律知第1个图形有棋子4枚,即4=1+3,且每增加1个图形,棋子枚数增加3,故第n个图形棋子的枚数为1+3n。(2)与本节“用小棒拼摆正方形”活动中得到的结果相比较，你在(1)中有什么发现?(3)用99枚棋子能恰好摆出符合(1)中规律的图形吗?用100枚呢?(2)提示:可借助字母表示“四点”图形个数与棋子枚数之间的关系。(3)用99枚棋子不能拼摆出符合(1)中规律的图形, 100枚可以恰好拼摆出。11.下列代数式可以表示什么？（1）2x （2） （3）8a3解：(1) 1斤梨x元，买2斤梨所花的费用 (2) a，b的和的一半 (3) 棱长为a的正方体体积的8倍解：（1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值都逐渐减小.12. 填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。-3-11-19-27-35-43-51-59-1-4-9-16-25-36-49-64（1）随着n值的逐渐变大，-8n+5和-n2这两个代数式的值如何变化？ （2）－n²的值先小于－100.12. 填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。-3-11-19-27-35-43-51-59-1-4-9-16-25-36-49-64（2）估计一下，哪个代数式的值先小于－100？13.用火柴棒按下面的方式搭图形：(1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒?解：第n个图形需要[7+5（n－1）]根，即（5n+2）根火柴棒.(2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆,第n个图形所需小棒的根数为 3+2(n-1 )。请你画图表示小颖的拼摆方式。(3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决。(3)拼摆方式如图(2)所示。问题：摆放第8个图形需要多少根小棒?解答：8×8+3 = 67(答案不唯一)。解：（1）设蟋蟀1min叫的次数为x，则温度可以表示为（ ）℃;14.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系:用蟋蟀1 min叫的次数加30，再把结果除以7,就近似地得到该地当时的气温(单位: ℃)。（1）用代数式表示当时的温度；（2）当x=80时，温度约为16℃；当x=100时，温度约为19℃;当x为120时，温度约为21℃.14.在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系:用蟋蟀1 min叫的次数加30，再把结果除以7,就近似地得到该地当时的气温(单位: ℃)。（2）当蟋蟀1min叫的次数分别是80,100和120时，该地当时的温度是多少？解：（1）小刚成年后的身高=(a+b)÷2×1.08=(1.72+1.65)÷2×1.08≈1.82（m）. （2）把自己父母的身高代入公式，预测自己的身高.15.遗传是影响一个人身高的因素之一.国外有学者总结出用父母身高预测子女身高的经验公式：儿子成年后的身高= ×1.08，女儿成年后的身高= ，其中a为父亲身高，b为母亲身高，单位：m.（1）七年级男生小刚的爸爸身高为1.72m，妈妈身高为1.65m，根据这个公式预测小刚成年后的身高；（2）根据这个公式，预测一下自己成年后的身高.16.骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损。如何确定合适的车座高度呢?有一种雷蒙德( Lemond)测量方法:双腿站立，两脚(不穿鞋)间距约15cm,测量裆部离地面的高度h(单位:cm),得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l(如图，单位: cm),此时的车座高度是骑行最合适的高度。根据雷蒙德测量方法解决下列问题:(1)用代数式表示 l 与 h 之间的关系。(1)根据题意和雷蒙德测量方法可得:l = 0.883h;(2)当h=84cm时, l为多少厘米?(3)请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度,检验雷蒙德测量方法是否适合自己。(2)当h = 84cm时，l= 0.883×84 = 74.172 (cm);(3)自测h = 90cm,调整自己山地自行车的车座高度l = 0.883×90= 79.47 (cm),经过测试，雷蒙德测量方法适合自己.17.如图(1)(2)，某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形（图中阴影表示可折叠部分）.已知折叠前圆形桌面的直径为am，折叠成正方形后其边长为bm，如果一块正方形桌布的边长为am，并按图(3)所示把它铺在折叠前的圆形桌面上，那么桌布垂下部分的面积是多少？如果按图(4)所示把这块桌布铺在折叠后的正方形桌面上呢？解：铺在折叠前的圆形桌面上，桌布垂下部分的面积是（a²－ πa²）m²；铺在折叠后的正方形桌面上，桌布垂下部分的面积是（a²－b²）m².解：当a=－1，－0.5，1.5，2时，a²－a是正数； 当a=0.5时，a²－a是负数. 当|a|>2时，a²－a是正数.*18.当a=－1，－0.5，0，0.5，1，1.5，2时，a²－a是正数还是负数？当|a|＞2时，a²－a是正数还是负数？几个单项式的 叫作多项式整式单项式多项式多项式中每个单项式叫作___ 相关概念和常数项概念项多项式中，不含字母的项叫作 多项式中，次数 项的次数，叫作这个多项式的____ 最高次数必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！