8.2.1多边形的内角和 课件-2025-2026学年2024华东师大版数学七年级下册

以下是 2024 华东师大版数学七年级下册 8.2.1 多边形的内角和教学课件的部分幻灯片分页内容示例：幻灯片 1：标题页标题：8.2.1 多边形的内角和学科：数学年级：七年级下册版本：华东师大版（2024）承接内容：上一章我们系统学习了三角形的性质，包括三边关系、内角和与外角和。在生活中，我们还会遇到更多边的封闭图形，比如教室的黑板是四边形、蜂巢的截面是六边形。这些由多条线段围成的图形叫做 “多边形”，本节课将从三角形内角和出发，探究多边形内角和的计算规律，推导通用公式并解决实际问题。幻灯片 2：教学目标理解多边形、正多边形的定义，能区分凸多边形与凹多边形（初中阶段主要研究凸多边形）。经历 “四边形→五边形→n 边形” 的探究过程，通过 “分割法” 推导多边形内角和公式：\((n - 2)×180°\)（\(n\)为边数，\(n ≥ 3\)）。能熟练运用多边形内角和公式计算任意多边形的内角和，或已知内角和求边数、求正多边形的每个内角度数。体会 “转化思想”（将多边形转化为三角形）和 “从特殊到一般” 的数学思维，提升逻辑推理与公式应用能力。幻灯片 3：概念引入（认识多边形）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形。关键词解析：①“平面内”（区别于空间多边形）；②“线段首尾顺次相接”（不重合、不交叉）；③“封闭图形”（有起点和终点，形成闭环）。相关概念：边：组成多边形的线段叫做多边形的边（如四边形有 4 条边）。顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点（如五边形有 5 个顶点）。内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角（简称 “角”，如六边形有 6 个内角）。正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正六边形）。凸多边形与凹多边形：凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧（初中阶段默认研究凸多边形）；凹多边形：画出多边形的某一条边所在的直线，多边形的一部分在直线两侧（简单了解，不深入探究）。判断练习：下列图形中，属于凸多边形的是（ ）（给出正方形、正五边形、凹四边形选项，答案：正方形、正五边形）。幻灯片 4：多边形内角和的探究（从特殊到一般）一、回顾基础：三角形内角和三角形（\(n = 3\)）：内角和为\(180°\)，可表示为\((3 - 2)×180° = 180°\)。二、探究 1：四边形内角和方法：分割法（转化为三角形）：连接四边形的一条对角线（如连接四边形 ABCD 的对角线 AC），将四边形分成 2 个三角形（△ABC 和△ADC）；每个三角形内角和为\(180°\)，故四边形内角和 = 2 个三角形内角和之和 = \(2×180° = 360°\)；验证：用剪拼法将四边形四个内角拼在一起，可组成一个周角（\(360°\)），与计算结果一致。结论：四边形（\(n = 4\)）内角和为\(360° = (4 - 2)×180°\)。三、探究 2：五边形内角和方法：分割法：从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可画出 2 条对角线，将五边形分成 3 个三角形；五边形内角和 = 3 个三角形内角和之和 = \(3×180° = 540°\)；结论：五边形（\(n = 5\)）内角和为\(540° = (5 - 2)×180°\)。四、规律总结：n 边形内角和分割规律：从 n 边形的一个顶点出发，可画出\((n - 3)\)条对角线，将 n 边形分成\((n - 2)\)个三角形（因每个顶点不能与相邻顶点及自身连线，故对角线数为\(n - 3\)，三角形数比对角线数多 1）。公式推导：n 边形内角和 = \((n - 2)\)个三角形内角和之和 = \((n - 2)×180°\)（\(n\)为正整数，且\(n ≥ 3\)）。验证：当\(n = 6\)（六边形）：内角和 = \((6 - 2)×180° = 720°\)（分割为 4 个三角形，\(4×180° = 720°\)，正确）；当\(n = 3\)（三角形）：内角和 = \((3 - 2)×180° = 180°\)（符合已知，正确）。幻灯片 5：多边形内角和公式的基础应用（例题解析）例 1：求多边形的内角和问题：求八边形的内角和度数。解析：已知\(n = 8\)，代入公式：八边形内角和 = \((8 - 2)×180° = 6×180° = 1080°\)。结论：八边形的内角和为\(1080°\)。例 2：已知内角和求边数问题：一个多边形的内角和为\(1440°\)，求这个多边形的边数。解析：设多边形边数为\(n\)，根据公式列方程：\((n - 2)×180° = 1440°\)；解方程：\(n - 2 = 1440°÷180° = 8\)→\(n = 10\)。结论：这个多边形是十边形（边数为 10）。例 3：求正多边形的每个内角度数问题：求正六边形的每个内角的度数。解析：方法一（先求内角和，再平均分）：正六边形内角和 = \((6 - 2)×180° = 720°\)；正六边形 6 个内角相等，故每个内角度数 = \(720°÷6 = 120°\)。方法二（直接用正多边形内角公式）：正 n 边形每个内角度数 = \(\frac{(n - 2)×180°}{n}\)，代入\(n = 6\)，得\(\frac{720°}{6} = 120°\)。结论：正六边形的每个内角为\(120°\)。幻灯片 6：多边形内角和公式的综合应用（复杂例题）例 4：含未知内角的多边形计算问题：在一个五边形中，已知四个内角的度数分别为\(100°\)、\(110°\)、\(120°\)、\(130°\)，求第五个内角的度数。解析：1. 先求五边形内角和：\((5 - 2)×180° = 540°\)；2. 设第五个内角为\(x\)，则\(100° + 110° + 120° + 130° + x = 540°\)；3. 计算：\(460° + x = 540°\)→\(x = 80°\)。结论：第五个内角的度数为\(80°\)。例 5：多边形与三角形的结合问题问题：如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = 90°，∠C = 60°，DE 平分∠ADC，交 BC 于点 E，求∠ADE 的度数。解析：1. 先求四边形 ABCD 的内角和：\((4 - 2)×180° = 360°\)；2. 已知∠A = ∠B = 90°，∠C = 60°，求∠ADC：\(∠ADC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°\)；3. DE 平分∠ADC，故∠ADE = \(\frac{1}{2}∠ADC = \frac{1}{2}×120° = 60°\)。结论：∠ADE 的度数为\(60°\)。幻灯片 7：常见错误分析与解题技巧常见错误错误示例（求正五边形内角和）错误原因解题技巧公式记错错误使用公式：\(n×180°\)，得正五边形内角和\(5×180° = 900°\)（正确应为\((5 - 2)×180° = 540°\)）未记住 “\(n - 2\)” 的核心系数，混淆 “多边形内角和” 与 “多个三角形内角和” 的关系牢记推导过程：从 n 边形一个顶点分三角形，得\(n - 2\)个三角形，故公式为\((n - 2)×180°\)；用特殊值验证（如 n=3 时，\((3 - 2)×180° = 180°\)，符合三角形内角和）正多边形内角计算错误求正四边形（正方形）内角，错误得\(360°÷3 = 120°\)（正确应为\(360°÷4 = 90°\)）混淆 “边数” 与 “三角形个数”，误将\(n - 2\)当作边数正多边形每个内角 = 内角和 ÷ 边数（n），而非 ÷（n - 2）；计算前先明确 “内角和” 和 “边数” 两个关键量已知内角和求边数时解方程错误方程\((n - 2)×180° = 720°\)，错误解得\(n = 720°÷180° = 4\)（漏加 2，正确 n=6）解方程步骤不完整，只计算除法，忘记 “n - 2 = 结果” 后需加 2 求 n解方程分两步：①先算\(n - 2 = 内角和÷180°\)；②再算\(n = （内角和÷180°） + 2\)，避免漏步忽略 “凸多边形” 限制计算凹多边形内角和时，直接套用公式，未注意凹多边形内角可能大于 180°（初中阶段默认凸多边形，内角均小于 180°）未明确题目研究范围，混淆凸、凹多边形的内角特点题目未说明时，默认是凸多边形，内角和公式\((n - 2)×180°\)适用；若遇凹多边形，需特殊说明，暂不深入幻灯片 8：巩固练习（分层设计）基础题（必做）：求下列多边形的内角和：(1) 七边形 (2) 十二边形一个多边形的内角和为\(2340°\)，求这个多边形的边数。求正八边形的每个内角的度数。在一个四边形中，三个内角分别为\(80°\)、\(95°\)、\(105°\)，求第四个内角的度数。提升题（选做）：一个正多边形的每个内角为\(135°\)，求这个多边形的边数（提示：先列方程\(\frac{(n - 2)×180°}{n} = 135°\)，解得 n=8）。如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，求∠FAB 的度数（提示：先求正六边形内角和，得每个内角 120°，再结合平行线或三角形知识推导，答案：60°）。幻灯片 9：课堂小结知识梳理：核心概念：多边形（凸多边形）、正多边形（边等、角等）；关键公式：n 边形内角和 = \((n - 2)×180°\)（\(n ≥ 3\)）；正 n 边形每个内角 = \(\frac{(n - 2)×180°}{n}\)；推导方法：分割法（将多边形转化为三角形，体现转化思想）；应用场景：求内角和、求边数、求正多边形内角度数、求多边形未知内角度数。思想方法：转化思想：将未知的多边形问题转化为已知的三角形问题；从特殊到一般：通过四边形、五边形的探究，归纳出 n 边形的通用规律；方程思想：已知内角和求边数、已知正多边形内角度数求边数时，用方程求解更规范。知识关联：多边形内角和是三角形内角和的拓展，后续学习多边形外角和、平行四边形性质时，将继续用到本节课的公式与思想。幻灯片 10：作业布置教材第 XX 页练习题 1、2、3 题（基础巩固，掌握公式应用与基础计算）。教材第 XX 页习题 8.2 第 1 题（1）（2）、第 3 题（能力提升，含综合应用与正多边形问题）。实践任务：观察生活中的多边形物体（如蜂巢、足球表面的正五边形 / 正六边形），记录 3 个实例，计算它们的内角和或每个内角度数。思考：多边形除了内角和，是否也有外角和？任意多边形的外角和是否为固定值？（为下节 “多边形的外角和” 铺垫）华东师大版（2024）数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握多边形的相关概念.2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.3.运用多边形的内角和计算公式解决问题.生活中的平面图形知识点1 多边形的相关概念 在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形. 在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做四边形. 在平面内，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做n边形，也即我们通常所说的多边形. 在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做五边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.相邻两边组成的角叫作多边形的内角.顶点内角边对角线(连接不相邻两个顶点的线段)多边形的相关元素外角表示：五边形ABCDEACBDE如图1是凸多边形； 图2不是凸多边形.图 2 如果把多边形任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.图 1ACBDACBD注意：由七年级上册3.4节可知，图2也是多边形，但不在我们目前的研究范围内.问题 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？特点：各边相等，各内角都相等的多边形.知识点2 正多边形☀归纳 一般地，如果多边形的各边相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.知识点3 多边形的内角和问题 三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图，四边形ABCD的一条对角线AC 把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和， 即180°×2=360°.试一试 由图中可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么五边形的内角和等于多少呢？六边形、七边形呢？一般地，n边形的内角和等于多少呢？在前面各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线，完成下表.345n-23×180°=540°4×180°=720°5×180°=900° ☀归纳 n边形的内角和为(n-2)· 180°.例1 求八边形的内角和.解：八边形的内角和为 (n-2)· 180°=(8-2)×180°= 1080°.解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）×180°= 2160°， 解得 n = 14. 所以这个多边形的边数为14.例2 已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.1. 在如图所示的图形中，属于多边形的有( )BA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 返回2. 下列说法不正确的是( )D  返回（第3题）3. 正定凌霄塔是全国重点文物保护单位，其造型优美端庄，八角九层，塔高约41米，如图所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为( )D 4. [2024南阳期末] 过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是( )BA. 六B. 七C. 八D. 九 返回（第5题）   返回（第6题）6. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图①），组成了一个完美的六   返回 CA. 5B. 6C. 7D. 8 C  返回 D（第9题）A. 30B. 39C. 40D. 41 返回 DA. 7B. 7或8C. 8或9D. 7或8或9 解此题时，易因考虑不全面而致错. 返回（第11题） D     返回（第12题）   返回多边形的相关概念多边形的内角和内角和计算公式 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！