5.2.4 利用去分母解一元一次方程 课件-2025-2026学年2024华东师大版数学七年级下册

封面标题：5.2.4 利用去分母解一元一次方程学科：数学年级：七年级下册版本：华东师大版（2024）学习目标理解去分母的依据（等式性质 2 与分数基本性质），能准确找出方程中各分母的最小公倍数。熟练掌握利用去分母法求解一元一次方程的完整流程，能独立解决含分母的一元一次方程（包括分母为整数和分数的情况）。能运用去分母法解决含分数关系的实际问题，提升方程应用能力与数学运算的严谨性。新课导入环节 1：复习铺垫回顾关键知识：等式性质 2：等式两边同时乘同一个不为 0 的数，结果仍相等（若\(a = b\)，则\(ac = bc\)，\(c ≠ 0\)）；最小公倍数：如求 4、6 的最小公倍数（12），求 3、5、6 的最小公倍数（30）。快速思考：如何将方程\(\frac{x}{2} = 3\)转化为整数系数方程？（引导学生回答：两边同时乘 2，得\(x = 6\)）环节 2：情境引入展示问题：小明用一根长 60cm 的铁丝围成一个长方形，已知长方形的长与宽的比是\(3:2\)，求长方形的长和宽。引导学生列方程：设长为\(3x\)cm，宽为\(2x\)cm，根据周长公式列方程\(2(3x + 2x) = 60\)（简单方程，快速求解）；若换一种设法：设长为\(x\)cm，宽为\(\frac{2}{3}x\)cm，列方程\(2(x + \frac{2}{3}x) = 60\)。提问：这个方程含有分母\(\frac{2}{3}\)，直接计算较繁琐，如何去掉分母简化方程？今天我们就学习 “利用去分母解一元一次方程”。新知讲解：利用去分母法解一元一次方程的步骤以方程\(\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 3}{3} = 1\)为例，梳理完整解题流程：步骤 1：找最小公倍数 —— 确定方程中所有分母的最小公倍数分析方程：分母分别是 2 和 3，它们的最小公倍数是 6（记为\(LCM(2,3)=6\)）。作用：选择最小公倍数作为乘数，可避免后续系数过大，简化计算。步骤 2：去分母 —— 方程两边同时乘最小公倍数，消去所有分母依据：等式性质 2（两边乘同一个不为 0 的数，等式仍成立）操作：方程两边同时乘 6：\(6×\frac{x - 1}{2} - 6×\frac{2x + 3}{3} = 6×1\)；分别计算每一项：\(6×\frac{x - 1}{2} = 3(x - 1)\)（6÷2=3，保留分子括号）；\(6×\frac{2x + 3}{3} = 2(2x + 3)\)（6÷3=2，保留分子括号）；右边\(6×1 = 6\)；原方程变为：\(3(x - 1) - 2(2x + 3) = 6\)（此时方程无分母，转化为含括号的方程）。易错提醒：①去分母时，方程两边每一项都要乘最小公倍数，不能漏乘常数项（如避免漏乘右边的 “1”，导致错写为\(3(x - 1) - 2(2x + 3) = 1\)）；②分子是多项式时，去分母后要保留括号，避免符号错误（如\(\frac{x - 1}{2}\)乘 6 后是\(3(x - 1)\)，而非\(3x - 1\)）。步骤 3：后续步骤 —— 去括号、移项、合并同类项、系数化为 1操作（承接上一步得到的方程\(3(x - 1) - 2(2x + 3) = 6\)）：去括号：\(3x - 3 - 4x - 6 = 6\)（括号前是负系数，各项变号）；移项：\(3x - 4x = 6 + 3 + 6\)（含未知数项移左，常数项移右，变号）；合并同类项：\(-x = 15\)；系数化为 1：\(x = -15\)。步骤 4：检验 —— 验证解的正确性方法：将\(x = -15\)代入原方程，左边\(\frac{-15 - 1}{2} - \frac{2×(-15) + 3}{3} = \frac{-16}{2} - \frac{-27}{3} = -8 + 9 = 1\)，与右边相等，解正确。例题解析例 1：分母为整数且最小公倍数易求的方程题目：解方程\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 1}{4} = 2\)解题过程：找最小公倍数：分母 3 和 4 的最小公倍数是 12；去分母：两边乘 12，得\(4(2x + 1) - 3(x - 1) = 24\)；去括号：\(8x + 4 - 3x + 3 = 24\)；移项：\(8x - 3x = 24 - 4 - 3\)；合并同类项：\(5x = 17\)；系数化为 1：\(x = \frac{17}{5}\)。例 2：分母含分数（小数分母转化为整数分母）的方程题目：解方程\(\frac{x}{0.5} - \frac{1.2 - x}{0.3} = 2\)解题技巧：先将小数分母化为整数（利用分数基本性质，分子分母同乘 10），再去分母。解题过程：转化分母：\(\frac{10x}{5} - \frac{12 - 10x}{3} = 2\)（简化为\(2x - \frac{12 - 10x}{3} = 2\)）；找最小公倍数：分母 3 的最小公倍数是 3；去分母：两边乘 3，得\(6x - (12 - 10x) = 6\)；去括号：\(6x - 12 + 10x = 6\)；移项：\(6x + 10x = 6 + 12\)；合并同类项：\(16x = 18\)；系数化为 1：\(x = \frac{9}{8}\)。例 3：利用去分母法解决实际问题题目：某工厂原有工人若干名，其中技术工人占\(\frac{3}{5}\)，后来又招聘了 10 名技术工人，此时技术工人占总人数的\(\frac{2}{3}\)。该工厂原有多少名工人？（设原有\(x\)名工人）解题步骤：列方程：原有技术工人\(\frac{3}{5}x\)名，招聘后总人数\(x + 10\)名，技术工人\(\frac{3}{5}x + 10\)名，列方程\(\frac{3}{5}x + 10 = \frac{2}{3}(x + 10)\)；去分母：两边乘 15（最小公倍数），得\(9x + 150 = 10(x + 10)\)；去括号：\(9x + 150 = 10x + 100\)；移项：\(9x - 10x = 100 - 150\)；合并同类项：\(-x = -50\)；系数化为 1：\(x = 50\)；答：该工厂原有 50 名工人。课堂练习基础题（巩固步骤）解方程：（1）\(\frac{x + 2}{4} - \frac{2x - 3}{6} = 1\)（2）\(\frac{3x - 1}{2} = \frac{4x + 2}{5} - 1\)（3）\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3\)（先转化小数分母）提升题（纠错与应用）下面是小亮解方程\(\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = \frac{4 - x}{2}\)的过程，找出错误并改正：解：去分母得\(2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x)\)（第一步）去括号得\(2x - 2 - x + 2 = 12 - 3x\)（第二步）移项得\(2x - x + 3x = 12 + 2 - 2\)（第三步）合并同类项得\(4x = 12\)（第四步）系数化为 1 得\(x = 3\)（第五步）应用题：甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是每小时 6km，乙的速度是每小时 4km，甲比乙早到 1 小时。A、B 两地的距离是多少千米？（设距离为\(x\)千米，根据时间差列方程）课堂小结回顾利用去分母法解一元一次方程的核心步骤：找最小公倍数→去分母（防漏乘、分子留括号）→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1→检验（可选）；强调易错点：去分母漏乘常数项、分子是多项式时漏加括号、小数分母转化时只变分母不变分子；总结：去分母是将含分数系数方程转化为整数系数方程的关键，可大幅简化后续计算，是解复杂一元一次方程的重要工具。布置作业课本习题 5.2 第 10、11、12 题（基础题，强化去分母与完整解题步骤）；拓展题：若关于\(x\)的方程\(\frac{x - m}{2} = \frac{3x + m}{3}\)的解为\(x = -2\)，求\(m\)的值（结合方程解的定义，提升综合应用能力）；实践题：结合生活中的行程问题、工程问题或比例问题，编一道含分母的一元一次方程应用题，并写出完整解答过程（要求包含去分母步骤）。华东师大版（2024）数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程. 问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数？ 英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题.纸莎草文书你能解决以上古代问题吗？ 分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便？ 请你列出本题的方程. 结论：设这个数是 x，则可列方程 你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好. 总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.合作探究2.去分母时要注意什么问题?想一想1.若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数?知识点 解一元一次方程——去括号系数化为1 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） 移项 合并同类项 去括号 注意:(1)为什么同乘各分母的最小公倍数6；(2)小心漏乘,记得添括号知识点 解一元一次方程——去括号例1知识点 解一元一次方程——去括号例2.解下列方程：解：去分母(方程两边乘4)，得 2(x+1) －4=8+ (2 －x) 去括号，得 2x+2 －4=8+2 －x 移项，得 2x+x =8+2 －2+4 合并同类项，得 3x = 12 系数化为1，得 x = 12知识点 解一元一次方程——去括号解：去分母(方程两边乘6)，得 18x+3(x－1) =18－2 (2x －1) 去括号，得 18x+3x－3 =18－4x +2 移项，得 18x+3x+4x =18 +2+3 合并同类项，得 25x = 23 系数化为1，得知识点 解一元一次方程——去括号 下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？ 解方程： 解：去分母，得 4x－1－3x+6=1 移项，合并同类项，得 x=4去括号符号错误约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错.观察与思考方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6知识点 解一元一次方程——去括号 1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的 ； 2.去分母的依据是 ，去分母时不能漏乘 ； 3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.最小公倍数等式性质2没有分母的项要点归纳知识点 解一元一次方程——去括号 C  2 返回  去分母 移项  等式的基本性质1 系数化为1，得⑦_________.（⑧_________________）（其中①③填写变形步骤名称，②④⑥⑦填写变形结果，⑤⑧填写变形依据） 等式的基本性质2 返回4.解下列方程：         返回      返回 B  返回    返回8.[2024德州期中] 解下列方程：    解一元一次方程的一般步骤:必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！