8.4.2 单项式与多项式相乘-课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

8.4.2 单项式与多项式相乘教学课件幻灯片分页内容（冀教版七年级下册数学）幻灯片 1：封面标题：8.4.2 单项式与多项式相乘学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版核心目标：理解单项式与多项式相乘法则，掌握分步运算逻辑，能规范进行混合运算幻灯片 2：学习目标回顾多项式的定义（几个单项式的和），能将多项式拆分为单个单项式，明确 “单乘多” 的运算本质是乘法分配律的应用。通过实例推导单项式与多项式相乘的法则（单项式乘多项式的每一项，再将积相加），理解法则与单项式乘法的关联。熟练运用法则进行计算（包括符号处理、多字母因式运算、含幂的乘方的混合运算），能解决含 “单乘多” 的实际问题。体会 “转化思想”（将多项式乘法转化为单项式乘法），提升运算规范性和逻辑连贯性，为多项式与多项式相乘铺垫。幻灯片 3：复习回顾与情境引入1. 复习旧知（衔接基础运算）提问 1：什么是多项式？请举例说明（如\(2x^2 + 3x - 1\)，由单项式\(2x^2\)、\(3x\)、\(-1\)组成）。提问 2：单项式与单项式相乘的法则是什么？（系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留）计算练习（单项式乘法基础）：\(3x × 2x^2\)（答案：\(6x^3\)）；\(-2a × (-5ab)\)（答案：\(10a^2b\)）；\(4xy^2 × 3x^3\)（答案：\(12x^4y^2\)）。提问 3：若计算\(2x × (3x^2 + x - 5)\)，即 “单项式 × 多项式”，该如何转化为已学知识？（引出本节课主题）2. 情境引入（实际问题中的 “单乘多”）问题：一个长方形菜园被分成三个小长方形区域，分别种植黄瓜、番茄和生菜，三个区域的宽均为\(2x\) m，长分别为\(3x\) m、\(x\) m、\(4\) m，求整个菜园的面积（面积 = 长 × 宽，整体面积 = 各区域面积之和）。分析：方法 1（分区域计算）：面积 = \(2x×3x + 2x×x + 2x×4\)；方法 2（整体计算）：总长 = \(3x + x + 4\)，面积 = \(2x×(3x + x + 4)\)；思考：两种方法结果相等，即\(2x×(3x + x + 4) = 2x×3x + 2x×x + 2x×4\)，这体现了什么运算规律？（乘法分配律）幻灯片 4：单项式与多项式相乘法则的推导1. 法则推导（基于乘法分配律）乘法分配律回顾：\(a×(b + c) = a×b + a×c\)（一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘两个数，再相加）。延伸到 “单乘多”：多项式是几个单项式的和，因此单项式乘多项式，可将单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加。符号表示：若多项式为\(a(b + c + d)\)（\(a\)为单项式，\(b\)、\(c\)、\(d\)为单项式），则：\( a(b + c + d) = ab + ac + ad \)实例验证：以\(2x×(3x^2 + x - 5)\)为例：用乘法分配律拆分：\(2x×3x^2 + 2x×x + 2x×(-5)\)；分别计算单项式乘法：\(2x×3x^2 = 6x^3\)；\(2x×x = 2x^2\)；\(2x×(-5) = -10x\)；合并结果：\(6x^3 + 2x^2 - 10x\)。2. 法则概括（核心逻辑）单项式与多项式相乘法则：分配相乘：用单项式去乘多项式的每一项（注意：多项式的每一项包括前面的符号，如 “\(x - 5\)” 中的 “\(-5\)” 是一项）；计算积：对每一组 “单项式 × 单项式”，按单项式乘法法则计算；合并积：将所有计算得到的积相加（若有同类项，后续可合并，本节课暂不涉及复杂合并）。本质：将 “单乘多” 转化为 “单乘单” 的和，体现 “复杂运算转化为简单运算” 的数学思想。幻灯片 5：单项式与多项式相乘的直接应用1. 基础题型（多项式为三项式及以内）例题 1：计算下列各式：\(3a×(2a^2 + 4a)\)；解：第一步（分配）：\(3a×2a^2 + 3a×4a\)；第二步（单乘单）：\(6a^3 + 12a^2\)；结果：\(6a^3 + 12a^2\)；\(-2x×(x^2 - 3x + 1)\)；解：分配时注意符号（乘 “\(-3x\)”“\(+1\)”）：\(-2x×x^2 + (-2x)×(-3x) + (-2x)×1\)；计算：\(-2x^3 + 6x^2 - 2x\)；结果：\(-2x^3 + 6x^2 - 2x\)；\(4xy×(x^2y - xy^2 + \frac{1}{2})\)；解：分配到常数项 “\(\frac{1}{2}\)”：\(4xy×x^2y + 4xy×(-xy^2) + 4xy×\frac{1}{2}\)；计算：\(4x^3y^2 - 4x^2y^3 + 2xy\)；结果：\(4x^3y^2 - 4x^2y^3 + 2xy\)。2. 含幂的乘方的混合运算（先乘方，再单乘多）例题 2：计算\((-2x^2)^3×(3x - 4)\)；解：先算单项式的幂的乘方，再算单乘多，幂的乘方：\((-2x^2)^3 = (-2)^3×(x^2)^3 = -8x^6\)；单乘多：\(-8x^6×3x + (-8x^6)×(-4)\)；计算：\(-24x^7 + 32x^6\)；结果：\(-24x^7 + 32x^6\)。幻灯片 6：“单乘多” 中的符号处理（重点突破）1. 符号处理核心原则多项式的每一项都包含前面的符号（正号可省略，负号必须保留），单项式乘每一项时，需根据 “有理数乘法符号法则” 确定积的符号：单项式正 × 多项式正项 = 正积；单项式正 × 多项式负项 = 负积；单项式负 × 多项式正项 = 负积；单项式负 × 多项式负项 = 正积。2. 典型符号问题解析例题 3：计算下列各式，重点关注符号：\(5m×(-m^2 + 2n)\)；解：单项式为正，乘负项得负，乘正项得正：\(5m×(-m^2) + 5m×2n = -5m^3 + 10mn\)；\(-3b×(-2b^2 - b + 5)\)；解：单项式为负，乘负项得正，乘正项得负：\(-3b×(-2b^2) + (-3b)×(-b) + (-3b)×5 = 6b^3 + 3b^2 - 15b\)；\(2x^2×(x - y) - 3x×(x^2 + 1)\)（含两个 “单乘多” 的差）；解：分别计算两个 “单乘多”，再相减：第一步：\(2x^2×x - 2x^2×y = 2x^3 - 2x^2y\)；第二步：\(3x×x^2 + 3x×1 = 3x^3 + 3x\)；第三步：相减（注意括号）：\((2x^3 - 2x^2y) - (3x^3 + 3x) = 2x^3 - 2x^2y - 3x^3 - 3x = -x^3 - 2x^2y - 3x\)。幻灯片 7：单项式与多项式相乘的实际应用1. 几何面积计算（整体与部分关系）例题 4：如图，一个大长方形的长为\((2x + 3)\) cm，宽为\(4x\) cm，求大长方形的面积；若大长方形内挖去一个边长为\(x\) cm 的小正方形，求剩余部分的面积。（大长方形：长2x+3，宽4x；小正方形：边长x，位于内部）解：大长方形面积（单乘多）：\(4x×(2x + 3) = 4x×2x + 4x×3 = 8x^2 + 12x\)（\(cm^2\)）；小正方形面积：\(x×x = x^2\)（\(cm^2\)）；剩余面积：\((8x^2 + 12x) - x^2 = 7x^2 + 12x\)（\(cm^2\)）；答：大长方形面积为\((8x^2 + 12x)\) \(cm^2\)，剩余部分面积为\((7x^2 + 12x)\) \(cm^2\)。2. 实际数量关系（总量计算）例题 5：某商店销售三种文具，单价分别为\(2a\)元、\(3b\)元、\(a\)元，销量分别为\((4a + 1)\)件、\(2b\)件、\((3a - 2)\)件，求该商店销售这三种文具的总收入。解：每种文具收入 = 单价 × 销量：第一种：\(2a×(4a + 1) = 8a^2 + 2a\)；第二种：\(3b×2b = 6b^2\)；第三种：\(a×(3a - 2) = 3a^2 - 2a\)；总收入 = 三种收入之和：\((8a^2 + 2a) + 6b^2 + (3a^2 - 2a) = 11a^2 + 6b^2\)（同类项合并：\(8a^2 + 3a^2 = 11a^2\)，\(2a - 2a = 0\)）；答：该商店总收入为\((11a^2 + 6b^2)\)元。幻灯片 8：易错点深度解析易错点 1：漏乘多项式的某一项错误示例：\(2x×(x^2 + 3x - 4) = 2x×x^2 + 2x×3x = 2x^3 + 6x^2\)（漏乘 “\(-4\)”，正确应为\(2x^3 + 6x^2 - 8x\)）；规避方法：将多项式的每一项（含符号）依次列出，逐一与单项式相乘，完成后对照原多项式检查是否有遗漏。易错点 2：符号处理错误（忽略项的符号）错误示例：\(-3a×(2a - b) = -3a×2a - 3a×b = -6a^2 - 3ab\)（误将 “\(-b\)” 当作 “\(b\)”，正确应为\(-6a^2 + 3ab\)）；规避方法：将多项式的项写成 “+（项）” 的形式，如\(2a - b = +2a + (-b)\)，再用单项式分别乘每个 “+（项）”，明确符号运算。易错点 3：混合运算中运算顺序错误错误示例：\((2x×3x^2)×(x + 1) = 6x^3×x + 1 = 6x^4 + 1\)（漏将\(6x^3\)乘 “\(1\)”，正确应为\(6x^4 + 6x^3\)）；规避方法：混合运算遵循 “先算乘方，再算单项式乘法，最后算单乘多”，若有括号先算括号内，分步标注每一步运算对象。易错点 4：常数项与单项式相乘时忽略系数错误示例：\(4×(x^2 - 2x) = x^2 - 2x\)（漏将常数项 “4” 与多项式各项相乘，正确应为\(4x^2 - 8x\)）；规避方法：明确 “常数项也是单项式”（如 “4” 可看作 “4×1”），按单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂相乘，此处同底数幂为 “1”，即常数）计算。幻灯片 9：课堂练习（分层设计）基础题（必做）计算下列各式：（1）\(2a×(a^2 + 3a)\)；（答案：\(2a^3 + 6a^2\)）（2）\(-x×(2x^2 - 5x + 3)\)；（答案：\(-2x^3 + 5x^2 - 3x\)）（3）\(3xy×(x^2y - xy)\)；（答案：\(3x^3y^2 - 3x^2y^2\)）一个长方形的长为\((3x + 2)\)，宽为\(2x\)，求其面积（答案：\(6x^2 + 4x\)）。提升题（选做）计算\((-2x^3)^2×(x^2 - 2x) + 3x×(x^5 - 4x^4)\)；（答案：\(4x^6×(x^2 - 2x) + 3x^6 - 12x^5 = 4x^8 - 8x^7 + 3x^6 - 12x^5\)）已知多项式\(A = x^2 + 2x - 1\)，单项式冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则；2.掌握单项式与多项式相乘的运算法则，会进行单项式与多项式的乘法运算.3.会用图形解释单项式与多项式相乘的运算法则.回顾：单项式乘单项式的运算法则是什么？计算：(－2x3 yz) · xy2 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.1.为了扩大绿化面积，要把街心花园的一块长b m，宽p m的长方形绿地，将长的两边分别加宽a m和c m，有几种方法计算扩大后的绿化面积？方法一：三个长方形面积相加方法二：求出扩大后长方形的长，再计算ap＋bp＋pc(a＋b＋c)p两个式子之间有什么关系？ mn(a+b－c)2.如图所示的大长方体是由三块小长方体拼接而成，请根据图中的数据，尝试用不同的方法表示阴影部分的体积.方法一：阴影部分的体积=方法二：阴影部分的体积= mna+mnb－mnc方法三：阴影部分的体积= mn(a+b)－mnc下面单项式乘多项式，是如何进行运算的？这样运算之后，单项式乘多项式在形式上发生了什么变化？ mn(a+b－c) = mna + mnb－mnc单项式乘多项式法则单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加.你能归纳概括出单项式乘多项式的运算法则吗？几个单项式和的形式单项式×单项式单项式×多项式转化几个单项式的和转化最简形式知识点 单项式与多项式相乘例1 计算：（1）ab(a2+b2)； （2）－x · (2x－3)； （3）2x(－xy)2 －x2 (xy2－y2 ). 解：（1） ab(a2+b2)（2）－x · (2x－3) =ab · a2 + ab · b2= a3b+ab3= (－x) · 2x + (－x ) · (－3) = － 2x2 + 3x （3）2x(－xy)2 －x2 (xy2－y2 )= 2x · (－x)2 · y2 + (－x2)· xy2 + (－x2 ) · (－y2) = 2x3y2 － x3y2 + x2y2 = x3y2 + x2y2 同类项需要合并※ 找准多项式中的每一项单项式×多项式最简形式项：2x 和 －3知识点 单项式与多项式相乘 归纳：单项式与多项式相乘的步骤：①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式； ②转化为单项式与单项式的乘法运算； ③ 把所得的积相加. 注意:单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.知识点 单项式与多项式相乘 计算： (1)2xy(5xy2+3xy-1); 解:原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)=10x2y3+6x2y2-2xy.(2)(a2-2bc)·(-2ab) 2.解: 原式=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)=4a4b2-8a2b3c.知识点 单项式与多项式相乘例2 先化简，再求值： a2(a+1)－a(a2－1)，其中，a = 5. 解： a2(a+1) －a(a2－1) 当 a=5 时，原式=52 + 5= 30. = a3 + a2 －a3 + a = a2 + a.知识点 单项式与多项式相乘 归纳：单项式与多项式相乘需要注意以下几点：1. 计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负;2.不要出现漏乘现象;3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减;4.对于混合运算，注意最后应合并同类项.知识点 单项式与多项式相乘 A  返回 A  返回 A   返回 8  返回   返回6. 教材P88例3 计算：     返回   返回   返回 DA. 3B. 4C. 5D. 6 返回 A. 1B. 2C. 3D. 4 B 返回 A   返回单项式乘多项式法则单项式乘多项式，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.注意a运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于混合运算，注意最后应合并同类项必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！