福建省南平市八年级上学期期末考试数学试题 （解析版）-A4

这是一份福建省南平市八年级上学期期末考试数学试题 （解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了本试卷仅供选用学校使用等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）
说明：
1．本试卷仅供选用学校使用．
2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 数B. 字C. 中D. 国
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、“数”不是轴对称图形，不符合题意；
B、“字”不是轴对称图形，不符合题意；
C、“中”可以看作是轴对称图形，符合题意；
D、“国”不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 计算：，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，
即，
故选：C．
4. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，某种叶绿体的直径约米．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此进行表示即可．
详解】解：，
故选：D．
5. 一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】A
【解析】
【分析】设该多边形有n条边，利用多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解．
【详解】解：设该多边形有n条边，
由题意得：，
解得，
则这个多边形是三角形，
故选A．
【点睛】本题考查多边形的外角和与内角和，熟记公式是解题的关键．
6. 如图，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由，则，，然后用三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：．
7. 若是完全平方式，则m的值等于（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方公式计算即可求出m的值．
【详解】解：∵x2+mx+4是完全平方式，
∴m=±4，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8. 下列分式中，化简结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、不能化简，不等于，则此项错误，不符合题意；
D、不能化简，不等于，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键．
连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．再根据含角的直角三角形的性质得到的长．
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵
∴
故选：B．
10. 下表描述了分式的部分信息：
其中，，则下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据无意义知，由，所以，由时，，所以可得结论．
【详解】解：因为值当时无意义，
所以．
又因为，所以，
当时，，所以，则，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11. 计算________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了负整数指数幂，根据（为正整数）解答即可．
【详解】解：
故答案为：
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用提公因式法分解因式．直接利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据轴对称的点的坐标特征，可知横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】##80度
【解析】
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
【详解】解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
15. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，由可化为，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，下列结论：
；
；
点F一定在的垂直平分线上；
点F到，，三边的距离相等；
其中所有正确的结论是________．（填序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据角平分线的概念和平行线的性质得到，，然后根据等角对等边得到，，进而可判断①；根据角平分线的概念和三角形内角和定理即可判断②；根据和不一定相等即可判断③；根据角平分线的性质定理即可判断④．
【详解】如图所示，
∵的平分线与的平分线相交于点F，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵的平分线与的平分线相交于点F，
∴，
∴
∴，故②错误；
∵和不一定相等
∴点F不一定在的垂直平分线上，故③错误；
∵的平分线与的平分线相交于点F，
∴由角平分线的性质得，点F到，，三边的距离相等，故④正确．
综上所述，其中所有正确的结论是①④．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，等角对等边，垂直平分线的判定和角平分线的性质定理，平行线的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
17. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运用，利用完全平方公式，平方差公式先化简，再去括号合并同类项即可．
【详解】解：

．
18. 如图，点B，C，F，E在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由得到，再证明，即可得到．
【详解】证明：∵ ，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟记分式的运算法则，将原式正确的进行化简是解决此题的关键．先通分计算括号内分式的减法，然后把除法转化为乘法进行约分，化到最简后代入x的值计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，
原式
．
20. 如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解．
【详解】解：∵，
∴
∵是等边三角形，E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴
21. 如图，在中，，点D，E在上，，连接．
（1）请画出线段，使得与关于直线对称．
（2）在（1）的条件下，连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）图见解析
（2）是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）证明得，由轴对称的性质得，进而可证是等腰三角形．
【小问1详解】
解：如图所示
【小问2详解】
答：是等腰三角形．
理由如下：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
22. 为了推进“书香”和“墨香”的“两香”校园建设，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔和毛笔，下表是购买的相关信息：
（1）请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）；
（2）已知购买的钢笔支数比毛笔少20支，求钢笔和毛笔的单价分别是多少元？
【答案】（1）；
（2）毛笔的单价是25元， 钢笔的单价是30元
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题的关键．
（1）根据数量等于钱数除以单价列代数式即可；
（2）根据购买的钢笔支数比毛笔少20支列方程求解即可．
【小问1详解】
解：调表如下，
【小问2详解】
解：由题意得，
．
解得．
经检验，为原方程得解，
所以原方程的解为．
．
答：毛笔的单价是25元， 钢笔的单价是30元．
23. 如图，在中，于，于，AD与CE相交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）详见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（）由（）得：，，则，从而证明CE垂直平分AB，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（）得：，，
∵，
∴，
∵，
∴CE垂直平分AB，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24. 阅读材料
图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立：
①
②
如图1，通过不同的方法计算边长为的正方形面积，可以说明等式①的合理性．
问题解决
如图2，将边长为的正方形，分割成几个小正方形与小长方形．
（1）请你根据图2的面积说明等式②的合理性；
（2）若a，b，c满足，，求的值．
拓展探究
如图3，有三种规格的纸片：，，（其中）若干张．
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积可以说明等式成立．请画出你的设计示意图．（画出一种即可，不需说明成立的理由）
【答案】（1）详见解析；（2）78；（3）图见解析
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，
（1）用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解；
（2）由题意得到，然后将，代入求解即可；
（3）根据题意画出图形，然后用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解．
【详解】（1）∵
又∵
∴；
（2）解：∵
∴
∵，，
∴
∴；
（3）如图所示，
∵
又∵
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，点是轴正半轴上的动点（不与点重合），过点作交轴于，连接．
（1）当的坐标为1,0时，求证：；
（2）如图，当时，求点的坐标；
（3）当时，直接写出的面积．
【答案】（1）详见解析；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）由，，则，轴，根据可得，再通过同角的余角相等得，再证明即可；
（）延长交轴于点，证明，则，再证明，根据性质可得，故有；
（）分当在上时和当在延长线上时两种情况分析即可；
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：如图，延长交轴于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当在上时，
∵，，
∴，轴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积为；
如图，当在延长线上时，
∵，，
∴，轴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
的值
…
…
值
…
无意义
…
钢笔
毛笔
购买费用：1200元
单价：1.2x元/支
购买数量： 支
购买费用：1500元
单价：x元/支
购买数量： 支
钢笔
毛笔
购买费用：1200元
单价：元/支
购买数量：支
购买费用：1500元
单价：x元/支
购买数量：支