福建省南平建瓯市八年级下学期期中考试数学试题 （解析版）-A4

这是一份福建省南平建瓯市八年级下学期期中考试数学试题 （解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，即可得到答案．关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【详解】解：二次根式中的被开方数是非负数，
，
，
故选：B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式加减运算法则分别判断得出答案．正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．无法合并计算，，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：C．
3. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，2，B. 5，4，3C. 17，8，15D. 2，3，4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 如图，在中，，点D是的中点，，则的值为（ ）
A. 5B. 4.8C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形相关知识，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据勾股定理，求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴由勾股定理得：，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
6. 如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．
7. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，根据题意可得，再通过矩形的性质可得，即可解答，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点O作的垂线交于点F， ，
，
四边形矩形，
，，
即，
，
故选：A．
8. 如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键．
如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答．
【详解】解：如图：，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为．
故选：D．
9. 公元3世纪，我国数学家赵爽在周髀算经中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为10，且．则小正方形的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理、完全平方公式，观察图形可知，利用已知和大正方形的面积为10，可得，进而求出答案．利用数形结合的思想是关键．
【详解】解：，
，
大正方形的面积为10，直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，
，
，
小正方形的面积为．
故选：B．
10. 如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，连接，利用转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可，解题的关键是理解两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
的最小值等于的最小值，
如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点，
根据对称性可知，，
，
在中，，，由勾股定理得，
最小值为，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合图形，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，BE平分，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，利用角平分线计算及平行线的性质，等角对等边求边长等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．
13. 如图，在菱形中，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质，根据菱形的每一条对角线平分每一组对角结合等腰三角形的性质可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知矩形的面积，长，则宽__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式除法的应用，根据题意列式，利用二次根式除法的运算法则计算即可．
【详解】解：根据题意：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线的性质与判定是解题的关键．分别作，的中点，，连接，，，，根据三角形的中位线的性质得出，，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，即可解答．
【详解】解：分别作，的中点，，连接，，，，
∵点，分别是边，上的中点，
∴，，
∵点分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在中，，点E为线段上一动点，有下列四个结论：
①在E点运动过程中，的面积始终是面积的一半；
②在线段上有且只有一点E，使得；
③若点E恰好是的角平分线与 的角平分线的交点，则点E是的中点；
④若，则在上有且只有一点E，使得 是直角三角形其中所有正确结论的序号是______．

【答案】①②③
【解析】
【分析】作于点，表示和判断①；由可知，判断②；根据角平分线和平行可得解题即可判断③；取的中点,连接,当时，则,四边形和四边形都是菱形，可以得到，这时与不垂直，所以必会存在另一点使得，判断④．
【详解】解：如图，作于点，
.四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故①正确；
由题可知：
∵2，
∴，
故②正确；

∵，
∴，
∵点恰好是的角平分线与的角平分线的交点，
∴，
∴，
.
∴,
.∴点是的中点，
故③正确；
取的中点,连接,
∴,.
∴,
当时，则,
∴四边形和四边形都是菱形，
∴,
∴，
∴
∴是直角三角形，
∵，
∴与不垂直，
在上可能还存在点,使,
同理可证明是直角三角形，
故④不正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，综合性较强，难度较大，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
．
19. 如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
（1）求证：；
（2）求修建的桥梁的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据即可求解．
【小问1详解】
证明：由题可知，，．
∵，
即，
∴是直角三角形，且，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，，
∴．
答：修建的桥梁CD的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
20. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）由菱形性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．
【小问1详解】
解：菱形ABCD的周长为24，
，
又∠BAD＝60°，
是等边三角形，
，
故对角线BD的长为6；
【小问2详解】
解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，
，，
又，
，
，
菱形ABCD的面积，
故菱形ABCD的面积是．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表：
请你帮助兴趣小组解决以上问题（结果保留一位小数）．
（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角的应用，等腰三角形的判定及性质，正切三角函数和勾股定义，能根据题意作出辅助线构建直角三角形求解是解题的关键．过点B作垂足为G，则四边形为矩形，求得和，在中，求得和，在中，求得，和，则，在中利用勾股定理求得即可，掌握解法．
【详解】解：根据题意，得，
过点B作垂足为G，
则四边形为矩形
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则
则两栋楼楼顶B，D之间的距离约为．
22. 小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与证明：
（1）（尺规作图）在菱形中，交于点O．在右侧作，在上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，连接，即可求解．
（2）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：四边形是菱形，
，．
．
，
．
，
．
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形．
23. 如图1，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作，垂足为点O，交线段于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质：
（1）连接，利用等腰三角形的性质证明，求出，利用勾股定理即可得出结论；
（2）连接； 根据等腰直角三角形的性质易证垂直平分线段，设，则，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，即；
在中，，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接；
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴垂直平分线段，
∴；
设，则，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
解得；
∴的长为．
24. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，
①求的值；
②直接写出代数式的值．
【答案】（1）
（2）①3；②
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，理解题意，熟练计算是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简即可；
（2）①根据题意即可解答；
②将化成即可解答．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：①∵
∴
∴
∴
∴
② ∵
∴
，
，
25. 人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘．
（1）如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由；
（2）如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：；
（3）如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1），见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作出正确辅助线是解题的关键．
（1）利用折叠的性质，可得是等边三角形，即可得到，即可证明；
（2）连接，证明，可得，即可求得，即可解答；
（3）当F、D重合时，值最小，当E、B重合时，的值最大，利用折叠的性质和勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：
理由如下：
由折叠可知：直线是线段的垂直平分线，
，
对折至，折痕为，
，，
，
是等边三角形，
，
∴，
∵四边形为矩形，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，是折痕，
，
∴，
由折叠的性质可知，，，
在和中，
，
，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
【小问3详解】
解： 如图，当F、D重合时，的值最小，
根据折叠的性质知：，
在中，，
则，
此时的最小值为；
如图，当E、B重合时，的值最大，
根据折叠的性质知：，即的最大值为4．
综上，．
活动课题
测量两栋楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
步骤一：如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一水平直线上，顶端N与点E，F在同一水平直线上，图中所有点均在同一平面内
测量过程
步骤二：利用测角仪测出，；
步骤三：利用皮尺测出米，米．
解决问题
根据以上数据计算两栋楼楼顶B，D之间的距离