福建省三明市建宁县八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

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（满分：150分 检测时间：120分钟）
友情提示：
1．本试卷共6页．
2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上．
3．答题要求见答题卡上的“注意事项”．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）．
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．无理数的定义判断即可．
【详解】A．是无理数，符合题意；
B．是整数，不是无理数，不符合题意；
C．是分数，不是无理数，不符合题意；
D．0是整数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
2. 下列各组长度的线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）．
A. 2，2，2B. 6，8，9C. 1，1，D. 1，2，3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，把代入，得，解方程即可求解，掌握函数图象上的点的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴’，
解得，
故选：．
4. 下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，
所以A选项中不是的函数，符合题意．
故选：A．
5. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：B．
6. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理；
B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
7. 课间操时，小华、小军、小刚位置如图所示，小华的位置用表示，小军的位置用表示，那么小刚的位置可以表示成（ ）
A. B. C. 2,3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形与坐标，根据小华和小军的位置建立坐标系，即可求解．
【详解】解：根据题意，可建立如图所示的坐标系，
∴小刚的位置可以表示成2,3，
故选：C．
8. 已知点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．注意第四象限的点的符号特点是．应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断其具体坐标．
【详解】解：∵第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0；点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为4，
∴点P的纵坐标为，横坐标为4，
∴点P的坐标是．
故选：D．
9. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移6个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A B. 4C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据下减规律，得到，结合是正比例函数，计算即可．
【详解】一次函数的图象向下平移6个单位，
根据下减规律，得到，
是正比例函数，
，
解得．
故选D．
10. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①．
【详解】解：如图所示，
∵正方形的面积为49，
∴，

∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故④正确；
∵正方形的面积为4，
∴，
∴，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故①错误；
故正确的是③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，据此化简作答即可，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得，，，即可求出的值，再把代入到中计算即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题关键．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 已知直线上有两点，，则与的大小关系是________（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，在中，，则y随着x的增大而增大，，则y随着x的增大而减小．根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：在中，，
∴y随着x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
14. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买3kg以上，超过3kg部分的种子的价格打八折，设购买种子的数量为，付款金额为元，则与之间的函数表达式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“超过3kg部分的种子的价格打八折”，列出函数关系式即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用代数式表达付款金额．
15. 如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________．

【答案】
【解析】
【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离．
【详解】解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设点到直线的距离为，且，，，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
16. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，，，可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，，，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，
（1）根据立方根，二次根式的性质，绝对值将原式化简，再进行合并即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的性质及除法将原式化简，再进行合并即可；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
18. 若2，5，n为三角形的三边长，化简
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可．
【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长，
∴，即，
∴原式．
19. 某乡镇决定对两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从村向村方向修筑，乙工程队从村向村方向修筑．如图是甲、乙两个工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息回答下列问题：
（1）甲工程队修公路的长度总共有______米，乙工程队修公路的长度总共有______米；
（2）甲工程队总共施工了______天，乙工程队总共施工了______天；
（3）甲工程队平均每天施工______米，乙工程队平均每天施工______米．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
【解析】
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）用长度除以施工时间即可求解；
本题考查了一次函数的图象，根据图象，获取与问题有关的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图象可得，甲工程队修公路的长度总共有米，乙工程队修公路的长度总共有米，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由图象可得，甲工程队总共施工了天，乙工程队总共施工了天，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：甲工程队平均每天施工米，
乙工程队平均每天施工米，
故答案为：，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）该函数图象与坐标轴围成图形的面积是______．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，再描点、连线，画出函数图象；
（2）由点A，B的坐标可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线与坐标轴围成图形的面积．
【小问1详解】
当时，
所以点的坐标为0,2．
当时，，解得，
所以点的坐标为2,0．
描点、连线，画出函数图象如图所示．
【小问2详解】
点的坐标为2,0，点的坐标为0,2，
，，
，
即直线与坐标轴围成图形的面积为2，
故答案为：2．
21. 如图，在中，点D是上的一点，，，，．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，先根据勾股定理得到的长，再根据线段的和差关系可求的长，注意熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）画出关于y轴对称的，其中点A，B，C的对应点分别为，，；
（2）请直接写出点A、B关于x轴对称点的坐标：（________，________），（________，________）．
【答案】（1）见解析 （2）1；；4；
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称作图，坐标与图形，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点 ，，，然后再顺次连接即可；
（2）根据关于x轴对称的点特点进行解答即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所作的三角形，
【小问2详解】
解：点A、B关于x轴对称点的坐标分别为：，．
23. 如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形和矩形均为木质平台的横截面，点G在上，点C在上，点D在上，经过现场测量得知米，米．
（1）求立柱的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．
【答案】（1）立柱的长度为9米
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据题意得米，米，设米，则米，则由勾股定理可得出关于x的等式，解出x，即得出BG的长，从而即可求出AB的长．
（2）由题意得米，从而可求出米．进而可由勾股定理求出BF的长．
【小问1详解】
（1）由题意得米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴米．
∴米．
∴立柱的长度为9米．
【小问2详解】
由题意得米，
∴米．
在中，由勾股定理得米．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理．掌握利用勾股定理解直角三角形的方法是解题关键．
24. 如果一个三角形三边长分别为a，b，c ，记，那么三角形的面积为…，①古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式…，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式．
（1）设a，b，c为的三边，当，，时，求的面积．
（2）请你对公式②进行变形，推导出公式①．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和利用平方差公式对整式变型，
（1）根据给定的算法求得p，在分别求得，和，代入计算即可；
（2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式．
【小问1详解】
解：当，，时，，
∴，，，
∴＝．
【小问2详解】
解：∵
∴，，
∴＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点在正比例函数的图象上，过点A的另一条直线分别交x轴，y轴的正半轴于点B，C．
（1）m的值为______；
（2）若，求直线函数表达式；
（3）在（2）的条件下，当动点P在线段和射线上运动时，是否存在点P，使得？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，此时点P的坐标为或或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形，数形结合是解答关键．
（1）将点A坐标代入中求解即可；
（2）设，，根据坐标与图形性质求得点C坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）设Px,y，分动点Px,y在线段上和动点Px,y在射线上运动两种情况，利用坐标与图形性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，则，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，，
∵，，
∴，解得．
∴C0,6．
设直线的函数表达式为，
∵点，C0,6在直线上，
∴，．
将代入，解得．
∴直线AB的函数表达式为．
【小问3详解】
解：存在．
设Px,y，则中边上的高为，由（2）可知C0,6，
∴．
当动点Px,y在线段上时，，如图①，
∴，解得．
∵Px,y在线段上，
∴由（1）可知；
当动点Px,y在射线上运动时，如图②，
∴，解得．
当时，，
∴．
当时，，
∴．
综上所述，存在点P的坐标为或或−1,7，使得．