人教版（2024）八年级上册数学期末复习：第13—15章 压轴题专题提升练习题汇编（含答案）

这是一份人教版（2024）八年级上册数学期末复习：第13—15章 压轴题专题提升练习题汇编（含答案），共64页。试卷主要包含了已知，阅读理解，阅读理解，自主探究，【问题情境】等内容，欢迎下载使用。

(1)如图1，当∠D=145°，∠C=85°时，∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，则∠F的度数为 ；
(2)如图2，当∠D=64°，∠C=60°时，∠DAB和∠CBE的角平分线的反向延长线交于点F，求∠F的度数；
(3)猜想：当∠D与∠C满足什么条件时，∠DAB和∠CBE的角平分线平行？画出图形，并说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，A0,6，B−4,0，将线段AB沿x轴向右平移12个单位长度得到线段DC，点P 为射线AD上一动点．
(1)点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；
(2)如图①，点M是线段CD上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段AD上运动时（点P不与点D重合），连接PM,∠DPM,∠PMC,∠ABC之间有怎样的数量关系？ 请说明理由；
(3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接BN,CN,PN,PC，若ON=OB，三角形PNC的面积等于三角形AOB的面积，求点 P 的坐标．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA−AD向终点D运动．
(1)点P在CA上运动的过程中，当CP= 时，△CPD与△CBD的面积相等；
(2)点P在折线CA−AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；
(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，求此时CP的长．
4．△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，BD=CD．
(1)如图（1），连接AD，求证：AD⊥BC；
(2)如图（2），过点D作∠EDF=60°，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，延长ED交BC于点G．
①求证：△DFC≌△DGB；
②若BC=10，求△AEF的周长．
5．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上．
(1)如图1，∠BOD=60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数；
(2)如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P；
①若∠BOD=60°，则∠P=__________度（直接写出结果，不需说理）；
②若∠BOD=α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）．
(3)如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP，∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍；请直接写出∠OFE的度数．
6．在△ABC中，作出∠ABC、∠ACB的内、外角平分线，两个内角平分线交于E点，两个外角平分线交于D点，直线BE与直线CD交于M点．
(1)如图1，若∠BMC=20°，
①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC的度数． ∠BDC=______，∠BEC=______，∠BAC=______．
②连接AM，求出∠CAM的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm，AB=15 cm，AC=17cm，∠ABC的内角平分线和∠ACB的外角平分线交于M点，过M作MN⊥BC，垂足为N，求MN的长度．
7．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∘得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
8．已知：Rt△ABC中，∠B=90°,AE、CD分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AE、CD交于点F．
(1)如图1，求∠AFD；
(2)如图2，过点F作FG⊥CD，交BC于点G，求证：DF=GF；
(3)如图3，过点F作FH⊥AE，交AC于点H，连接DH，过点F作FM⊥BC于点M，延长MF交DH于点N，若FM=5,△DFN与△GFE面积之和为5，则FN=_______．
9．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=3.2cm，DE=2.3cm，求BE的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，A5,2，点B在第一、第三象限的角平分线l上，点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．直接写出符合条件的C点的坐标．
10．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据 证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC=BC（即点C为AB的中点）．
【类比解答】
如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=38°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE= ．
【拓展延伸】
（1）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．线段BE与FD的数量关系为 ．（直接写出）
11．如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，点D在线段AB上，连结AC．
(1)求证：AC=BD；
(2)如图2，点E、F为线段AC、BD的中点，连结OE、OF、EF，点G是线段EF的中点，连结OG．求证：OG平分∠EOF；
(3)如图3，若OB⊥OC，AO，CD交于点P，∠ACD=45°，AD=6，求△ACD的面积．
12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．
【方法初探】如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD=DB+AB，求证：∠B=2∠C．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在CD上截取DE=DB，连接AE，从而证明出结论．请你写出证明过程．
【方法应用】如图3，点D为等边△ABC外一点，连接AD，CD，BD，其中BD交AC于点E，且∠ADB=60°，求证：BD=AD+CD；
【实际应用】如图4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的角平分线时，线段AB，AC，CD之间的数量关系为______．
13．已知△ABC是边长为8的等边三角形，点P在射线AB上运动，点Q在线段AC上运动，连接PQ，以PQ为边向右作等边△MPQ，连接BM．
(1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时，
①求证：AP=BM；
②过点M作MH⊥CB于H，且CH=3，求线段BP的长；
(2)如图2，当点P在点B左侧，且AQ=2BP时，求线段BM的最小值．
14．在 Rt△ABC中，点 D 在线段AB上，点 E，F分别在线段AC,BC上，DE=DF，2∠A+∠EDF=180°．
(1)如图1，当点B、F重合时，求证：点E 是线段AC的中点；
(2)如图2，当 ∠A=45°时，过点 D作 DG⊥AC于点 G，请补全图形，探究线段AG与CE的数量关系，并证明；
(3)如图3，过点 F作FK∥AB于点K，探究线段AE与CK的数量关系，并证明．
15．直角三角形ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AB，AC上，将△DEA沿DE翻折，得到△DEF．
(1)如图①，若∠CED=75°，则∠CEF= °；
(2)如图②，∠BDF的平分线交线段BC于点G．若∠CED=∠BDG．求证BC∥DF．
(3)已知∠A=α，∠BDF的平分线交直线BC于点G．当△DEF的其中一条边与BC平行时，直接写出∠BGD的度数（可用含α的式表示）．
16．综合与探究
(1)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
①如图1，试说明：△ADC≌△CBE．
②如图2，则线段DE，AD，BE之间的等量关系是______．
③如图3，若AD=5，BE=11，则DE的长______．
(2)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=8，S△ABC=12，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，求出△BCD的面积．
17．已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD=CE．
(1)如图1，求∠AFD的度数；
(2)如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF=BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN=120∘，∠ACF=2∠CBG，求证：CN=2AG；
(3)在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC=DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和．
18．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．
(1)观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为 ；∠APB= ．
(2)如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．
(3)深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．1中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(4)连接CP，求证：PC平分∠BPE．
19．阅读下列材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CD，垂足为D，BE⊥CD，交CD的延长线于点E，求证：BE=AD−DE；
【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充：
如图2，延长AD交BC于点G，如果CH=CG，CD所在直线交AB于点F，过F作FP⊥BH交AD延长线于点P，交BH于点Q，试探究线段AP，FP，CF之间的数量关系，并说明理由．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小彤：“通过观察和度量，发现∠AFC与∠QFB有某种数量关系；”
小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．”
阅读上面材料，请回答下面问题：
(1)求证：BE=AD−DE；
(2)猜想∠AFC与∠QFB的数量关系，并证明；
(3)探究线段AP，FP，CF之间的数量关系，并证明．
20．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AE⊥AB且AE=AB，点D在CA的延长线上，连接DE，∠ADE=135∘．求证：BC=DC．
①小明的解题思路：如图2，小明同学从∠ADE=135∘这个条件出发，给出如下解题思路：过E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠EDF=45∘，△EDF是等腰直角三角形，EF=DF，再证明两个三角形全等，转化等量线段．
②小涛的解题思路：如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段CB上截取CG=AC，则△ACG是等腰直角三角形，得∠AGC=∠GAC=45∘，得到∠AGB=135∘，将线段BC，DC之间的数量关系转化为线段BG与AD之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CA至点D，使AD=AB，射线AM⊥AB，点E在线段AB上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，其中AF=8，AE=2，请直接写出△ABC的面积．
【类比分析】
（3）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CA至点D、使AD=AB，射线AM⊥AB，点E在线段BA的延长线上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，若BC=7，AE=2，请直接写出△ADF的面积．
参考答案
1．（1）解：∵∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，
∴∠BAF=12∠DAB,∠EBF=12∠CBE，
∵∠F+∠BAF=∠EBF，
∴∠F=∠EBF−∠BAF，
∴∠F=12∠CBE−12∠DAB，
∴∠F=12180°−∠CBA−12∠DAB=90°−12∠CBA+∠DAB，
∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，
∴∠F=90°−12360°−∠C+∠D=∠C+∠D2−90°，
∵∠D=145°，∠C=85°，
∴∠F=145°+85°2−90°=25°，
故答案为：25°．
（2）解：设分别在射线FA,FB上取一点M，点N，
∵∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，
∴∠MAB=12∠DAB,∠EBN=12∠CBE，
∵∠F+∠ABF=∠MAB，∠ABF=∠EBN，
∴∠F=∠MAB−∠ABF=∠MAB−∠EBN，
∴∠F=12∠DAB−12∠CBE，
∴∠F=12∠DAB−12180°−∠CBA=12∠CBA+∠DAB−90°，
∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，
∴∠F=12360°−∠C+∠D−90°=90°−∠C+∠D2，
∵∠D=64°，∠C=60°，
∴∠F=90°−64°+60°2=28°．
（3）解：如图，设FA,BG分别是∠DAB,∠CBE的角平分线，
则∠BAF=12∠DAB,∠EBG=12∠CBE；
∵FA∥BG，
∴∠BAF=12∠DAB=∠EBG=12∠CBE，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
2．(1) (8,0) (12,6)
(2)∠ABC+∠PMC−∠DPM=180∘或∠ABC=∠PMC−∠DPM，理由见解析
(3)(2,6)或(14,6)或(26,6)
【分析】（1）线段AB沿x轴向右平移12个单位，根据“右加左减”原则计算即可；
（2）根据点P为射线AD上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可；
（3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用△PNC的面积等于△AOB的面积列方程即可解答．
【详解】（1）根据坐标平移的规律，将线段AB沿x轴向右平移12个单位长度，纵坐标不变，横坐标加12，即C(8,0)，D(12,6)．
故C(8,0)，D(12,6)．
（2）解：①当点P在点D右边时，如图，过点M作ME∥AD，
∴∠DPM=∠PME，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，∠ADC+∠BCD=180∘
∴∠ADC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴ME∥BC，
∴∠ADC=∠DME=∠PME+∠DMP=∠DPM+∠DMP，
∴∠ABC=∠DPM+∠DMP，
∵∠DMP=180∘−∠PMC
∴∠ABC=∠DPM+180∘−∠PMC
即∠ABC+∠PMC−∠DPM=180∘
②当点P在点D左边时，

同理可得∠ADC=∠ABC，∠ADC=∠EMC，∠DPM=∠PME，
∴∠ABC=∠EMC=∠PMC−∠PME=∠PMC−∠DPM，
即∠ABC=∠PMC−∠DPM，
故三个角的关系为∠ABC+∠PMC−∠DPM=180∘或∠ABC=∠PMC−∠DPM．
（3）∵A0,6，B−4,0，
∴OA=6，OB=4，
∴S△AOB=12×4×6=12，
∵ON=OB，
∴ON=4，AN=2，
∵C(8,0)，D(12,6)
∴OC=8，OD=12，
①点P在点A右边，N在正半轴时，
可得S△PNC=S梯形AOCD−S△APN−S△PDC−S△NOC，
设Pm,6，则PD=12−m，
∴12×4×6=12+8×62−2m2−612−m2−4×82，
∴m=2，
∴P2,6；
N在负半轴时，点C在PN的下方时，
可得S△PNC=S梯形AOCD+S△NOC+S△PDC−S△APN，
设Pm,6，
∴12=12+8×62+1×4×82+1×m−12×62−1×m×6+42，
∴m=14，
∴P14,6；
②点P在点D右边，点C在PN的上方时如图，连接AC，
可得S△PNC=S△APN−S△ANC−SAPC，
设Pm,6，
∴12=1×m×6+42−1×6+4×82−1×m×62，
∴m=26，
∴P26,6，
故P点的坐标为2,6或14,6或26,6．
【点睛】本题围绕平面直角坐标系中的平移变换展开，综合考查以下知识点：平面直角坐标系与点的平移，平行线的性质与判定，三角形面积计算，分类讨论思想；解题的关键点在于：平移坐标的确定，角度关系的转化，面积公式的应用，分类讨论的实施；易错点在于：平移坐标错误，角度关系推导错误，面积计算错误，分类讨论遗漏．
3．(1)当CP=10时，△CPD与△CBD的面积相等
(2)45°或90°或67.5°或37.5°
(3)5
【分析】（1）证明△PCD≌△BCDSAS，即可得出结论；
（2）由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，再分PC=PD，DP=DC，CP=CD利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在AD上时，存在DP=DC，根据等腰三角形的性质求解即可；
（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P′，如图3所示：则MP′∥AC，证明△PCM≌△P′CMAAS得到MP=MP′，CP=CP′，则MP+ME=MP′+ME≥EP′，当点E、M、P′三点共线时取等号，此时MP+ME的最小值为EP′的长；由平行线的性质得∠BEP′=∠A=30°，由直角三角形的性质得BE=12AB=10，BP′=12BE=5，求出CP=CP′=BC−BP′=5即可．
【详解】（1）解：当CP=10时，△CPD与△CBD的面积相等，理由如下：
∵BC=10，
∴CP=BC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠PCD=∠BCD=12∠ACB=45°，
在△PCD和△BCD中，
CP=CB∠PCD=∠BCDCD=CD，
∴△PCD≌△BCDSAS，
∴△CPD与△CBD的面积相等．
（2）解：由（1）得：∠PCD=45°，
分两种情况：
①点P在AC上，如图1所示：
若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，
∴∠CPD=180°−45°−45°=90°；
若DP=DC时，则∠CPD=∠PCD=45°；
若CP=CD，
则∠CPD=∠CDP=12×180°−45°=67.5°；
②点P在AD上时，如图2所示：
存在DP=DC，
∴∠CPD=∠PCD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠CDP=∠BCD+∠B=45°+60°=105°，
∴∠CPD=12×180°−105°=37.5°；
综上所述，∠CPD的度数为45°或90°或67.5°或37.5°；
（3）解：当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P′，如图3所示：
则MP′∥AC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠PCM=∠P′CM，
又∵∠MPC=∠MP'C=90°，CM=CM，
∴△PCM≌△P′CMAAS，
∴MP=MP′，CP=CP′，
∴MP+ME=MP′+ME≥EP′，当点E、M、P′三点共线时取等号，
∴MP+ME的最小值为EP′的长，
此时EP′∥AC，则∠BEP′=∠A=30°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10
∴AB=2BC=20，
∵点E是斜边AB的中点，
∴BE=12AB=10
∴BP'=12BC=5
∴CP=CP′=BC−BP′=5.
故答案为：5．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．(1)见详解
(2)①见详解，②△AEF的周长10
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
（1）延长AD交BC于点M，利用SSS证明△ABD≌△ACD，则∠BAD=∠CAD，结合等边三角形的性质得AD⊥BC；
（2）①由等边三角形和已知∠EDF=60°得到∠DBC=∠DCB=30°，∠FCD=30°，∠BDG=∠FDC，可证明△DFC≌△DGB；
②延长CD和BD交AB和AC于点Q和P，在AC上取一点K，使KP=QE，连接DK，由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，结合等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°和∠BPC=∠CQB=90°，PC=12BC，BQ=12BC，进一步证明Rt△BDQ≌Rt△CDP，有DQ=PD，即可证明△DQE≌△DPK，有DE=DK,∠QDE=∠PDK，再次证明△EDF≌△KDF，即有EF=FK=FP+PK，结合三角形周长计算即可．
【详解】（1）证明：延长AD交BC于点M，如图1，
∴AB=AC，
∵BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACDSSS，
∴∠BAD=∠CAD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC；
（2）证明：①∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,∠FCD=30°，
∵∠EDF=60°，
∴∠FDC=120°，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠FDC=∠BDC=120°，
∴∠FDC=∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠GDC+∠FDC，即∠BDG=∠FDC，
则△DFC≌△DGBASA；
②延长CD和BD交AB和AC于点Q和P，在AC上取一点K，使KP=QE，连接DK，如图，
由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC=12BC，BQ=12BC，
∵BC=10，
∴PC=BQ=AQ=AP=12×10=5，
在Rt△BDQ和Rt△CDP，
BD=CDBQ=CP
∴Rt△BDQ≌Rt△CDPHL，
∴DQ=PD，
∵∠DQE=∠DPK=90°，
∵KP=QE，DQ=PD，
∴△DQE≌△DPKSAS，
∴DE=DK,∠QDE=∠PDK，
∵∠BDQ=60°,∠EDF=60°，
∴∠QDE+∠FDP=60°，
∴∠PDK+∠FDP=∠FDK=60°，
则∠FDK=∠EDF=60°，
∵FD=FD，DE=DK，
∴△EDF≌△KDFSAS，
∴EF=FK=FP+PK，
则△AEF的周长=AE+AF+EF
=AE+AF+FP+PK
=AE+AF+FP+QE
=AP+AQ
=5+5=10．
5．(1)120°
(2)①30；②12α°
(3)60°或90°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得∠OFE+∠OEF的结果，再由角平分线的定义可推出∠PEF+∠PFE的结果，据此由三角形内角和定理可得答案；
（2）①设∠OEF=2x，由三角形内角和定理可得∠OFE=120°−2x，则由平角的定义可得∠DFE=60°+2x，由角平分线的定义可推出∠OFP=∠DFG=30°+x，则∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°−x，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可；
（3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明∠P=12∠OFE；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出∠Q=90°−12∠OFE， 则可得到∠PEQ=90°；再分∠PEQ=2∠P和∠Q=2∠P两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵∠BOD=60°，
∴∠OFE+∠OEF=180°−∠EOF=120°；
∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，
∴∠PEF=12∠OEF，∠PFE=12∠OFE，
∴∠PEF+∠PFE=12∠OEF+12∠OFE=12∠OEF+12OFE=60°，
∴∠EPF=180°−∠PEF+∠PFE=120°；
（2）解：①设∠OEF=2x，
∵∠BOD=60°，
∴∠OFE=180°−∠OEF−∠EOF=120°−2x，
∴∠DFE=180°−∠OFE=60°+2x，
∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，
∴∠PEF=12∠OEF=x，∠DFG=12∠DFE=30°+x，
∴∠OFP=∠DFG=30°+x，
∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°−x，
∴∠P=180°−∠EFP−∠PEF=180°−150°+x−x=30°；
②设∠OEF=2y，
∵∠BOD=α°，
∴∠OFE=180°−∠OEF−∠EOF=180°−α°−2y，
∴∠DFE=180°−∠OFE=α°+2y，
∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，
∴∠PEF=12∠OEF=y，∠DFG=12∠DFE=12α°+y，
∴∠OFP=∠DFG=12α°+y，
∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=180°−12α°−y，
∴∠P=180°−∠EFP−∠PEF=180°−180°+12α°+y−y=12α°；
（3）解：∵OP平分∠AOD，EP平分∠OEF，
∴∠AOP=12∠AOD，∠AEP=12∠AEF；
∵∠AOD=∠OEF+∠OFE，∠AOP=∠P+∠AEP，
∴12∠OEF+∠OFE=∠P+12∠AEF，
∴∠P=12∠OFE；
∵EQ平分∠OEG，
∴∠OEQ=12∠OEG=12180°−∠OEF=90°−12∠OEF，
又∵∠EOQ=∠AOP=∠P+∠AEP=12∠OFE+12∠OEF，
∴∠Q=180°−∠OEQ−∠EOQ=90°−12∠OFE，
∴∠PEQ=180°−∠P−∠Q=90°；
当∠PEQ=2∠P时，则∠P=45°，
∴∠OFE=90°；
当∠Q=2∠P时，则2∠P=90°−∠P，
∴∠P=30°，
∴∠OFE=60°；
综上所述，∠OFE的度数为60°或90°．
6．(1)①70°，110°，40°；②∠CAM=70°；
(2)20cm
【分析】（1）①利用角平分线的性质易得∠DBM=90°，则可求得∠BDC=70°，同理得∠MEC=70°，得∠EBC+∠ECB=70°，由角平分线性质得∠ABC+∠ACB=140°，由三角形内角和即可求得∠BAC；
②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，由角平分线的性质定理得MG=MN，MH=MN，从而得MG=MH，点M在∠CAG的平分线上，
则∠CAM=12(180°−∠BAC)，再由①所求即可求解；
（2）过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H，由角平分线的性质定理得MG=MN，MH=MN，从而MG=MH=MN，设MN=a，利用四边形ABCM的面积等于S△ABC+S△AMC=S△ABM+S△ACM，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①∵BE、BD分别平分∠ABC及其补角，
∴∠DBM=∠CBM+∠CBD=12×180°=90°，
∵∠BMC=20°，
∴∠BDC=90°−∠BMC=70°，
同理∠MCE=90°，
∴∠MEC=90°−∠MBC=70°，
∴∠EBC+∠ECB=∠MEC=70°，∠BEC=180°−∠MEC=110°，
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=140°，
∴∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)=40°；
故答案为：70°，110°，40°；
②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1，
∵BE平分∠ABC，
∴MG=MN，
∵CD平分∠ACB的外角，且点M在直线CD上，
∴CM平分∠ACN，
∴MH=MN，
∴MG=MH，
∴点M为∠CAG的平分线，
∴∠CAM=12∠CAG=12(180°−∠BAC)
由①知，∠BAC=40°，
∴∠CAM=12(180°−40°)=70°；
（2）解：如图2，过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H，
∵BM平分∠ABC，
∴MG=MN，
∵CM平分∠ACN，
∴MH=MN，
即MG=MH=MN，
设MN=a，则MG=MH=MN=a，
∵四边形ABCM的面积等于S△ABC+S△AMC=S△ABM+S△ACM，
∴12AB⋅BC+12AC⋅MH=12AB⋅MG+12BC⋅MN，
即15×8+17a=15a+8a，
解得：a=20，
即MN=20cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理与判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，构造垂线以便利用角平分线的性质定理是解题的关键．
7．（1）1.5