2025-2026学年人教版数学八年级上册期末压轴题专项训练

这是一份2025-2026学年人教版数学八年级上册期末压轴题专项训练，共150页。

【解答】
证明：如图
，
作AG⟂CD于H，交BD于G，作∠ADW=135°，交AG于W，
∵AC绕点A逆时针旋转30°到AD，
∴AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ADC=∠ACD=75°，∠DAG=∠CAG=12∠CAD=15°，
AG平分CD，∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠CDB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=AD，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠ADB=30°，
∵∠CBF=∠ABC−∠ABD=45°−30°=15°，
∠DCG=∠CDB=∠ADC−∠ADB=75°−30°=45°，
∴∠CBF=∠DAW，∠CGD=90°，
∵CF⟂CD，
∴∠DCF=90°，
∴∠CFD=90°−∠CDB=90°−45°=45°，
∴∠BFC=180°−∠CFD=135°，CF=CD，
∴∠AFC=∠ADW，
在Rt△DWH中，∠W=180°−∠CAD−∠ADW=180°−15°−135°=30°，
∴DW=2DH，
∵CF=CD=2DH，
∴DW=CF，
∴△BCF≌△AWD（AAS），
∴BF=AD，
∴BF=AB。
如图，等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D是BF上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接FE，当△AFE的周长最小时，直接写出此时∠AEF的度数．
【解答】
证明：如图
作射线CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD绕点A逆时针旋转60°到AE，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠ACE=∠BAD，
∵BF是AC上的中线，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，
∴∠ACE=30°，
∴ 点E在与AC成30°的直线上运动，
作点A关于CE对称点A′，AA′交CE于O，连接A′F，交CE于E′，
当点E在E′处时，AE+EF最小，则△AFE的周长最小，
∴AE′=A′E′，
∴∠AA′E′=∠A′AE′，
∵∠AOC=90°，∠ACE=30°，
∴AC=2OA，∠ACO=60°，
∵AA′=2OA，
∴AA′=AC=AB，
∴∠AA′E′=∠ABA′=12∠BAA′=30°，
∴∠A′AE′=30°，
∴∠A′E′F=∠AA′E′+∠A′AE′=60°，
即当△AFE的周长最小时，直接写出此时∠AEF的度数为：60°.
已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．
（1）如下图，点E在AC边上，且AE=BP，连接BE交CP于点F．
①求证：BE=CP；
②填空：∠BFC=_______°；
（2）如下图，将CP绕点C顺时针旋转120°至CQ，即CP=CQ，∠PCQ=120°，连接BQ交AC于点D，试确定BP与CD满足的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如下图，在（2）的条件下，延长BC至点E，使CE=BP，连接QE，DE．在点P运动过程中，当S△APC=5S△QCE时，则S△QDE:S△BPC=_______．
【解答】
(1) ①
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABE和△BCP中，
AB=BC∠EAB=∠PBCAE=BP
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴BE=CP；
(1) ②
解：由①知，△ABE≌△BCP，
∴∠ABE=∠BCP，
∴∠CFE=∠CBE+∠BCP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠BFC=180°−∠CFE=120°，
故答案为：120；
（2）
BP+2CD=4；理由如下：
如图
在AC上截取AE=BP，连接BE，QE，
由（1）可知，BE=CP，∠BFC=120°，
∵CP=CQ，
∴BE=CQ，
∵∠QCP=120°，
∴∠BFC=∠QCP，
∴BE∥CQ，
∴∠EBD=∠CQD，∠DEB=∠DCQ，
在△EBD和△CQD中，
∠EBD=∠CQDBE=QC∠DEB=∠DCQ
∴△EBD≅△CQD（ASA），
∴ED=CD，BD=QD，
∵AE+CE=4，
∴BP+2CD=4；
(3)
证明：如图
延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM，
∵∠PCQ=120°，
∴∠BCP+∠MCQ=180°−120°=60°，
∵∠BCP+∠ACP=60°，
∴∠MCQ=∠ACP，
∵AC=BC=MC，CP=CQ，
∴△ACP≅△MCQ（SAS），∠M=∠A=60°，AP=MQ，MC=AC，MQ=AP，
∵AP=AB−BP，ME=MC−CE，MC=AC=AB，CM=BC=AB，
∴ME=AP=MQ，
∴△EMQ是等边三角形，
∵S△APC=5S△QCE，
∴S△MCQ=5S△QCE，
∴CE:EM=1:4，
∴BP:AP=1:4，
∴S△APC=4S△BPC，
∴S△QBE=65S△QCE=65S△APC，
∴S△QBE=245S△BPC，
由（2）知：BD=QD，
∴S△QDE=12S△QBE，
∴S△QDE=125S△BPC，
∴S△QDE:S△BPC=125，
故答案为：125．
（1）已知：如下图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD∥AB，P为BC边上一点，过点P作AP⟂PE，PE交直线CD于点E．求证：AP=PE；
（2）如下图，等腰△ABC中，AB=AC，CD∥AB，P为BC边上一点，过点P作∠APE=∠BAC，PE交直线CD于点E．求证：AP=PE；
（3）如下图，△ABC中，直线DF过点C，BC平分∠ACF，P为BC边上一点，连接AP，若∠ACP的度数为α，∠CAP的度数为β，
且0°