第19章 四边形 拔尖检测卷（含答案）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

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第19章 拔尖检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．一个六边形的内角和等于(　　)A．360° B．540° C．720° D．900°2．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为　　　(　　)A．1 B．5 C．2eq \r(2) D．eq \r(10)3．下列命题的逆命题是假命题的是(　　)A．矩形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是正方形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．菱形的对角线互相垂直平分4．如图，在“V”字形图形中，DE＝DF，BE＝CF，CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是(　　)A．BE的长 B．DE的长 C．AB的长 D．AB与BE的和5．如图，在正五边形ABCDE中，AD，CE相交于点F，连接BF，则∠CFD－∠CFB＝(　　)A．14° B．16° C．18° D．20°6.如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接DF，若S正方形ABCD＝6，BG＝2EF，则DF的长为(　　)A．2eq \r(2) B．eq \r(6) C．3 D．2eq \r(3)7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，OE⊥OC于点O，点F是EC的中点，OF⊥BD于点O，CD＝2，则OF的长为(　　)A．1 B．eq \f(4,5) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点P在线段AB上，连接CP.以下说法不正确的是(　　)A．当AP＝eq \f(9,5)时，△CPB是直角三角形 B．当AP＝eq \f(5,2)时，△CPB是等腰三角形C．当AP＝1时，△CPB是等腰三角形 D．当AP＝eq \f(12,7)时，CP平分∠ACB9．如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，则GH＝(　　)A．4 B．5 C．8 D．1010．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB的中点，则PB＋PQ的最小值为(　　)A．eq \r(65) B．eq \r(73) C．eq \r(109) D．eq \r(58)＋3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，它直观验证了多边形的一条性质，即：___________________________.　　12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________．13．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于eq \f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为________．14. 综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．操作一：如图，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；操作二：在AD上选一点P，沿BP所在直线折叠正方形纸片，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展开，连接PM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，BM.根据以上操作，回答下列问题：(1)∠PBQ＝________；(2)若正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝2 cm时，AP＝__________cm.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.求证：DF＝CD．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F分别是OC，BC的中点．若EF＝5 cm，求AC的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．你赞同小惠的证法吗？若赞同小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．18．如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点(即网格线的交点)A，B已给出．(要求：画出2个不同的正方形)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．【归纳与应用】归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图①是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：(1)【尝试归纳】请你根据图②，写出3条直角三角形的性质①______________________________________________________________；②______________________________________________________________；③______________________________________________________________.(2)【实践应用】小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图③，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．20．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积．六、(本题满分12分)21．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．(1)【问题发现】如图①，将正方形ABCD沿直线BE折叠，使点A落在平面内的点A′处，连接A′C．若∠ABE＝30°，则∠A′BC＝________．(2)【解决问题】如图②，第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．第二步：如图③，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展开，折痕EN所在直线是否是线段AB的垂直平分线？连接AN，图③中△ABN是什么特殊三角形？请说明理由．(3)【拓展应用】已知在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝6 cm，点P在边AD上，将△ABP沿着直线BP折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对称轴上，则AP的长为________．七、(本题满分12分)22．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用．例：求eq \r(1＋x2)＋eq \r((4－x)2＋4)(0＜x＜4)的最小值．解题思路：如图①，作线段BC＝4，分别构造直角边长为1，x和4－x，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，将其转化为求两点之间的线段长，过E作EF∥BC，交AB的延长线于F，易知AF＝3，EF＝4，∴在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝eq \r(32＋42)＝5，∴求得的最小值为5.【类比求值】(1)类比上面的解题思路，完成下面的填空：①eq \r(4＋x2)＋eq \r((12－x)2＋9)(0＜x＜12)的最小值为________；②eq \r(a2＋x2)＋eq \r((c－x)2＋b2)(a，b，c为正数，0＜x＜c)的最小值为____________．【解决问题】(2)如图②，在矩形花园ABCD中，AB＝30米，BC＝80米，计划要铺设BE，EC两条小路，点E在AD上．要使BE＋EC最小，设AE＝x米．①若用(1)中的结论，则BE＋EC的最小值为________；②若不用(1)中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来．八、(本题满分14分)23．综合与实践【问题情境】　已知四边形ABCD是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点．(1)如图①，将点P放在正方形ABCD的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与CD，CB的延长线交于点E，F，则PE与PF之间的数量关系为______________．【操作发现】(2)如图②，将点P放在正方形ABCD的对角线AC上，三角尺的两条直角边分别与CD，CB的延长线交于点E，F，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由．【拓广探索】(3)如图③，将点P放在正方形ABCD的边BC上(点P不与点B，C重合)，三角尺的一条直角边经过点A，另一条直角边与正方形的外角∠DCH的平分线CG相交于点E，试判断PA与PE之间的数量关系，并说明理由．答案一、1.C　2.D3. A　【点拨】A.逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故符合题意；B．逆命题：正方形的对角线相等，是真命题，故不符合题意；C．逆命题：平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故不符合题意；D．逆命题：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意．4.C　【点拨】如图，延长ED，FD分别交AC，AB于点G，H.∵CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC，∴四边形BEDH、四边形CFDG、四边形AGDH都是平行四边形．又∵DE＝DF，BE＝CF，∴HB＝ED＝FD＝CG，GA＝DH＝BE＝CF＝DG＝AH，∴BH＋AH＝CG＋AG＝BE＋ED＝DF＋FC＝AB，∴图形的周长为EB＋ED＋DF＋FC＋CG＋AG＋AH＋BH＝4AB，∴知道AB的长即可求出这个图形的周长．5. C　【点拨】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝∠AED＝∠CDE＝eq \f((5－2)×180°,5)＝108°，AE＝DE＝CD＝BC.∴∠EAD＝∠EDA＝eq \f(180°－∠AED,2)＝36°，∠DCE＝∠DEC＝eq \f(180°－∠CDE,2)＝36°.∴∠CFD＝∠CED＋∠EDA＝72°，∠BCF＝∠BCD－∠DCE＝72°，∠CDF＝∠CDE－∠EDF＝72°.∴∠CDF＝∠CFD.∴CD＝CF.∴CF＝CB.∴∠CFB＝eq \f(180°－∠BCF,2)＝54°.∴∠CFD－∠CFB＝18°.6. B　【点拨】由题意得BG＝AF.∵BG＝2EF，∴EF＝eq \f(1,2)BG＝eq \f(1,2)AF.又∵DE⊥AF，∴DE垂直平分AF.∴DF＝AD.∵S正方形ABCD＝6，∴DF＝AD＝eq \r(6).7. D　【点拨】∵OE⊥OC，∴∠EOC＝90°.又∵F是EC的中点，∴OF＝EF＝CF.设OF＝EF＝CF＝x.∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝2x.∴BF＝3x.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.又∵E为BC的中点，∴OE∥CD，OE＝eq \f(1,2)CD＝1.∴∠ACD＝∠EOC＝90°.∵OB＝OD，OF⊥BD，∴BF2－OF2＝OC2＋CD2.又∵OC2＝CE2－OE2，∴(3x)2－x2＝(2x)2－12＋22，解得x＝eq \f(\r(3),2)(负值已舍去)，即OF＝eq \f(\r(3),2).8. D　【点拨】过点C作CD⊥AB于点D，如图①.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5.∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD，∴eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(1,2)×5×CD，解得CD＝eq \f(12,5)，∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2))＝eq \f(9,5)，∴当AP＝eq \f(9,5)时，点P与点D重合，此时△CPB是直角三角形，故A正确，不符合题意；　　当AP＝eq \f(5,2)时，如图②.∵AB＝5，AP＝eq \f(5,2)，∴BP＝AB－AP＝eq \f(5,2)，∴AP＝BP，即点P是AB的中点，∴CP是Rt△ACB斜边上的中线，∴CP＝AP＝BP，∴△CPB是等腰三角形，故B正确，不符合题意；当AP＝1时，如图③.∵AB＝5，AP＝1，∴BP＝AB－AP＝4，∴BP＝BC，∴△CPB是等腰三角形，故C正确，不符合题意；若CP平分∠ACB，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，如图④，则PM＝PN.　　∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AC·PM＋eq \f(1,2)BC·PN，∴eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(1,2)×3×PM＋eq \f(1,2)×4×PM＝eq \f(7,2)PM，解得PM＝eq \f(12,7)，∴PN＝eq \f(12,7).易得MC＝PN＝eq \f(12,7)，∴AM＝AC－MC＝3－eq \f(12,7)＝eq \f(9,7)，∴AP＝eq \r(AM2＋PM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)))\s\up12(2))＝eq \f(15,7)，即当AP＝eq \f(15,7)时，CP平分∠ACB，故D不正确，符合题意．9. B　【点拨】如图，连接EG与HF交于点O，∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD；FG∥BD，FG＝eq \f(1,2)BD；EF∥AC，EF＝eq \f(1,2)AC；GH∥AC，GH＝eq \f(1,2)AC.∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，∴四边形EFGH是菱形．∴EG⊥HF，OH＝eq \f(1,2)HF＝3，OG＝eq \f(1,2)EG，∴∠HOG＝90°，∵四边形EFGH的面积为24，HF＝6，∴24＝eq \f(1,2)×6×EG，解得EG＝8.∴OG＝eq \f(1,2)EG＝4，在Rt△HOG中，GH＝eq \r((OH)2＋(OG)2)＝eq \r(32＋42)＝5.10. C　【点拨】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝6.如图，过点P作PD⊥AC，交AC于点D.∵△ACP的面积为3，S△ACP＝eq \f(1,2)×AC×PD，∴PD＝1.过点P作直线l∥AC，则直线l上任意一点到直线AC的距离为1，∴点P在直线l上运动且在△ABC内，∴点B到直线l的距离为7.作点B关于直线l的对称点E，连接PE，EQ，∴EP＝BP，BE＝14，∴PB＋PQ＝EP＋PQ≥EQ，即EQ的长为PB＋PQ的最小值．过Q作QF⊥BC，交BC于点F，连接CQ.∵点Q为AB的中点，∴BQ＝AQ＝CQ＝5.∵QF⊥BC，∴CF＝BF＝eq \f(1,2)BC＝4.∴QF＝eq \r(BQ2－BF2)＝3.∵BE＝14，BF＝4，∴EF＝10，∴EQ＝eq \r(EF2＋QF2)＝eq \r(109).∴PB＋PQ的最小值为eq \r(109).二、11.多边形的外角和为360°　12.113. 4eq \r(3)　【点拨】如图，连接AN，由作图可知，MN垂直平分AC，∴AN＝CN，∵点N恰为BC的中点，∴BC＝2BN＝2CN，∵BC＝2AB＝8，∴BN＝CN＝AB＝4，∴BN＝AN＝AB＝CN＝4，∴△ABN是等边三角形，∠CAN＝∠ACN，∴∠BAN＝∠ANB＝60°，∵∠CAN＋∠ACN＝∠ANB，∴∠CAN＝∠ACN＝eq \f(1,2)∠ANB＝30°，∴∠BAC＝∠BAN＋∠CAN＝90°，∴AC＝eq \r(BC2－AB2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3).14.(1)45°　(2)eq \f(24,5)或eq \f(8,7)　【点拨】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC.由折叠的性质知∠BMP＝∠A＝90°，∠ABP＝∠MBP，AB＝BM，∴BC＝BM，∠BMQ＝90°＝∠C.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，∴∠MBQ＝∠CBQ，∴∠PBQ＝∠PBM＋∠MBQ＝eq \f(1,2)(∠ABM＋∠MBC)＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°.(2)∵四边形ABCD是边长为8 cm的正方形，∴AD＝CD＝8 cm.由折叠的性质可得DF＝CF＝eq \f(1,2)CD＝4 cm，AP＝PM.∵Rt△BQM≌Rt△BQC，∴MQ＝CQ.当点Q在线段CF上时，∵FQ＝2 cm，∴MQ＝CQ＝2 cm，DQ＝6 cm.∴PQ＝PM＋2＝AP＋2.∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴(AP＋2)2＝(8－AP)2＋62，解得AP＝eq \f(24,5) cm；当点Q在线段DF上时，如图．∵FQ＝2 cm，∴MQ＝CQ＝6 cm，DQ＝2 cm，∴PQ＝PM＋6＝AP＋6.∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴(AP＋6)2＝(8－AP)2＋22，解得AP＝eq \f(8,7) cm.综上所述，AP的长为eq \f(24,5) cm或eq \f(8,7) cm.三、15.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠F.∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.在△ABE和△DFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠F，,∠AEB＝∠DEF，,AE＝DE，))∴△ABE≌△DFE(AAS)，∴AB＝DF，∴DF＝CD.16.【解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB.∵E，F分别是OC，BC的中点，∴EF是△OCB的中位线，∴OB＝2EF＝2×5＝10(cm)，∴BD＝2OB＝20 cm，∴AC＝BD＝20 cm.四、17.【解】不赞同小惠的证法，赞同小洁的说法，补充：AB＝CB(答案不唯一)．证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD.又∵AB＝CB，∴AB＝AD＝CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．18.【解】如图①②所示．五、19.【解】(1)①∠A＋∠B＝90°　②a2＋b2＝c2③c＞a(或c＞b)(2)四边形ADBE是菱形，证明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴DB＝DA＝eq \f(1,2)AC，∴四边形ADBE是菱形．20.(1)【证明】∵E为对角线AC的中点，且BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴BA＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形．(2)【解】如图，∵EB＝EF，CE＝CF＝4，∴∠3＝∠2＝∠1，设∠3＝∠2＝∠1＝α，∴∠4＝∠1＋∠2＝2α，∵BE⊥AC，∴∠3＋∠4＝90°，∴α＋2α＝90°，解得α＝30°，∴∠4＝60°，∠2＝∠3＝30°，∵BE⊥AC，∴BC＝2CE＝2×4＝8，∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CD＝BC＝8，∴∠FCG＝∠ABC，∠ECG＝∠BAC，∴∠FCG＝∠ECG，∵CF＝CE＝4，∴CG⊥EF，∵∠2＝30°，∴CG＝eq \f(1,2)CF＝2，∴FG＝eq \r(FC2－CG2)＝2eq \r(3)，∴S△DCF＝eq \f(1,2)CD×FG＝eq \f(1,2)×8×2eq \r(3)＝8eq \r(3).六、21.【解】(1)30°(2)折痕EN所在直线是线段AB的垂直平分线，△ABN是等边三角形，理由：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴AE＝BE，AB⊥EF，∴EN垂直平分AB.∴AN＝BN.由折叠的性质可得AB＝BN.∴AB＝BN＝AN，∴△ABN为等边三角形．(3)3 cm或eq \r(3) cm　【点拨】如图①，当点A′在BC上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°.由折叠可知A′B＝AB＝3 cm，∠BA′P＝∠A＝90°.∵BC＝6 cm，∴A′C＝3 cm＝A′B.∴点A′是BC的中点，∴点A′在矩形ABCD的对称轴上．∵∠A＝∠ABA′＝∠BA′P＝90°，A′B＝AB，∴四边形ABA′P是正方形，∴AP＝BA′＝3 cm.　　如图②，当点A′落在矩形ABCD的对称轴EF上时，连接AA′，由(2)可知△ABA′是等边三角形，∴∠ABA′＝60°，∴易得∠ABP＝∠A′BP＝30°，∴BP＝2AP.∵BP2＝AP2＋AB2，AB＝3 cm，∴(2AP)2＝AP2＋9，解得AP＝eq \r(3) cm(负值已舍去)．综上所述，AP的长为3 cm或eq \r(3) cm.七、22.【解】(1)①13②eq \r((a＋b)2＋c2)(2)①100米　【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝80米，CD＝AB＝30米．∵AE＝x米，∴DE＝(80－x)米，由勾股定理，得BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝eq \r(302＋x2)(米)，CE＝eq \r(DE2＋CD2)＝eq \r((80－x)2＋302)(米)，∴BE＋CE＝eq \r(302＋x2)＋eq \r((80－x)2＋302)(米)．由(1)中结论可得BE＋CE的最小值为eq \r((30＋30)2＋802)＝100(米)．②如图，作点B关于AD的对称点B′，连接B′E，B′C，则AB′＝AB＝30米，B′E＝BE，∴BE＋CE＝B′E＋CE≥B′C，BB′＝60米．∴当B′，E，C三点共线时，BE＋CE的值最小，最小值为B′C的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴B′C＝eq \r(B′B2＋BC2)＝100米，∴BE＋CE的最小值为100米．八、23.【解】(1)PE＝PF　【点拨】∵四边形ABCD为正方形，点P与点A重合，∴PB＝PD，∠BPD＝∠D＝∠PBC＝90°.∴∠PBF＝90°＝∠D.由题意，得∠EPF＝90°.∴∠FPE－∠BPE＝∠DPB－∠BPE，即∠FPB＝∠EPD.在△PED和△PFB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DPE＝∠BPF，,PD＝PB，,∠D＝∠PBF，))∴△PED≌△PFB(ASA)．∴PE＝PF.(2)成立．理由如下：如图①，过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N，则∠PMC＝∠PNE＝∠PMF＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，CA为∠BCD的平分线，∴PN＝PM，∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNE－∠BCD＝90°.∵∠EPF＝90°，∴∠MPN＝∠EPF，∴∠MPN－∠MPE＝∠EPF－∠MPE，即∠NPE＝∠MPF.在△PEN和△PFM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠NPE＝∠MPF，,PN＝PM，,∠PNE＝∠PMF，))∴△PEN≌△PFM(ASA)．∴PE＝PF.　　(3)PA＝PE.理由如下：如图②，在BA上截取BF＝BP，连接PF，则∠BFP＝∠BPF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°， AB＝BC，∴∠DCH＝180°－∠BCD＝90°，∠BFP＝45°，AB－BF＝BC－BP，即AF＝PC.∴∠AFP＝180°－∠BFP＝135°.∵CG是∠DCH的平分线，∴∠DCG＝eq \f(1,2)∠DCH＝45°，∴∠PCE＝∠BCD＋∠DCG＝135°，∴∠AFP＝∠PCE.∵∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠APB＋∠FAP＝90°，∴∠FAP＝∠CPE.在△AFP和△PCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAP＝∠CPE，,AF＝PC，,∠AFP＝∠PCE，))∴△AFP≌△PCE(ASA)，∴PA＝PE.小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD．∴四边形ABCD是菱形.小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.