沪科版（2024）数学八年级下册 第19章 四边形 章节测试(试卷含答案）

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第19章 四边形 章节测试一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．下列图形中不是凸多边形的是(　　)2．数学课上，四名同学用了不同方法探索六边形的内角和，其中瑶瑶的方法是：180°×5－180°＝720°，她画出的图形是(　　)3．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠BAC的度数为(　　)A．45° B．40° C．35° D．30°(第3题)　(第4题)4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是(　　)A．AD＝BC B．AB＝CDC．AD∥BC D．∠A＝∠C5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝12，DC＝5，则△AOB的周长是(　　)A．13 B．15 C．17 D．18(第5题)　(第6题)6．如图，四边形ABCD、四边形AECF分别是菱形与正方形．若∠BAE＝20°，则∠ABC＝(　　)A．40° B．45° C．50° D．55°7．为更好地开展劳动教育课程，学校计划在一块▱OABC空地(如图)上修建一条笔直的小路(小路宽度忽略不计)．有两个要求：①经过BC边上一点P；②将▱OABC分成面积相等的两部分，则小路除了经过点P外，还经过(　　)A．点AB．OB的中点C．OA的中点D．AB边上的H点，且AH＝CP8．图①是AI为某创意图书馆设计的一款壁灯图案，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①的图案中提取的图形，正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形，若正八边形的边长为2，则菱形IJEK的面积为(　　)A．4 eq \r(2) B．3 eq \r(2) C．2 eq \r(2) D．29．如图，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作▱AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作▱AO1C2B，对角线交于点O2，…，以此类推，则▱AOnCn＋1B(n为正整数)的面积为(　　)A.eq \f(5,2n－2) cm2 B.eq \f(5,2n－1) cm2C.eq \f(5,2n) cm2 D.eq \f(5,2n＋2) cm210．如图，边长为3的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为(　　)A．3(eq \r(3)－1) B．3(3 eq \r(3)－2)C．6(eq \r(3)－1) D．6(3 eq \r(3)－2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，BD＝4，则AC＝________.(第11题)　　(第12题)12．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是________.13．如图，折叠矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，再展开得到折痕EF，再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，AM为折痕，展开纸片后∠DAG的大小为________.(第13题)　　(第14题)14．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，点F是DE上的一动点，G为AF的中点，连接CG.(1)∠BAE＝________；(2)若AB＝2，则CG的最小值为__________．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，(1)求这个多边形的边数；(2)求该多边形共有多少条对角线.16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.求证：BM＝MN.四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．图①、图②分别是6×7的网格，网格中每个小正方形的边长均为1.请按下列要求画出图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上．(1)在图①中画出一个周长为8 eq \r(5)的菱形ABCD(非正方形)；(2)在图②中画出一个面积为9，且∠MNP＝45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度.18．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，连接BE，DF，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，FG.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)若▱ABCD的面积为20，DE＝2AE，则四边形EGFH的面积是________.五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD, 两线交于点E, 连接 OE，AE，AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD; (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，则AE的长为________.六、(本题满分12分)21．小华与小红一起研究一个尺规作图问题：如图①，已知E是▱ABCD边BC上一点(不包含B，C)，连接AE，用尺规作CF∥AE，其中F是边AD上一点．小红：如图②，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点F，连接CF，则CF∥AE.小华：以点C为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点F，连接CF，则CF∥AE.小红：小华，你的作法有问题．小华：哦……我明白了！(1)根据小红的作法，证明：CF∥AE.(2)指出小华作法中存在的问题．七、(本题满分12分)22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4 cm，AD＝12 cm，BC＝13 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3 cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为t s.(1)若点P和点Q同时运动了3 s，PQ与CD有什么数量关系？并说明理由；(2)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQBA是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．八、(本题满分14分)23．综合与实践【模型探索】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，若AF⊥BE，则AF与BE的数量关系为________；【模型应用】如图②，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕交AD于点M，交BC于点N，连接BE，求折痕MN的长度；【迁移应用】如图③，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B′处，连接BB′，并延长交CD于点E.若CE＝5，求EB′的长度．答案一、1.A　2.D　3.C　4.A　5.D　6.C　7.B　8.C9．B　10.A二、11.8　12.2013．60°　点拨：如图所示，设折痕AM交EF于点N.由题意易得∠1＝∠2，∠DAB＝∠D＝∠AGM＝90°，AB∥EF∥DC，AE＝DE，∴AN＝MN，∴NG＝eq \f(1,2)AM，∴AN＝NG，∴∠2＝∠4.∵EF∥AB，∴∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝eq \f(1,3)×90°＝30°，∴∠DAG＝∠1＋∠2＝60°.14．(1)30°　(2)eq \f(2\r(21),7)三、15.解：(1)设这个多边形的边数为n，根据题意得180°×(n－2)＝360°×3－180°，解得n＝7.所以这个多边形的边数为7.(2)eq \f(7×（7－3）,2)＝eq \f(7×4,2)＝14(条)，所以该多边形共有14条对角线．16．证明：∵在△CAD中，M，N分别是AC，CD的中点，∴MN＝eq \f(1,2)AD.∵在△ABC中，∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝eq \f(1,2)AC.∵AC＝AD，∴BM＝MN.四、17.解：(1)如图①，菱形ABCD即为所求．(2)如图②，▱MNPQ即为所求．较长的对角线的长度为3 eq \r(5).18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB.∵AE＝CF，∴AD－AE＝CB－CF，∴DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF.∵点G，H分别是BE，DF的中点，∴EG＝eq \f(1,2)BE，FH＝eq \f(1,2)DF，∴EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形．(2)eq \f(20,3)五、19.(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝eq \f(1,2)∠CAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq \f(1,2)∠BAC＋eq \f(1,2)∠CAM＝eq \f(1,2)×180°＝90°.∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明如下：由(1)知∠BAD＝∠DAC，四边形ADCE是矩形．∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝45°.由(1)知∠ADC＝90°，∴∠DCA＝45°，∴DC＝AD.∴四边形ADCE是正方形．20．(1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，AC，BD为对角线，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴▱OCED是矩形．∴OE＝CD.(2)2 eq \r(7)　点拨：∵四边形ABCD为菱形，且边长为4，∴BC＝AD＝AB＝4，AO＝CO＝eq \f(1,2)AC.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4.∴AO＝2.∵AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.在Rt△AOD中，由勾股定理得OD＝eq \r(AD2－AO2)＝eq \r(42－22)＝2 eq \r(3).由(1)得四边形OCED是矩形，∴ CE＝OD＝2 eq \r(3)，∠OCE＝90°.在Rt△ACE中，由勾股定理得AE＝eq \r(AC2＋CE2)＝eq \r(42＋（2 \r(3)）2)＝2 eq \r(7).六、21.(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，即CE∥AF，∵CE＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，∴CF∥AE.(2)解：以C为圆心，AE长为半径作弧，与AD可能有两个交点，故小华的作法存在问题．七、22.解：(1)PQ＝CD，理由如下：由题意，得AP＝t cm，CQ＝3t cm.∵AD＝12 cm，∴PD＝(12—t)cm.当t＝3时，DP＝9 cm，CQ＝9 cm，∴DP＝CQ.∵DP∥CQ，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PQ＝CD.(2)存在．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∴易知当AP＝BQ时，四边形PQBA是矩形，∵CQ＝3t cm，BC＝13 cm，∴BQ＝(13—3t)cm.又∵AP＝t cm，∴t＝13—3t，解得t＝3.25，∴当t＝3.25时，四边形PQBA是矩形．(3)不存在．理由：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED为矩形，∴DE＝AB＝4 cm，BE＝AD＝12 cm，∴CE＝BC－BE＝1 cm，由(1)知：当t＝3时，四边形PQCD为平行四边形，CQ＝9 cm.由勾股定理，得CD＝eq \r(DE2＋CE2)＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17)≠CQ，∴四边形CDPQ不可能为菱形．八、23.解：【模型探索】AF＝BE【模型应用】如图，过点C作CP∥MN交AD于点P.∵将边长为2的正方形ABCD折叠，点B落在CD边的中点E处，∴点B与点E关于MN对称，∴BE⊥MN，∴CP⊥BE.∵点E是CD边的中点，∴CE＝eq \f(1,2)CD＝1，∴BE＝eq \r(BC2＋CE2)＝eq \r(5).结合【模型探索】知CP＝BE＝eq \r(5).∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC.又∵CP∥MN，∴四边形CPMN是平行四边形，∴MN＝CP＝eq \r(5).【迁移应用】设BB′与AF交于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°.∵BC＝12，CE＝5，∴BE＝eq \r(BC2＋CE2)＝13.∵将△ABF沿AF折叠，点B落在点B′处，∴点B与点B′关于AF对称，∴BE⊥AF，BB′＝2BH.由【模型探索】知，AF＝BE＝13，∴BF＝eq \r(AF2－AB2)＝5.∵S△ABF＝eq \f(1,2)AB·BF＝eq \f(1,2)AF·BH，∴BH＝eq \f(AB·BF,AF)＝eq \f(12×5,13)＝eq \f(60,13)，∴BB′＝eq \f(120,13)，∴EB′＝13－eq \f(120,13)＝eq \f(49,13).