沪科版（2024）数学八年级下册 第19章 四边形 章节能力测试(试卷含答案）

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第19章 四边形 章节能力测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．一个六边形的内角和等于(　　) A．360° B．540° C．720° D．900° 2．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为　　　(　　) A．1 B．5 C．2eq \r(2) D．eq \r(10) 3．下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A．矩形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是正方形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．菱形的对角线互相垂直平分 4．如图，在“V”字形图形中，DE＝DF，BE＝CF，CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是(　　) A．BE的长 B．DE的长 C．AB的长 D．AB与BE的和 5．如图，在正五边形ABCDE中，AD，CE相交于点F，连接BF，则∠CFD－∠CFB＝(　　) A．14° B．16° C．18° D．20° 6.如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接DF，若S正方形ABCD＝6，BG＝2EF，则DF的长为(　　) A．2eq \r(2) B．eq \r(6) C．3 D．2eq \r(3) 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，OE⊥OC于点O，点F是EC的中点，OF⊥BD于点O，CD＝2，则OF的长为(　　) A．1 B．eq \f(4,5) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2) 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点P在线段AB上，连接CP.以下说法不正确的是(　　) A．当AP＝eq \f(9,5)时，△CPB是直角三角形 B．当AP＝eq \f(5,2)时，△CPB是等腰三角形 C．当AP＝1时，△CPB是等腰三角形 D．当AP＝eq \f(12,7)时，CP平分∠ACB 9．如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，则GH＝(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB的中点，则PB＋PQ的最小值为(　　) A．eq \r(65) B．eq \r(73) C．eq \r(109) D．eq \r(58)＋3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．如图，它直观验证了多边形的一条性质，即：___________________________.　　 12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________． 13．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于eq \f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为________． 14. 综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：如图，对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开； 操作二：在AD上选一点P，沿BP所在直线折叠正方形纸片，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展开，连接PM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，BM. 根据以上操作，回答下列问题： (1)∠PBQ＝________； (2)若正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝2 cm时，AP＝__________cm. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.求证：DF＝CD． 16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F分别是OC，BC的中点．若EF＝5 cm，求AC的长． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 你赞同小惠的证法吗？若赞同小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 18．如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点(即网格线的交点)A，B已给出．(要求：画出2个不同的正方形) 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．【归纳与应用】 归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图①是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙： (1)【尝试归纳】请你根据图②，写出3条直角三角形的性质 ①______________________________________________________________； ②______________________________________________________________； ③______________________________________________________________. (2)【实践应用】小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图③，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论． 20．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G. (1)求证：▱ABCD是菱形； (2)若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 六、(本题满分12分) 21．折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识． (1)【问题发现】如图①，将正方形ABCD沿直线BE折叠，使点A落在平面内的点A′处，连接A′C．若∠ABE＝30°，则∠A′BC＝________． (2)【解决问题】如图②，第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开． 第二步：如图③，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展开，折痕EN所在直线是否是线段AB的垂直平分线？连接AN，图③中△ABN是什么特殊三角形？请说明理由． (3)【拓展应用】已知在矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝6 cm，点P在边AD上，将△ABP沿着直线BP折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对称轴上，则AP的长为________． 七、(本题满分12分) 22．“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求eq \r(1＋x2)＋eq \r((4－x)2＋4)(0＜x＜4)的最小值． 解题思路：如图①，作线段BC＝4，分别构造直角边长为1，x和4－x，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，将其转化为求两点之间的线段长，过E作EF∥BC，交AB的延长线于F，易知AF＝3，EF＝4，∴在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝eq \r(32＋42)＝5，∴求得的最小值为5. 【类比求值】(1)类比上面的解题思路，完成下面的填空： ①eq \r(4＋x2)＋eq \r((12－x)2＋9)(0＜x＜12)的最小值为________； ②eq \r(a2＋x2)＋eq \r((c－x)2＋b2)(a，b，c为正数，0＜x＜c)的最小值为____________． 【解决问题】(2)如图②，在矩形花园ABCD中，AB＝30米，BC＝80米，计划要铺设BE，EC两条小路，点E在AD上．要使BE＋EC最小，设AE＝x米． ①若用(1)中的结论，则BE＋EC的最小值为________； ②若不用(1)中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 八、(本题满分14分) 23．综合与实践 【问题情境】 　已知四边形ABCD是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点． (1)如图①，将点P放在正方形ABCD的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与CD，CB的延长线交于点E，F，则PE与PF之间的数量关系为______________． 【操作发现】 (2)如图②，将点P放在正方形ABCD的对角线AC上，三角尺的两条直角边分别与CD，CB的延长线交于点E，F，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓广探索】 (3)如图③，将点P放在正方形ABCD的边BC上(点P不与点B，C重合)，三角尺的一条直角边经过点A，另一条直角边与正方形的外角∠DCH的平分线CG相交于点E，试判断PA与PE之间的数量关系，并说明理由． 答案 一、1.C　2.D 3. A　【解析】A.逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故符合题意； B．逆命题：正方形的对角线相等，是真命题，故不符合题意； C．逆命题：平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故不符合题意； D．逆命题：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意． 4.C　【解析】如图，延长ED，FD分别交AC，AB于点G，H. ∵CF∥DE∥AB，BE∥DF∥AC， ∴四边形BEDH、四边形CFDG、四边形AGDH都是平行四边形． 又∵DE＝DF，BE＝CF， ∴HB＝ED＝FD＝CG，GA＝DH＝BE＝CF＝DG＝AH， ∴BH＋AH＝CG＋AG＝BE＋ED＝DF＋FC＝AB， ∴图形的周长为EB＋ED＋DF＋FC＋CG＋AG＋AH＋BH＝4AB， ∴知道AB的长即可求出这个图形的周长． 5. C　【解析】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝∠AED＝∠CDE＝eq \f((5－2)×180°,5)＝108°，AE＝DE＝CD＝BC. ∴∠EAD＝∠EDA＝eq \f(180°－∠AED,2)＝36°，∠DCE＝∠DEC＝eq \f(180°－∠CDE,2)＝36°. ∴∠CFD＝∠CED＋∠EDA＝72°，∠BCF＝∠BCD－∠DCE＝72°，∠CDF＝∠CDE－∠EDF＝72°. ∴∠CDF＝∠CFD. ∴CD＝CF.∴CF＝CB. ∴∠CFB＝eq \f(180°－∠BCF,2)＝54°. ∴∠CFD－∠CFB＝18°. 6. B　【解析】由题意得BG＝AF. ∵BG＝2EF，∴EF＝eq \f(1,2)BG＝eq \f(1,2)AF. 又∵DE⊥AF， ∴DE垂直平分AF. ∴DF＝AD. ∵S正方形ABCD＝6， ∴DF＝AD＝eq \r(6). 7. D　【解析】∵OE⊥OC，∴∠EOC＝90°. 又∵F是EC的中点，∴OF＝EF＝CF. 设OF＝EF＝CF＝x. ∵E为BC的中点， ∴BE＝CE＝2x. ∴BF＝3x. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. 又∵E为BC的中点， ∴OE∥CD，OE＝eq \f(1,2)CD＝1. ∴∠ACD＝∠EOC＝90°. ∵OB＝OD，OF⊥BD， ∴BF2－OF2＝OC2＋CD2. 又∵OC2＝CE2－OE2， ∴(3x)2－x2＝(2x)2－12＋22， 解得x＝eq \f(\r(3),2)(负值已舍去)，即OF＝eq \f(\r(3),2). 8. D　【解析】过点C作CD⊥AB于点D，如图①. ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋42)＝5. ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD， ∴eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(1,2)×5×CD， 解得CD＝eq \f(12,5)， ∴AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2))＝eq \f(9,5)， ∴当AP＝eq \f(9,5)时，点P与点D重合，此时△CPB是直角三角形，故A正确，不符合题意； 　　 当AP＝eq \f(5,2)时，如图②. ∵AB＝5，AP＝eq \f(5,2)， ∴BP＝AB－AP＝eq \f(5,2)， ∴AP＝BP，即点P是AB的中点， ∴CP是Rt△ACB斜边上的中线， ∴CP＝AP＝BP， ∴△CPB是等腰三角形，故B正确，不符合题意； 当AP＝1时，如图③. ∵AB＝5，AP＝1， ∴BP＝AB－AP＝4， ∴BP＝BC， ∴△CPB是等腰三角形， 故C正确，不符合题意； 若CP平分∠ACB，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，如图④，则PM＝PN. 　　 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AC·PM＋eq \f(1,2)BC·PN， ∴eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(1,2)×3×PM＋eq \f(1,2)×4×PM＝eq \f(7,2)PM， 解得PM＝eq \f(12,7)，∴PN＝eq \f(12,7).易得MC＝PN＝eq \f(12,7)， ∴AM＝AC－MC＝3－eq \f(12,7)＝eq \f(9,7)， ∴AP＝eq \r(AM2＋PM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)))\s\up12(2))＝eq \f(15,7)， 即当AP＝eq \f(15,7)时，CP平分∠ACB，故D不正确，符合题意． 9. B　【解析】如图，连接EG与HF交于点O， ∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD；FG∥BD，FG＝eq \f(1,2)BD；EF∥AC，EF＝eq \f(1,2)AC；GH∥AC，GH＝eq \f(1,2)AC.∵BD＝AC，∴EH＝FG＝EF＝GH，∴四边形EFGH是菱形．∴EG⊥HF，OH＝eq \f(1,2)HF＝3，OG＝eq \f(1,2)EG， ∴∠HOG＝90°，∵四边形EFGH的面积为24，HF＝6， ∴24＝eq \f(1,2)×6×EG，解得EG＝8. ∴OG＝eq \f(1,2)EG＝4， 在Rt△HOG中，GH＝eq \r((OH)2＋(OG)2)＝eq \r(32＋42)＝5. 10. C　【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝6. 如图，过点P作PD⊥AC，交AC于点D. ∵△ACP的面积为3，S△ACP＝eq \f(1,2)×AC×PD， ∴PD＝1. 过点P作直线l∥AC，则直线l上任意一点到直线AC的距离为1，∴点P在直线l上运动且在△ABC内， ∴点B到直线l的距离为7. 作点B关于直线l的对称点E，连接PE，EQ， ∴EP＝BP，BE＝14， ∴PB＋PQ＝EP＋PQ≥EQ， 即EQ的长为PB＋PQ的最小值． 过Q作QF⊥BC，交BC于点F，连接CQ. ∵点Q为AB的中点， ∴BQ＝AQ＝CQ＝5. ∵QF⊥BC，∴CF＝BF＝eq \f(1,2)BC＝4. ∴QF＝eq \r(BQ2－BF2)＝3. ∵BE＝14，BF＝4，∴EF＝10， ∴EQ＝eq \r(EF2＋QF2)＝eq \r(109). ∴PB＋PQ的最小值为eq \r(109). 二、11.多边形的外角和为360°　12.1 13. 4eq \r(3)　【解析】如图，连接AN，由作图可知，MN垂直平分AC， ∴AN＝CN，∵点N恰为BC的中点，∴BC＝2BN＝2CN， ∵BC＝2AB＝8，∴BN＝CN＝AB＝4，∴BN＝AN＝AB＝CN＝4，∴△ABN是等边三角形，∠CAN＝∠ACN， ∴∠BAN＝∠ANB＝60°，∵∠CAN＋∠ACN＝∠ANB，∴∠CAN＝∠ACN＝eq \f(1,2)∠ANB＝30°，∴∠BAC＝∠BAN＋∠CAN＝90°， ∴AC＝eq \r(BC2－AB2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3). 14.(1)45°　(2)eq \f(24,5)或eq \f(8,7)　【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC.由折叠的性质知∠BMP＝∠A＝90°，∠ABP＝∠MBP，AB＝BM，∴BC＝BM，∠BMQ＝90°＝∠C.又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，∴∠MBQ＝∠CBQ， ∴∠PBQ＝∠PBM＋∠MBQ＝eq \f(1,2)(∠ABM＋∠MBC)＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°. (2)∵四边形ABCD是边长为8 cm的正方形，∴AD＝CD＝8 cm. 由折叠的性质可得DF＝CF＝eq \f(1,2)CD＝4 cm，AP＝PM. ∵Rt△BQM≌Rt△BQC， ∴MQ＝CQ. 当点Q在线段CF上时，∵FQ＝2 cm， ∴MQ＝CQ＝2 cm，DQ＝6 cm. ∴PQ＝PM＋2＝AP＋2. ∵PQ2＝PD2＋DQ2， ∴(AP＋2)2＝(8－AP)2＋62，解得AP＝eq \f(24,5) cm； 当点Q在线段DF上时，如图． ∵FQ＝2 cm， ∴MQ＝CQ＝6 cm，DQ＝2 cm， ∴PQ＝PM＋6＝AP＋6. ∵PQ2＝PD2＋DQ2， ∴(AP＋6)2＝(8－AP)2＋22， 解得AP＝eq \f(8,7) cm. 综上所述，AP的长为eq \f(24,5) cm或eq \f(8,7) cm. 三、15.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠F. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE. 在△ABE和△DFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠F，,∠AEB＝∠DEF，,AE＝DE，)) ∴△ABE≌△DFE(AAS)， ∴AB＝DF，∴DF＝CD. 16.【解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BD＝2OB. ∵E，F分别是OC，BC的中点， ∴EF是△OCB的中位线， ∴OB＝2EF＝2×5＝10(cm)， ∴BD＝2OB＝20 cm， ∴AC＝BD＝20 cm. 四、17.【解】不赞同小惠的证法，赞同小洁的说法，补充：AB＝CB(答案不唯一)． 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD. ∴AB＝AD，CB＝CD. 又∵AB＝CB， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 18.【解】如图①②所示． 五、19.【解】(1)①∠A＋∠B＝90°　②a2＋b2＝c2 ③c＞a(或c＞b) (2)四边形ADBE是菱形，证明： ∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴DB＝DA＝eq \f(1,2)AC，∴四边形ADBE是菱形． 20.(1)【证明】∵E为对角线AC的中点，且BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC，∴BA＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形． (2)【解】如图， ∵EB＝EF，CE＝CF＝4，∴∠3＝∠2＝∠1， 设∠3＝∠2＝∠1＝α，∴∠4＝∠1＋∠2＝2α， ∵BE⊥AC，∴∠3＋∠4＝90°， ∴α＋2α＝90°，解得α＝30°，∴∠4＝60°，∠2＝∠3＝30°， ∵BE⊥AC，∴BC＝2CE＝2×4＝8， ∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CD＝BC＝8， ∴∠FCG＝∠ABC，∠ECG＝∠BAC， ∴∠FCG＝∠ECG， ∵CF＝CE＝4，∴CG⊥EF， ∵∠2＝30°，∴CG＝eq \f(1,2)CF＝2， ∴FG＝eq \r(FC2－CG2)＝2eq \r(3)， ∴S△DCF＝eq \f(1,2)CD×FG＝eq \f(1,2)×8×2eq \r(3)＝8eq \r(3). 六、21.【解】(1)30° (2)折痕EN所在直线是线段AB的垂直平分线，△ABN是等边三角形， 理由：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴AE＝BE，AB⊥EF，∴EN垂直平分AB.∴AN＝BN. 由折叠的性质可得AB＝BN. ∴AB＝BN＝AN，∴△ABN为等边三角形． (3)3 cm或eq \r(3) cm　【解析】如图①，当点A′在BC上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°. 由折叠可知A′B＝AB＝3 cm，∠BA′P＝∠A＝90°. ∵BC＝6 cm，∴A′C＝3 cm＝A′B. ∴点A′是BC的中点， ∴点A′在矩形ABCD的对称轴上． ∵∠A＝∠ABA′＝∠BA′P＝90°，A′B＝AB， ∴四边形ABA′P是正方形，∴AP＝BA′＝3 cm. 　　 如图②，当点A′落在矩形ABCD的对称轴EF上时，连接AA′， 由(2)可知△ABA′是等边三角形， ∴∠ABA′＝60°，∴易得∠ABP＝∠A′BP＝30°，∴BP＝2AP. ∵BP2＝AP2＋AB2，AB＝3 cm， ∴(2AP)2＝AP2＋9， 解得AP＝eq \r(3) cm(负值已舍去)． 综上所述，AP的长为3 cm或eq \r(3) cm. 七、22.【解】(1)①13 ②eq \r((a＋b)2＋c2) (2)①100米　【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝80米，CD＝AB＝30米． ∵AE＝x米，∴DE＝(80－x)米， 由勾股定理，得BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝eq \r(302＋x2)(米)，CE＝eq \r(DE2＋CD2)＝eq \r((80－x)2＋302)(米)， ∴BE＋CE＝eq \r(302＋x2)＋eq \r((80－x)2＋302)(米)． 由(1)中结论可得BE＋CE的最小值为eq \r((30＋30)2＋802)＝100(米)． ②如图，作点B关于AD的对称点B′，连接B′E，B′C， 则AB′＝AB＝30米，B′E＝BE， ∴BE＋CE＝B′E＋CE≥B′C， BB′＝60米． ∴当B′，E，C三点共线时，BE＋CE的值最小，最小值为B′C的长． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°， ∴B′C＝eq \r(B′B2＋BC2)＝100米， ∴BE＋CE的最小值为100米． 八、23.【解】(1)PE＝PF　【解析】∵四边形ABCD为正方形，点P与点A重合， ∴PB＝PD，∠BPD＝∠D＝∠PBC＝90°. ∴∠PBF＝90°＝∠D. 由题意，得∠EPF＝90°. ∴∠FPE－∠BPE＝∠DPB－∠BPE， 即∠FPB＝∠EPD. 在△PED和△PFB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DPE＝∠BPF，,PD＝PB，,∠D＝∠PBF，)) ∴△PED≌△PFB(ASA)． ∴PE＝PF. (2)成立．理由如下： 如图①，过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N， 则∠PMC＝∠PNE＝∠PMF＝90°. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，CA为∠BCD的平分线， ∴PN＝PM，∠MPN＝360°－∠PMC－∠PNE－∠BCD＝90°. ∵∠EPF＝90°， ∴∠MPN＝∠EPF， ∴∠MPN－∠MPE＝∠EPF－∠MPE， 即∠NPE＝∠MPF. 在△PEN和△PFM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠NPE＝∠MPF，,PN＝PM，,∠PNE＝∠PMF，)) ∴△PEN≌△PFM(ASA)．∴PE＝PF. 　　 (3)PA＝PE.理由如下： 如图②，在BA上截取BF＝BP，连接PF， 则∠BFP＝∠BPF. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， AB＝BC， ∴∠DCH＝180°－∠BCD＝90°，∠BFP＝45°， AB－BF＝BC－BP，即AF＝PC. ∴∠AFP＝180°－∠BFP＝135°. ∵CG是∠DCH的平分线， ∴∠DCG＝eq \f(1,2)∠DCH＝45°， ∴∠PCE＝∠BCD＋∠DCG＝135°， ∴∠AFP＝∠PCE. ∵∠APE＝90°，∴∠APB＋∠CPE＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠APB＋∠FAP＝90°， ∴∠FAP＝∠CPE. 在△AFP和△PCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAP＝∠CPE，,AF＝PC，,∠AFP＝∠PCE，)) ∴△AFP≌△PCE(ASA)，∴PA＝PE. 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD． ∴四边形ABCD是菱形.小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.