16.2.1单项式与单项式相乘-课件-2025-2026学年2024人教版数学八年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：16.2.1 单项式与单项式相乘副标题：人教版初中数学（八年级上册）制作人：[你的名字]日期：[具体日期]衔接提示：上节课我们学习了幂的乘方与积的乘方，这些运算都是整式乘法的基础。今天我们将进入整式乘法的第一部分 —— 单项式与单项式相乘，它是后续学习多项式乘法的关键。幻灯片 2：课程导入旧知回顾：单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也叫做单项式，如\(5\)、\(a\)）；幂的运算公式：同底数幂乘法：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)；积的乘方：\((ab)^n = a^n b^n\)；幂的乘方：\((a^m)^n = a^{mn}\)。情境问题：一个长方形的长为\(3a\)，宽为\(2b\)，它的面积是多少？（面积 = 长 × 宽，列式为\(3a \times 2b\)）；一个正方体的棱长为\(2x^2 y\)，它的体积是多少？（体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，列式为\(2x^2 y \times 2x^2 y \times 2x^2 y\)）；这些式子都是 “单项式与单项式相乘”，如何计算它们？今天我们就来探索单项式乘法的法则。幻灯片 3：探究单项式与单项式相乘的法则实例推导：计算下列单项式乘法，拆解计算过程：① \(3a \times 2b\)：系数相乘：\(3 \times 2 = 6\)；字母部分：\(a \times b = ab\)（不同字母直接相乘）；结果：\(3a \times 2b = (3 \times 2) \times (a \times b) = 6ab\)；② \(4x^2 y \times 5x^3\)：系数相乘：\(4 \times 5 = 20\)；同底数幂相乘：\(x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5\)；单独字母：\(y\)（仅在第一个单项式中出现，直接保留）；结果：\(4x^2 y \times 5x^3 = (4 \times 5) \times (x^2 \times x^3) \times y = 20x^5 y\)；③ \((-2a^2 b^3) \times 3a b^2\)：系数相乘（注意负号）：\(-2 \times 3 = -6\)；同底数幂相乘：\(a^2 \times a = a^{2+1} = a^3\)，\(b^3 \times b^2 = b^{3+2} = b^5\)；结果：\((-2a^2 b^3) \times 3a b^2 = (-2 \times 3) \times (a^2 \times a) \times (b^3 \times b^2) = -6a^3 b^5\)。规律总结：单项式与单项式相乘，可分为三步：系数相乘：把两个单项式的系数相乘，注意符号（同号得正，异号得负）；同底数幂相乘：对于相同字母，按照 “同底数幂乘法法则”（底数不变，指数相加）计算；单独字母保留：对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。幻灯片 4：单项式与单项式相乘的法则法则表述：文字语言：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；符号语言（以两个单项式为例）：若两个单项式分别为\(k a^m b^n\)和\(l a^p b^q\)（\(k\)、\(l\)为系数，\(a\)、\(b\)为字母，\(m\)、\(n\)、\(p\)、\(q\)为正整数），则：\( (k a^m b^n) \times (l a^p b^q) = (k \times l) \times (a^m \times a^p) \times (b^n \times b^q) = k l a^{m+p} b^{n+q} \)关键强调：系数相乘时，需先确定符号（负号参与运算），再计算绝对值；同底数幂相乘时，仅针对 “相同字母”，不同字母或单独字母需单独处理；最终结果需化为最简形式（系数为最简整数，字母的指数为最终结果）。幻灯片 5：例题讲解（基础应用）例题 1（不含负号的单项式乘法）：计算：\(2x^2 y \times 3x y^3\)。解题步骤：系数相乘：\(2 \times 3 = 6\)；同底数幂相乘：\(x^2 \times x = x^{2+1} = x^3\)，\(y \times y^3 = y^{1+3} = y^4\)；合并结果：\(2x^2 y \times 3x y^3 = 6x^3 y^4\)。例题 2（含负号的单项式乘法）：计算：\((-5a^3 b) \times (-4a b^2)\)。解题步骤：系数相乘（同号得正）：\((-5) \times (-4) = 20\)；同底数幂相乘：\(a^3 \times a = a^{3+1} = a^4\)，\(b \times b^2 = b^{1+2} = b^3\)；合并结果：\((-5a^3 b) \times (-4a b^2) = 20a^4 b^3\)。例题 3（含单独字母的单项式乘法）：计算：\(3m^2 n \times 7m n^2 p\)。解题步骤：系数相乘：\(3 \times 7 = 21\)；同底数幂相乘：\(m^2 \times m = m^3\)，\(n \times n^2 = n^3\)；单独字母保留：\(p\)（仅在第二个单项式中出现）；合并结果：\(3m^2 n \times 7m n^2 p = 21m^3 n^3 p\)。幻灯片 6：例题讲解（综合应用与特殊情况）例题 4（单项式的三次方，多个单项式相乘）：计算：\((2x y^2)^3 \times 3x^2 y\)。解题步骤：先算积的乘方：\((2x y^2)^3 = 2^3 x^3 (y^2)^3 = 8x^3 y^6\)；再算单项式乘法：\(8x^3 y^6 \times 3x^2 y\)；系数相乘：\(8 \times 3 = 24\)；同底数幂相乘：\(x^3 \times x^2 = x^5\)，\(y^6 \times y = y^7\)；结果：\(24x^5 y^7\)。例题 5（系数为分数的单项式乘法）：计算：\(\frac{1}{2}a^2 b \times \frac{2}{3}a b^3\)。解题步骤：系数相乘（分数相乘，约分后计算）：\(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)；同底数幂相乘：\(a^2 \times a = a^3\)，\(b \times b^3 = b^4\)；结果：\(\frac{1}{3}a^3 b^4\)。例题 6（特殊单项式：单独的数与单项式相乘）：计算：\(5 \times (-3x^2 y)\)。解题步骤：系数相乘：\(5 \times (-3) = -15\)；字母部分保留：\(x^2 y\)（数与字母相乘，字母部分直接保留）；结果：\(-15x^2 y\)。幻灯片 7：单项式乘法与幂的运算的对比运算类型处理对象核心步骤示例同底数幂乘法仅相同字母的幂底数不变，指数相加\(x^3 \times x^4 = x^7\)积的乘方单项式（数与字母的积）系数乘方，各字母分别乘方\((2x y^2)^3 = 8x^3 y^6\)单项式与单项式相乘两个或多个单项式1. 系数相乘（含符号）；2. 同底数幂相乘；3. 单独字母保留\(3x^2 y \times 4x y^3 = 12x^3 y^4\)联系单项式乘法是幂的运算的综合应用，需同时用到同底数幂乘法、积的乘方等法则幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）基础题：计算下列各式：① \(3a \times 4a^2\)；② \((-2x y) \times 5x y^2\)；③ \(\frac{1}{3}m n^2 \times 6m^2 n\)；若\(2x^3 y^2 \times (-3x^m y^n) = -6x^7 y^5\)，则 m=，n=（提示：同底数幂指数相加等于结果的指数）。提升题：3. 计算：① \((-2a^2 b)^2 \times 3a b^3\)；② \(4x^2 y \times (-2x y) \times 3x y^4\)；已知一个单项式与\(3x^2 y\)的积为\(12x^5 y^4\)，求这个单项式（提示：设单项式为 A，A×3x^2 y=12x^5 y^4，A=12x^5 y^4 ÷ 3x^2 y，后续将学除法，可先逆用乘法法则）。解题提示：第 2 题：3+m=7→m=4，2+n=5→n=3；第 3 题②：4×(-2)×3 = -24，x^2×x×x = x^4，y×y×y^4 = y^6，结果 =-24x^4 y^6；第 4 题：系数 12÷3=4，x^5÷x^2=x^3，y^4÷y=y^3，故单项式为 4x^3 y^3。幻灯片 9：易错点与注意事项系数符号错误：如计算\((-3x) \times 2x^2\)时，误写成\(6x^3\)（忽略负号），正确结果应为\(-6x^3\)；同底数幂指数运算错误：如计算\(x^2 \times x^3\)时，误写成\(x^6\)（混淆指数相加与相乘），正确结果应为\(x^5\)；遗漏单独字母：如计算\(2x y \times 3x^2\)时，误写成\(6x^3\)（遗漏字母 y），正确结果应为\(6x^3 y\)；多步运算顺序错误：如计算\((2x^2)^3 \times x^4\)时，先算乘法再算乘方（\(2x^2 \times x^4 = 2x^6\)，再算\((2x^6)^3 = 8x^{18}\)），正确顺序应为先算乘方（\(8x^6\)），再算乘法（\(8x^6 \times x^4 = 8x^{10}\)）。幻灯片 10：课堂小结核心知识梳理：类别具体内容单项式乘法法则1. 系数相乘（含符号，分数约分）；2. 同底数幂相乘（底数不变，指数相加）；3. 单独字母保留（连同指数）关键步骤先处理系数，再处理同底数幂，最后保留单独字母，多步运算需遵循 “先乘方，再乘法” 的顺序与幂运算的联系单项式乘法需综合运用同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等法则，是幂运算的实际应用场景特殊情况处理含负号：先定符号再算绝对值；含分数：约分后计算；含乘方：先算乘方再算乘法思想方法：体会 “分解与整合”（将单项式拆分为系数、同底数幂、单独字母分别处理，再整合结果）的思想，学会用分步计算的方法解决复杂单项式乘法问题。幻灯片 11：课后作业完成课本对应练习题（如习题 16.2 第 1、2 题）；计算下列各式：① \((-5a^2 b^3) \times 2a b^2\)；② \((3x^2 y)^2 \times (-4x y^3)\)；③ \(\frac{2}{3}m n^3 \times \frac{3}{4}m^2 n\)；拓展思考：① 已知单项式\(A = 2x^2 y\)，\(B = -3x y^2\)，求\(A \times B\)与\(A \times A \times B\)的值；② 若\((a x^m y^n) \times (3x^2 y) = 6x^5 y^3\)，求 a、m、n 的值。【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.幂的运算性质有哪几条？ 同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m，n都是正整数).幂的乘方法则：(am)n=amn ( m ， n都是正整数).积的乘方法则：(ab)n=anbn (n是正整数). x9x18–8a12b6a101回顾旧知单项式与单项式相乘 光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗?根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km.(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107. 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法这样书写规范吗？不规范，应为1.5×108. 怎样计算(3 ×105)×(5 ×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ 如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？ ac5 · bc2 =(a ·b) ·(c5·c2) (乘法的交换律、结合律) =abc5+2 (同底数幂的乘法) =abc7. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与单项式的乘法法则例1 计算： (1)3xy2·2y3 ； (2)(–5a2b)(–3a)； (3)(2x)3(–5xy2); (4)(-3x2y)2(-xy3)2.(2) (–5a2b)(–3a)= [(–5)×(–3)](a2•a)b= 15a3b.单项式乘单项式的法则的应用解:(1) 3xy2·2y3 =(3×2)x·(y2·y3)=6xy5.(3) (2x)3(–5xy2) =8x3(–5xy2)=[8×(–5)](x3•x)y2= –40x4y2.单项式与单项式相乘有理数的乘法与同底数幂的乘法(4) (-3x2y)2(-xy3)2=9x4y2·x2y6=9(x4·x2)(y2·y6)=9x6y8.由(ab)n=anbn,可知anbn=(ab)n,据此你能给出例1（4）的其他解法吗？(4) (-3x2y)2(-xy3)2=[(-3x2y)(-xy3)]2={[(-3)×(-1)](x2·x)(y·y3)}2=(3x3y4)2= 9x6y8.1. 在计算时，应先确定积的符号，积的系数等于各因式系数的积；2. 注意按顺序运算；3. 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；4. 此法则对三个及以上单项式相乘仍然适用．下面各题的计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)3a3 ·2a2=6a6 ( ) 改正： .(2)3x2 ·(-4x2) =-12x2 ( ) 改正： .(3) 5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： .(4)x2·y2(-xy3)2=x4y8( )改正： .3a3 ·2a2=6a5 3x2 ·(-4x2) =-12x4 5y3·3y5=15y8 ×××√计算：(1) 3x2 ·5x3 ； (2)6x2·3xy； (3) 4y ·(–2xy2)； (4)-2ab2·(-3ab).解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5； (2)原式=(6×3)(x2·x)y=18x3y； (3)原式=[4×(–2)](y·y2) ·x= –8xy3； (4)原式=[(-2)×(-3)](a·a)(b2·b)=6a2b3.单独因式x，y别漏乘、漏写有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.例2 已知–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．解：∵–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，∴m2＋n＝7.方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．解得∴m、n的值分别是1，2.解：∵∴∴单项式与多项式相乘如图，试求出三块草坪的总面积是多少？ 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____. pa+pb+pc总面积可表示为_________. 如果把它看成一个大长方形，那么它的长为________，面积可表示为_________. p(a+b+c)(a+b+c)pa+pb+pcp(a+b+c)p (a + b+ c)pb+pcpa+根据乘法的分配律 单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.单项式乘多项式的法则例1 计算：(1)(–4x)·(2x2+3x–1)； 解：(1)(–4x)·(2x2+3x–1)＝＝–8x3–12x2+4x.(–4x)·(2x2)(–4x)·3x(–4x)·(–1)++(2)原式单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘利用单项式乘多项式的法则进行运算方法总结：1.用单项式去乘多项式的每一项，结果是一个多项式，项数与因式中多项式的项数相同.2.含有混合运算的应注意运算顺序，有同类项必须合并同类项，从而得到最简结果. ①②③下列各题的解法是否正确，如果错了，指出错在什么地方，并改正过来.×××漏了字母c漏乘1符号没有变化例2 先化简，再求值：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)， 其中a＝–2.当a＝–2时，解：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)＝6a3–12a2＋9a–6a3–8a2＝–20a2＋9a.原式＝–20×(–2)2+9×(–2) = –20×4–9×2 ＝–98.方法总结：按运算法则进行化简，然后代入求值，特别注意的是代入“负数”要用括号括起来．单项式乘多项式的化简求值问题 先化简再求值:解:原式=原式=例3 如果(–3x)2(x2–2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值．方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.解：(–3x)2(x2–2nx＋2)＝9x2(x2–2nx＋2)＝9x4–18nx3＋18x2.∵展开式中不含x3项，∴n＝0.利用单项式乘多项式的法则求字母的值如果(x+a)x–2(x+a)的结果中不含x项，那么a的值为(　　) A.2　　 B.–2　　 C.0.5　 　D.–0.5解析：(x+a)x–2(x+a)=x2+ax–2x–2a =x2+(a–2)x–2a. ∵ x2+(a–2)x–2a中不含x项， ∴ a–2=0，即a=2. A C  D  返回    返回        返回 D   返回 C    返回    返回       返回单项式与单项式、多项式相乘单项式乘单项式实质上是转化为同底数幂的运算单项式乘多项式实质上是转化为单项式×单项式四点注意(1)计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负(2)不要出现漏乘现象(3)运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减(4)对于混合运算，注意最后应合并同类项必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！