人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.2 整式的乘法课时训练

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1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘法和同底数幂的除法。需逐一验证各选项是否符合运算法则.
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确，
故选D.
2．计算的结果是（ ）
A．B．－3C．3D．
【答案】D
【知识点】积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；利用指数运算性质，将原式拆分为同指数幂的乘积，简化后计算即可．
【详解】解：
；
故选D．
3．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材都安排了运用图形面积加以验证．我们加以推广，下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可．
【详解】解：选项中的阴影部分的面积可以用来解释，
故选：A．
4．计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】多个有理数的乘法运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查的是乘法与乘方的定义，掌握 “相同数相加” 与 “相同数相乘” 的表示方法是解题的关键．根据乘法定义，个相加可表示为；根据乘方定义，个相乘可表示为，进而得出式子的结果．
【详解】解：，
，
原式．
故选：．
5．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键．
根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算；
B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算；
C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算；
D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算．
故选：B．
6．若，，则的值为（ ）
A．12B．17C．72D．18
【答案】D
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的逆运算，把，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
7．若的展开式中不含项，则a的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值．
【详解】解：∵
，
又∵展开式中不含项，
∴，
∴．
故选：B．
8．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A．15B．10C．9D．6
【答案】B
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数．
【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和．
由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1，
因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1，
展开式中含项为从左向右第4项，系数为10，
故选：B．
二、填空题
9．，则
【答案】14
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘方，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方和同底数幂乘法得出，从而得出，即可得出．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：14．
10．计算：（ ）； ．
【答案】
；
．
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值、计算单项式除以单项式
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式、单项式乘以多项式，第一部分设所求表达式为，根据幂的乘方可得：，再利用单项式除以单项式求出结果；第二部分先计算积的乘方，再运用单项式乘以多项式进行计算．
【详解】解：设所求表达式为，
则 ，
，
，
；
．
故答案为：；．
11．若等式成立，则整数 ．
【答案】或2或0
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数．
【详解】解：要使 成立，需考虑以下情况：
1. 当指数时，即，此时底数，故，成立．
2. 当底数时，即，此时指数，故，成立．
3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立．
其他情况均不满足等式，故整数的值为．
故答案为：或2或0．
12．若整式是一个完全平方式，则常数 ．
【答案】或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方公式；根据完全平方式，整式应能写成的形式，通过比较系数求解．
【详解】解：设完全平方式为，展开得．
与给定整式比较系数，得
当时，；
当时，．
故答案为：或．
13．计算（结果用幂的形式表示）： ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式；
将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解．
【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和，
由题意得：．
由图形可得：
．
故阴影部分的面积为2.5．
故答案为：．
15．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式
【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键．
由前面、找出密码规律求解即可得到答案．
【详解】解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数；
由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数；
，
则他输入的密码是，
故答案为：．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案；
（2）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．利用整式乘法公式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键在于熟练掌握相关乘法公式的特点．
（1）先将302拆分为300加2，将298分为300减2，根据平方差公式求解，即可解题；
（2）结合（1）中方法用平方差公式将算式变形进行计算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算括号内，再合并括号内的同类项，结合多项式除以单项式，得，因为，得出，再代入计算，即可作答．
【详解】解：
∵，
∴，
解得，
故
19．求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知是正整数，且，求的值．
【答案】(1)x的值为1
(2)184
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值；
（2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
即，
，
解得；
（2）解：，
，
原式．
20．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值．
把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值；
把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值；
把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式
；
（2）解：
，
当时，
原式
；
（3）解：
，
当时，
原式
．
21．综合与实践
【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系．
【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片．
（1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______；
（2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________；
根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______；
【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式．
通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________．
【拓展延伸】
（3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值．
【答案】（1）0；（2），70，；（3）
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键．
（1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算．
（2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式．
（3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算．
【详解】（1）
∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为，
∴，，．
∴，
故答案为：．
（2）图2大正方形面积为，也可表示为，
∴等式为．
∵，，
∴
，
，
，
故答案依次为：；．
知识迁移：，
故答案为：．
（3）解：，，
，
，
原式．
22．阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
；
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)计算：．
(2)计算：．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
（1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；
（2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；
（3）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
23．以“形”释“数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．
如由图可以得到，由图可以得到．
现有四个长与宽分别为、的小长方形，按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题，
(1)观察图，用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式：_________；
(2)利用图，图，图的等式解决下列问题．
①已知，，则________；
②已知，，则________；
③已知，则________；
(3)如图4，在正方形中，，，其中四边形、、均为正方形，四边形、是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为30，求长方形的面积．
【答案】(1)；
(2)①；②；③；
(3)．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义及公式变形（如、），熟练掌握“通过图形面积建立公式关系”和“完全平方公式的灵活变形代入计算”是解题的关键．
（1）通过观察图形，从“阴影部分面积可直接表示”和“阴影部分面积大正方形面积个小长方形面积”两种计算角度，推导完全平方公式变形等式；
（2）利用完全平方公式的变形（如、），代入已知条件计算；
（3）设正方形的边长为，则，，根据阴影部分面积的和为，得出，令，，则，，根据完全平方公式可求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵阴影部分面积可表示为，阴影部分面积大正方形面积个小长方形面积，即，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，，
∴，
（3）故答案为：；
②∵，，，
∴，
故答案为：．
③设，，则，，
∵，
∴，
故答案为：；
解：设正方形的边长为，则，，
∴，
令，，
∴，，
∵，
∴，
∴长方形的面积为．