专题04 整式的乘法 2025-2026学年八年级上初中数学人教版2024期末复习讲义

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▉考点一 同底数幂的乘法
▉考点二 幂的乘方
1幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.例如(a³)⁴表示的是4个a³相乘，读作a的3次幂的4次方；同理，(am)n表示n个am相乘，读作a的m次幂的n次方.
▉考点三 积的乘方
1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.例如(ab)³,(ab)n等.
▉考点四 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
▉考点五 单项式与多项式相乘
▉考点六 多项式与多项式相乘
▉考点七 同底数幂的除法
▉考点八 零指数幂
当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，am÷an=am-n.那当m=n时，am÷an=am-n还成立吗?
猜想探究：
第①步：假设m=n时，同底数幂的除法的性质仍然成立，则a"÷
am=am-n=a⁰.
第②步：由除法的意义可得am÷an=am÷am=1.
第③步：比较上面两步，若要在m=n时也成立，需要规定a⁰=1(a≠0),才能保证运算结果的一致性.
归纳结论：
▉考点九 单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
▉考点十 多项式除以单项式
▉考点十一 平方差公式
1.探究(乘法的)平方差公式
(1)用多项式乘法推导平方差公式
(2)借助几何图形推导平方差公式
2.(乘法的)平方差公式：
3.平方差公式的结构特点：
(1)等号左边：是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项),另一项互为相反数(通常变形后放在第二项).
(2)等号右边：乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
4.平方差公式的变化及应用：
▉考点十二 完全平方公式
1.探究(乘法的)完全平方公式
(1)用多项式乘法推导完全平方公式
(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b².
(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b².
(2)借助几何图形推导完全平方公式
2.(乘法的)完全平方公式
3.完全平方公式的特点
(1)两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.
(2)两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是(加或减)二项式中两项乘积的2倍.
▉考点十三 添括号法则
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.即
一．同底数幂的乘法（共5小题）
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．a4•a3＝a12B．a4•a3＝a7C．a4+a3＝a7D．a4•a4＝2a4
2．下面计算正确的是（ ）
A．n3•n7＝n21B．a3+a5＝a8C．y4•y5＝y9D．b4•b4＝2b4
3．若3x＝4，3y＝7，则3x+y的值为（ ）
A．28B．14C．11D．18
4．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7B．10C．25D．32
5．已知x+y＝2，则3x•3y的值是（ ）
A．6B．8C．9D．12
二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a8B．（a4）2＝a8
C．（2ab）4＝2a4b4D．a8•a2＝a4
7．下列计算中，结果等于a8的是（ ）
A．a2•a4B．（a3）5C．a4+a4D．（a4）2
8．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c
9．下列运算不正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．（x2）3＝x6
C．x3+x3＝2x6D．（﹣2x）3＝﹣8x3
10．已知am＝3，an＝2，则a3m+2n＝（ ）
A．24B．36C．41D．108
11．比较233，322，511的大小，正确的是（ ）
A．233＞511＞322B．233＞322＞511
C．322＞233＞511D．322＞511＞233
三．同底数幂的除法（共4小题）
12．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a6C．（a3）2＝a9D．a6÷a2＝a4
13．下列运算一定正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6D．a8÷a6＝a2
14．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a3
15．下列运算中正确的是（ ）
A．b3•b3＝2b3B．x2•x3＝x6C．（a5）2＝a7D．a5÷a2＝a3
四．单项式乘单项式（共5小题）
16．下列运算正确的是（ ）
A．a7﹣a3＝a4B．3a2•2a2＝6a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a4÷a4＝a
17．下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9B．a3•a3•a3＝3a3
C．2a4•3a5＝6a9D．（﹣a3）4＝a7
18．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．a6÷a2＝a3
C．（m2）4＝m8D．4y3•3y5＝12y15
19．下列式子运算正确的是（ ）
A．3x•4x＝12xB．（x2y）3＝x2y3
C．x3•x4＝x7D．（x3）4＝x7
20．下面是计算（a3）2•a4的过程：
解：（a3）2•a4
＝a6•a4第一步
＝a10第二步
其中，第一步、第二步分别是（ ）
A．积的乘方、同底数幂的乘法
B．幂的乘方、同底数幂的乘法
C．积的乘方、合并同类项
D．幂的乘方、合并同类项
五．单项式乘多项式（共5小题）
21．在等式﹣3x•（ ）＝﹣3x3+6x中，括号内表示的整式是（ ）
A．x2﹣2B．x2+2C．x+2D．x﹣2
22．利用图可以解释的是（ ）
A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc
B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac
C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc
D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb
23．若长方形的两条边长分别是2n和3n﹣1，则此长方形的面积是（ ）
A．6n2﹣1B．6n2﹣2nC．10n﹣2D．5n2﹣2n
24．如图，△ABC中，AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大8，则代数式a（a﹣b）的值为（ ）
A．8B．﹣8C．16D．﹣16
25．计算：a2（ab+b2）＝（ ）
A．a3b+b2B．ab+a2b2C．a3b+a2b2D．a2b+a2b2
六．多项式乘多项式（共5小题）
26．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（ ）
A．﹣6B．0C．3D．6
27．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
28．若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝5，n＝6B．m＝1，n＝﹣6C．m＝1，n＝6D．m＝5，n＝﹣6
29．若（x+m）（x﹣8）的展开式中不含x的一次项，则m的值（ ）
A．8B．﹣8C．0D．8或﹣8
30．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＝N
C．M＜ND．由x的取值而定
七．完全平方公式（共6小题）
31．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a3•3a2＝6a5
C．a4﹣a3＝aD．a8÷a2＝a4
32．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．2a+4a＝6a2
33．下列计算正确的是（ ）
A．ab2÷ab＝bB．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2m4+3m4＝5m2D．a3•a2＝a6
34．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
35．已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为（ ）
A．3B．9C．49D．100
36．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8B．±8C．16D．±16
八．完全平方公式的几何背景（共6小题）
37．图中的四边形均为长方形，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）2＝a2+ab+b2
38．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3B．19C．21D．28
39．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
40．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
41．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式；
（2）用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，4ab之间的等量关系式；
（3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若m﹣n＝5，mn＝2，求（m+n）2；
②若2m+3n＝8，mn＝1，求（2m﹣3n）2．
42．用四个如图1所示的长为a，宽为1的长方形，放置在一个长为m，宽为n的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形．
（1）用等式表示m与a之间的数量关系；
（2）设长方形①的周长为C1，长方形②的周长为C2，求C1+C2（用含n的式子表示）．
九．平方差公式（共6小题）
43．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
44．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知x+y＝4，则x2﹣y2+8y的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
45．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
46．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定
47．计算：（5x+y）（5x﹣y）．
48．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小．
十．平方差公式的几何背景（共7小题）
49．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
50．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ）
A．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abB．a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
51．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
52．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
53．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
55．如图，从边长为（a+4）的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．a（2a+5）B．3（2a+5）C．3（2a+1）D．a（2a+1）
十一．整式的除法（共5小题）
56．已知a3b6÷a2b2＝ambn，则m和n的值分别是（ ）
A．m＝4，n＝1B．m＝1，n＝4C．m＝5，n＝8D．m＝6，n＝12
57．小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（ ）
A．﹣3xy3﹣2x2B．﹣3x3y﹣2x2y
C．3x3y+2xyD．﹣3x3y+2x2
58．一个长方形的面积为9a2﹣6ab，若它的长为3a，则它的宽为（ ）
A．3a﹣6bB．3a﹣2bC．3a﹣2abD．3a+2b
59．计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）．
60．先化简，再求值：，其中x＝3，．同底数幂的乘法的性质
符号语言
文字语言
推导过程
am·an=am+n(m,n都是正整数).
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
单项式与多项式相乘法则
文字语言
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言
P（a+b+c)=pa+pb+pe(p,a,b,c都是单项式).
图形解释
p(a+b+c)=pa+pb+pc
大长方形的面积=3个小长方形的面积之和
多项式与多项式相乘法则
文字
语言
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号
语言
(a+b)(p+9)=ap+aq+bp+bq(a,b,p,q都是单项式).
图形
解释
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
大长方形的面积=四个小长方形的面积之和
同底数幂的除法的性质
文字语言
符号语言
推导过程
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，m>n).
当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，∵am-n·an=a(m-n)+n=am,∴am÷an=am-n.
零指数幂的性质
文字语言
符号语言
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
a⁰=1(a≠0)
多项式除以单项式法则
文字语言
符号语言
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m(a,b,m都是单项式).
图形
阴影面积
a²-b²
(a+b)(a-b)
等量关系
图形变形前后阴影部分的面积相等
结论
(a+b)(a-b)=a²-b²
符号语言
文字语言
(a+b)(a-b)=a²-b².
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
变化形式
应用举例
(1)位置变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a²-b².
(2)符号变化
(-a+b)(-a-b)=(-a)²-b²=a²-b².
(3)系数变化
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)²-(2b)²=9a²-4b².
(4)指数变化
(a²+b²)(a²-b²)=(a²)²-(b²)²=a⁴-b⁴.
(5)项数变化
(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)²-c².
(6)连用公式变化
(a+b)(a-b)(a²+b²)=(a²-b²)(a²+b²)=a⁴-64.
图形
阴影面积
(a+b)²或a²+2ab+b²
(a-b)2或a²-2(a-b)b-b²=a²-2ab+b²
等量关系
各图中阴影部分的面积相等
结论
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
符号语言
文字语言
(a+b)²=a²+2ab+b²;
(a-b)²=a²-2ab+b².
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.