专题05 因式分解 2025-2026学年八年级上初中数学人教版2024期末复习讲义

这是一份专题05 因式分解 2025-2026学年八年级上初中数学人教版2024期末复习讲义，文件包含专题05因式分解word2025-2026学年八年级上初中数学期末复习学案知识点+习题原卷版docx、专题05因式分解word2025-2026学年八年级上初中数学期末复习学案知识点+习题解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共36页， 欢迎下载使用。

▉考点一 因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
例题：下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a-3）=a2-9
B．a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1
C．2n2-mn-n=2n（n-m-1）
D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2
解：（a+3）（a-3）=a2-9是乘法运算，则A不符合题意，
a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
2n2-mn-n=n（2n-m-1），则C不符合题意，
x（x-y）+y（y-x）=x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2，则D符合题意，
故选：D．
▉考点二 用提公因式法分解因式
1.公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式.
2.公因式的确定
三步确定公因式：
定系数→当各项系数都是整数时→取各项系数的最大公约数
定字母→取各项中的相同字母
定指数→取相同字母的最低指数
3.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
4.提公因式法的一般步骤
确定公因式→先确定系数，再确定字母和字母的指数
提取公因式→依据→乘法分配律
确定另一个因式→用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式
写成乘积的形式→相同因式的乘积写成幂的形式
例题：将6xy+12x2进行分解因式，其正确结果是（ ）
A．6x（y+2x）
B．6xy（1+2x）
C．12x（y+x）
D．3x（2y+4x）
解：6xy+12x2=6x（y+2x），
故选：A．
▉考点三 用平方差公式分解因式
1.用平方差公式分解因式：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²的等号两边互换，就得到
a²-b²=(a+b)(a-b),
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.能用平方差公式分解因式的多项式的特点
多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反.
例题：多项式x2-mxy+9y2能用完全平方因式分解，则m的值是_____.
解：∵x2-mxy+9y2=（x±3y）2，
∴-mxy=±6xy,
∴m=±6，
故答案为：±6．
▉考点四 用完全平方公式分解因式
1.完全平方式：我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
2.用完全平方公式分解因式
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)²=a²+2ab+b²,
(a-b)²=a²-2ab+b²
的等号两边互换，就得到
a²+2ab+b²=(a+b)²,
a²-2ab+b²=(a-b)²
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以.
4.公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
例题：下列因式分解中，正确的是（ ）
A．ab-4a+1=a（b-4）+1
B．-a2+b2=（-a+b）（-a-b）
C．a2-2ab+4b2=（a-2b）2
D．-ab2+2ab-a=-a（b-1）2
解：A、ab-4a+1=a（b-4）+1等式右边不是乘积形式，不符合题意；
B、-a2+b2=（b+a）（b-a）≠（-a+b）（-a-b），原分解错误，不符合题意；
C、a2-4ab+4b2=（a-2b）2，原分解错误，不符合题意；
D、-ab2+2ab-a=-a（b-1）2，正确，符合题意；
故选：D．
▉考点五 x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解
利用多项式的乘法法则推导得出：
(x+p)(x+q)
=x²+px+qx+pq=x²+(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x²+(p+q)x+pg=(x+p)(x+g).
利用此式，可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.
上述分解因式的过程可以用十字相乘的形式形象地表示，如图17.2-1所示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
一．完全平方式（共7小题）
1．如果关于x的二次三项式4x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么常数m的值是（ ）
A．13B．﹣12C．﹣12或12D．﹣11或13
2．已知x2+（m+2）x+25是完全平方式，则实数m的值为（ ）
A．3B．3或﹣7C．8D．8或﹣12
3．如果多项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
4．已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．3B．±3C．6D．±6
5．已知x2+mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
A．12B．±12C．6D．±6
6．如果x2+mx+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．6B．﹣6C．6或﹣6D．3或﹣3
7．若x2+ax+16是一个完全平方式，则常数a的值为（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．无法确定
二．因式分解的意义（共8小题）
8．式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x•x﹣1B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+xy
9．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
B．（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
C．x2+5x+6＝（x+5）x+6
D．25a2﹣9b2＝（5a+3b）（5a﹣3b）
10．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．xy2+4xy+4x＝x（y+2）2
B．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2
C．x2+3x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．
11．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+abB．a2+2a+1＝a（a+2）+1
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）
12．下列各式中不能进行因式分解的是（ ）
A．a3﹣a2bB．m2+4m+4C．x2+y2D．4x2﹣9y2
13．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣4a+4＝（a﹣2）2
B．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16
C．m2﹣n2﹣2＝（m+n）（m﹣n）﹣2
D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
14．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．18x2y＝2x•3x•3yB．2x﹣8＝2（x﹣4）
C．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2D．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3
15．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．D．a2b+ab2＝ab（a+b）
三．公因式（共8小题）
16．多项式ma2﹣mb2的公因式是（ ）
A．mB．m2C．maD．mb
17．多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（ ）
A．4abB．4a2b2C．2abD．2abc
18．多项式m2﹣2m与多项式m2﹣4m+4的公因式是（ ）
A．m+2B．m﹣2
C．（m﹣2）（m+2）D．（m﹣2）2
19．多项式6ab2﹣cb的公因式是（ ）
A．bB．abC．b2D．c
20．5y3与y的公因式是（ ）
A．5y3B．yC．5yD．5
21．把xy2﹣2xy分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（ ）
A．2xB．2xyC．xy2D．xy
22．对于整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，有两个结论．
结论一：A•x＝B．
结论二：A，B的公因式为x．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确
B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都不正确
D．结论一、结论二都正确
23．多项式x2﹣2x中各项的公因式是（ ）
A．2B．2xC．xD．x2
四．因式分解-提公因式法（共7小题）
24．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4
25．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．24B．70C．40D．140
26．把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3a2bB．3ab2C．3a3b3D．3a2b2
27．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz﹣9x2y2＝3xyz（4﹣3xyz）
B．3a2y﹣3ay+6y＝3y（a2﹣a+2）
C．﹣x2+xy﹣xz＝﹣x（x2+y﹣z）
D．a2b+5ab﹣b＝b（a2+5a）
28．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（ ）
A．﹣30B．30C．﹣5D．﹣6
29．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（ ）
A．22024B．﹣2C．﹣22024D．﹣1
30．若n为正整数，则下列各数中，一定能整除（n2+2n）（n+1）的是（ ）
A．6B．7C．8D．9
五．因式分解-运用公式法（共8小题）
31．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9
32．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+2xy﹣y2B．x2﹣xy+4y2
C．x2﹣xy+D．x2﹣5xy+10y2
33．如果对多项式“x2+□x+1”进行因式分解的结果为（x+1）2，则“□”中的数是（ ）
A．B．1C．2D．﹣2
34．如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式，那么□可以是（ ）
A．﹣2b2B．8b2C．﹣2abD．﹣2ac
35．下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A．a2﹣8a+16B．
C．﹣a2﹣9D．a2﹣4
36．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+0.25B．16a2+4a+1
C．a2+4ab+4b2D．a2﹣2a+1
37．阅读材料：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
（1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9．
38．分解因式：（x2+1）2﹣4x2．
六．提公因式法与公式法的综合运用（共7小题）
39．下列因式分解正确的是（ ）
A．a3b+ab3＝ab（a+b）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
40．下列因式分解中正确的个数为（ ）
①x3﹣2xy+x＝x（x2﹣2y）；
②x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；
③﹣1+y2＝（y+1）（y﹣1）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
41．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
42．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）
C．x2﹣2x+1＝（x+1）2D．2a﹣2b+2＝2（a﹣b）
43．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1B．4x2+4x+4C．x2+2x+1D．x2﹣2x﹣1
44．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2＝（m+n）2
B．m2﹣n2＝（m﹣n）2
C．m2﹣3mn+2m＝m（m﹣3n+2）
D．﹣m2﹣2mn﹣n2＝﹣（m﹣n）2
45．因式分解：
（1）3x3﹣18x2+27x．
（2）a4﹣16．
七．因式分解-分组分解法（共6小题）
46．若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（ ）
A．8B．﹣8C．6D．﹣6
47．下列因式分解正确的是（ ）
A．3x3+2x2+x＝x（3x2+2x）
B．9m2﹣1＝（9m+1）（9m﹣1）
C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2
D．am﹣bm+2b﹣2a＝（m﹣2）（a﹣b）
48．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．x6﹣8x3﹣16
C．2xy﹣x2+y2D．x2﹣x+1
49．一个二次二项式因式分解后其中一个因式为x﹣1，写出满足条件的一个二次二项式 ．
50．在对多项式a2﹣4ab+4b2﹣1进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式＝（a2﹣4ab+4b2）﹣1＝（a﹣2b）2﹣1＝（a﹣2b+1）（a﹣2b﹣1），这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式4x2+4x﹣y2+1因式分解的结果为 ．
51．阅读下列材料：
提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；
（2）有人说，无论x，y取何实数，代数式x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由．
八．因式分解-十字相乘法等（共9小题）
52．下列分解因式正确的是（ ）
A．9a3﹣a＝a（9a+1）（9a﹣1）
B．﹣x2+xy+x＝﹣x（x﹣y+1）
C．m3﹣2m2+m＝m（m﹣1）2
D．a2+5a+25＝（a+5）（a﹣5）
53．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．a2+b2＝（a+b）2
C．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3D．2a﹣4＝2（a﹣2）
54．甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果为（x+3）（x﹣4），乙把n看错分解结果为（x+1）（x+3），那么多项式x2+mx+n分解的正确结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣6）B．（x+6）（x﹣2）
C．（x+4）（x﹣3）D．（x﹣1）（x+5）
55．将多项式x2﹣ax+6分解因式为：x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b2025＝（ ）
A．﹣8B．8C．﹣6D．6
56．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
57．若多项式2x2+kx﹣24因式分解后的结果是（ax+3）（x﹣8），则k的值是（ ）
A．10B．﹣12C．﹣13D．13
58．将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，结论正确的为（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）B．（x+1）（x+2）
C．（x+1）（x﹣2）D．（x﹣1）（x+2）
59．阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：
x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；
（2）拓展：若代数式x2﹣8x+7＝0，则x的值＝ ．
60．阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．