第4章 平面内的两条直线【章末复习】 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

第 1 页：复习导航・章节核心梳理复习目标：明确平面内两条直线的位置关系（相交、平行），掌握垂线、平行线的定义与表示；熟练运用平行线的 3 种判定方法（同位角、内错角、同旁内角）和 3 条性质，能准确推理证明；理解垂线段最短、平行线间距离处处相等的性质，掌握点到直线、平行线间距离的计算；能解决与两条直线相关的实际问题（如最短路径、角度计算），规避判定与性质混淆等错误。知识框架图： 第 2 页：核心知识点 1・平面内两条直线的位置关系1. 位置关系分类（同一平面内）位置关系公共点数量关键特征示例相交1 个两条直线有且只有一个交点，可形成对顶角、邻补角墙角的横竖线、十字路口的道路平行0 个无论延伸多长都不相交，需强调 “同一平面内”（异面直线不相交但不平行）铁轨、黑板的对边特殊相交1 个（垂直）相交且夹角为 90°，是特殊的相交关系三角板的两条直角边、正方形的邻边2. 相交直线的角关系（对顶角、邻补角）对顶角：定义：相交直线中，有公共顶点且两边互为反向延长线的角（如∠1 与∠3）；性质：对顶角相等（如∠1=∠3，∠2=∠4）。邻补角：定义：相交直线中，有公共边且另一边互为反向延长线的角（如∠1 与∠2）；性质：邻补角互补（和为 180°，如∠1+∠2=180°）。示例：若直线 AB 与 CD 相交于 O，∠AOC=60°，则∠BOD=60°（对顶角相等），∠BOC=120°（邻补角互补）。小练习（角度计算）：两条直线相交，若一个角为 80°，则其对顶角为______，邻补角为______（答案：80°，100°）若∠1 与∠2 是对顶角，∠2 与∠3 是邻补角，∠3=110°，则∠1=______（答案：70°，∠2=70°=∠1）第 3 页：核心知识点 2・垂线与点到直线的距离1. 垂线的定义与性质定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（记为 “a⊥b”）。性质：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称 “垂线段最短”）。2. 点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是数值，不是垂线段本身）。示例：如图，点 P 到直线 l 的距离为垂线段 PO 的长度（PO⊥l），若 PO=3cm，则点 P 到 l 的距离为 3cm。3. 作图：过一点画已知直线的垂线工具：直尺、三角板；步骤：将三角板的一条直角边与已知直线 l 重合；沿直线 l 平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点 P（直线上或直线外）；沿这条直角边画出直线 PO，PO 即为所求垂线，O 为垂足。小练习（距离与性质）：过直线 l 外一点 P，能画______条直线与 l 垂直（答案：1，唯一性）点 A 到直线 m 的距离为 5cm，若点 B 在直线 m 上，则 AB 的长度______5cm（填 “≥”“≤” 或 “=”，答案：≥，垂线段最短）第 4 页：核心知识点 3・平行线的判定与性质（重点）1. 平行线的判定（由 “角的关系” 推 “线的平行”）判定方法角的关系符号表示（a、b 被 c 所截）图形特征方法 1同位角相等∵∠1=∠2，∴a∥b“F” 型方法 2内错角相等∵∠3=∠4，∴a∥b“Z” 型方法 3同旁内角互补∵∠3+∠5=180°，∴a∥b“U” 型关键：先找 “截线”（与两条直线都相交的直线），再判断角的类型（同位角、内错角、同旁内角）。2. 平行线的性质（由 “线的平行” 推 “角的关系”）性质角的关系符号表示（a∥b，被 c 所截）作用性质 1同位角相等∵a∥b，∴∠1=∠2求角度、证明角相等性质 2内错角相等∵a∥b，∴∠3=∠4同上性质 3同旁内角互补∵a∥b，∴∠3+∠5=180°求角度、证明角互补3. 判定与性质的核心区别判定：“角→线”（已知角的关系，证明直线平行）；性质：“线→角”（已知直线平行，求角的关系）。示例：若∠1=∠2，证 a∥b：用 “同位角相等，两直线平行”（判定）；若 a∥b，求∠1：用 “两直线平行，同位角相等”（性质）。小练习（判定与性质应用）：如图，a、b 被 c 所截，∠1=70°，∠2=70°，则 a∥b，理由是______（答案：内错角相等，两直线平行）若 a∥b，∠3=110°，则∠4=______（答案：70°，同旁内角互补，∠3+∠4=180°）第 5 页：核心知识点 4・平行线间的距离1. 定义两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。关键：距离是 “垂线段的长度”，不是线段本身；平行线间的距离处处相等（无论在直线上哪个点作垂线段，长度都相同）。2. 性质应用（与面积结合）示例：如图，直线 a∥b，若矩形 ABCD 的一边 AB 在 a 上，另一边 AD 垂直于 a，则 AD 的长度即为 a、b 间的距离，矩形面积 = AB×AD（AD 为平行线间距离）。3. 作图：测量两条平行线间的距离步骤：在其中一条直线上取一点 P；过 P 作另一条直线的垂线，垂足为 O；测量 PO 的长度，即为平行线间的距离。小练习（距离与面积）：两条平行线间的距离为 4cm，若在其中一条直线上取两点 A、B，AB=5cm，则点 A、B 到另一条直线的距离均为______cm（答案：4，处处相等）梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=6cm，CD=4cm，两底间的距离为 3cm，则梯形面积 =______cm²（答案：15，面积 =(6+4)×3÷2=15）第 6 页：综合例题精讲（知识融合）例题 1：角度计算与平行线判定如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB∥CD，且∠5=∠6。证明：证 AB∥CD：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠7（对顶角相等），∴∠1=∠7（等量代换），∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）；又∵∠3=∠4（已知），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。证∠5=∠6：∵AB∥EF，∴∠5=∠8（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥CD，∴∠6=∠8（两直线平行，内错角相等），∴∠5=∠6（等量代换）。例题 2：垂线与最短路径如图，某村庄 A 到公路 l 的距离为 3km，村庄 B 到公路 l 的距离为 2km，且 A、B 在公路 l 的同侧，求 A、B 两点间的最短距离（已知 A、B 在 l 上的垂足之间的距离为 4km）。解：作 A 到 l 的垂线段 AO（AO=3km，O 为垂足），B 到 l 的垂线段 BP（BP=2km，P 为垂足），则 OP=4km；过 B 作 l 的平行线，交 AO 的延长线于 C，则 BC=OP=4km，AC=AO+OC=AO+BP=3+2=5km；在 Rt△ABC 中，AB 为斜边，由勾股定理得 AB=√(AC²+BC²)=√(5²+4²)=√41≈6.4km；答：A、B 两点间的最短距离为√41km（或约 6.4km）。第 7 页：章节易错点大汇总（避坑指南）易错类型错误示例正确解法避错技巧平行线判定与性质混淆已知 a∥b，证∠1=∠2，用 “同位角相等，两直线平行”应使用性质 “两直线平行，同位角相等”记口诀：“证平行用判定，求角度用性质”忽略 “同一平面内” 前提认为 “不相交的两条直线一定平行”需强调 “同一平面内”，异面直线不相交也不平行平行定义必须加 “同一平面内” 的限定距离与垂线段混淆说 “PO 是点 P 到直线 l 的距离”正确：“PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离”距离是 “长度”（数值），垂线段是 “图形”角的类型判断错误误将 “U” 型角当作内错角（同旁内角错认成内错角）用 “F/Z/U” 型辅助判断：同位角 “F”，内错角 “Z”，同旁内角 “U”先找截线，再看角的位置关系第 8 页：章末检测・综合练习（基础 + 提升）一、基础题（巩固核心）平面内两条直线的位置关系是______或______（答案：相交，平行）若 a⊥b，b⊥c，则 a______c（答案：∥，垂直于同一直线的两条直线平行）如图，a∥b，∠1=120°，则∠2=______（答案：60°，同旁内角互补）二、提升题（知识融合）如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，求∠C 的度数（答案：120°，∠CDE=150°→∠CDB=30°，AB∥CD→∠ABD=30°，BE 平分∠ABC→∠ABC=60°，同旁内角互补→∠C=120°）点 P 到直线 l 的距离为 5cm，点 Q 在直线 l 上，且 PQ=7cm，求 PQ 与 l 的夹角的正弦值（答案：5/7，作 PO⊥l 于 O，sinθ=PO/PQ=5/7）【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 相交线与平行线图形的平移平移的基本性质平移的应用对顶角垂线与垂线段垂线的基本事实点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线的概念及其基本事实平行线的性质与判定知识图谱三角形四边形圆定义、命题、定理点、线、面、角图形的变化图形与坐标图形的性质图形与几何1.平面内两条直线的位置关系有哪几种?2.如何判断一组角是不是对顶角?一组对顶角的大小相等吗?3.怎样识别同位角、内错角、同旁内角?4.两条什么样的直线叫作平行线?平行线的基本事实是什么?平行于同一条直线的两条直线是否平行?5.举例说明什么是平移.平移的基本性质是什么?6.平行线的性质有哪些?7.判定两条直线平行有哪些方法?8.垂线的基本事实是什么?9.怎样度量点到直线的距离?10.怎样度量两条平行线间的距离?平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.对顶角的概念与性质有共同的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 这样的两个角叫作对顶角. 对顶角相等.FZU截线:同侧被截线:同旁截线:同侧被截线:之间截线:两侧被截线:之间都在截线同侧都在被截线之间这三类角都是没有公共顶点的∠1=∠2两直线平行，( )相等两直线平行，( )相等两直线平行，( )互补∠2=∠3∠2+∠4=180°同位角内错角同旁内角平行线的性质：平行线的判断：( )相等，两直线平行( )相等，两直线平行( )互补，两直线平行因为 所以 AB∥CD因为所以AB∥CD因为所以AB∥CD∠1=∠2∠2=∠3∠2+∠4=180°同位角内错角同旁内角平移的概念：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移.原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像.平移的特点：平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫作__________. 其中一条直线叫作另外一条直线的______. 它们的交点叫作______.互相垂直垂足垂线垂线的概念在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。关于垂直的两个结论设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的________.垂线段垂线与垂线段有何区别和联系？区别：垂线是直线，垂线段是线段.联系：垂线段是垂线的一部分.垂线段最短.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线的性质与垂线段连接两点的线段的长度叫作两点间的距离，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离.点到直线的距离两条平行线的所有公垂线段都相等.与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.公垂线段的概念及性质我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.两条平行线间的距离两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.1. 下列说法错误的是（ ） A.同位角不一定相等 B.内错角都相等 C.同旁内角可能相等 D.同旁内角互补则两直线平行B2. 同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两直线不平行，则一定相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个D3.如图，（1）因为∠ABD=∠BDC(已知)，所以____∥____，( )；（2）因为∠DBC=∠ADB(已知)，所以____∥____，( )；（3）因为∠CBE=∠DCB(已知)，所以____∥____，( )；CDAB内错角相等，两直线平行ADBC内错角相等，两直线平行CDBE内错角相等，两直线平行（4）因为∠CBE=∠A，(已知)，所以____∥____，( )；（5）因为∠A+∠ADC=180°(已知)，所以____∥_____，( )；（6）因为∠A+∠ABC=180°(已知)，所以____∥____，( ).ADBC同位角相等，两直线平行ABCD同旁内角互补，两直线平行ADBC同旁内角互补，两直线平行4.如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明：DC∥AB.解: 因为 AC平分∠DAB，所以 ∠1=∠CAB.又因为 ∠1=∠2，所以 ∠2 =∠CAB.所以 DC∥AB (内错角相等，两直线平行).5. 如图，平移三角形 ABC，使点 C 移动到 C′ 的位置.1. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）B2. 如图，直线 l1∥l2 , 则∠α 为（ ）.A.150° B.140° C.130° D.120°D3. 如图，有一条河，C 是河边 AB 外一点：(1)过点 C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图.(2)现欲用水管从河边 AB，将水引到 C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多长？( 本图比例尺为 1∶2000 )解：如图：(1)过点 C 画一平行线平行于AB.(2)过点 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于点 D.然后用尺子量 CD 的长度，再按1∶2000的比例求得实际距离即可.4.如图，已知三角形 ABC，AD⊥BC 于 D，E 为 AB 上一点，EF⊥BC 于 F，DG∥BA 交 CA 于 G.∠1=∠2 相等吗？为什么？解：∠1=∠2. 理由：因为 AD⊥BC ，EF ⊥ BC，所以∠EFB =∠ADB = 90°.所以 EF // AD (同位角相等，两直线平行)所以∠2 =∠3 (两直线平行，同位角相等)因为DG // BA ，所以∠3 =∠1 (两直线平行，内错角相等)所以∠1 =∠2.5. 已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由.解：∠A＝∠F. 理由如下：因为∠1＝∠DGF，∠1＝∠2，所以∠DGF＝∠2.所以 DB∥EC (同位角相等，两直线平行).所以 ∠DBA＝∠C (两直线平行，同位角相等).又因为∠C＝∠D，所以∠DBA＝∠D.所以 DF∥AC (内错角相等，两直线平行).所以∠A＝∠F (两直线平行，内错角相等).6.如图，已知∠ABC. 请你再画一个∠DEF，使 DE∥AB，EF∥BC ， 且 DE 交 BC 边于点 P.探究：∠ABC 与∠DEF 的数量关系？并说明理由.解：∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补.理由：如图①，因为 DE∥AB，所以 ∠ABC =∠DPC.又因为 EF∥BC，所以∠DEF =∠DPC.于是有∠ABC =∠DEF.①如图②，因为 DE∥AB，所以∠ABC ＋∠DPB = 180°，又因为 EF∥BC，所以∠DEF =∠DPB.所以 ∠ABC＋∠DEF = 180°.②6.如图，已知∠ABC. 请你再画一个∠DEF，使 DE∥AB，EF∥BC ， 且 DE 交 BC 边于点 P.探究：∠ABC 与∠DEF 的数量关系？并说明理由.考点1 四个概念概念1 垂线              概念2 三线八角        概念3 平行线  【解】如图. 如图.（3）用符号表示出图中的一组平行线为________________________. 概念4 平移 1考点2 一个判定——平行线的判定      通过本节课的复习，你还有哪些问题?必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！