4.5.2垂线段与点到直线的距离 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

第 1 页：标题页课题：4.5.2 垂线段与点到直线的距离副标题：探究垂线段的性质，理解 “距离” 的几何定义核心目标：认识垂线段，掌握 “垂线段最短” 的性质，理解点到直线的距离的定义，能测量或计算点到直线的距离第 2 页：情境引入・感知 “最短路径”生活中的最短路径问题（配图展示）场景 1：从居民楼（点 A）到公路（直线 l）修一条小路，怎样修才能使路程最短？场景 2：体育课上，学生（点 P）站在操场，要到达跑道（直线 m），走哪条路线最近？场景 3：从河边（直线 n）的水泵站（点 Q）向村庄（点 R）输水，怎样铺水管才能使水管长度最短？观察提问：这些场景中，最短的路线有什么共同特征？是否与上节课学习的 “垂线” 有关？第 3 页：概念讲解・垂线段的定义垂线段的定义（结合图示：点 P 在直线 l 外，PO⊥l 于 O，连接 P 与 l 上其他点 A、B、C）过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做该点到这条直线的垂线段。示例：图中 PO 是点 P 到直线 l 的垂线段；PA、PB、PC 是点 P 到直线 l 的斜线段（非垂直的线段）辨析：垂线段是 “线段”（有两个端点：点 P 和垂足 O），区别于 “垂线”（直线，无限延伸）图形标注：在垂线段 PO 旁标注 “⊥” 符号，明确其与直线 l 的垂直关系；斜线段 PA、PB 旁不标注垂直符号，突出差异。第 4 页：实验探究・垂线段的性质探究 “垂线段最短”（工具：直尺、量角器、白纸）步骤 1：在白纸上画直线 l，在 l 外取一点 P，过 P 作 l 的垂线段 PO（O 为垂足）步骤 2：在 l 上任意取 3 个不同的点 A、B、C（非 O 点），连接 PA、PB、PC（斜线段）步骤 3：用直尺测量 PO、PA、PB、PC 的长度，记录结果（如 PO=2cm，PA=2.5cm，PB=3cm，PC=2.8cm）步骤 4：改变点 A、B、C 的位置，重复测量，观察长度关系结论推导：多次测量发现，垂线段 PO 的长度始终小于所有斜线段的长度，由此得出：垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简洁表述：垂线段最短第 5 页：概念深化・点到直线的距离点到直线的距离定义从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。关键词解析：“距离” 是长度（数值，带单位），不是垂线段本身（线段是图形）测量依据：必须通过垂线段测量，不能用斜线段的长度代替实例理解（结合场景 1）居民楼 A 到公路 l 的距离：即垂线段 AO 的长度（若 AO=50 米，则距离为 50 米）若修斜线段 AB（长度 60 米），则 AB 不是距离，因为距离是最短的垂线段长度符号表示：通常用 “d” 表示距离，如点 P 到直线 l 的距离 d=PO（PO 为垂线段长度）第 6 页：例题精讲・性质与距离的应用例 1：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm。（1）指出点 A 到 BC 的垂线段，点 B 到 AC 的垂线段；（2）计算点 A 到 BC 的距离，点 B 到 AC 的距离。解：（1）垂线段识别：∵ ∠C=90°，∴ AC⊥BC，BC⊥AC（直角的两边互相垂直）点 A 到 BC 的垂线段是 AC；点 B 到 AC 的垂线段是 BC。（2）距离计算：点 A 到 BC 的距离 = AC 的长度 = 3cm（垂线段 AC 的长度）；点 B 到 AC 的距离 = BC 的长度 = 4cm（垂线段 BC 的长度）。补充：点 C 到 AB 的距离需作 AB 的垂线段 CD（D 为垂足），后续将学习计算方法。例 2：如图，直线 l 外一点 P，过 P 作 PO⊥l 于 O，连接 P 与 l 上点 A、B，已知 PO=4cm，PA=5cm，PB=6cm，求：（1）点 P 到直线 l 的距离；（2）判断 PA、PB 是否为点 P 到直线 l 的距离，并说明理由。解：（1）距离：点 P 到直线 l 的距离 = PO 的长度 = 4cm（垂线段最短，PO 是垂线段）；（2）判断：PA、PB 不是距离。理由：距离是点到直线的垂线段的长度，PA、PB 是斜线段，其长度（5cm、6cm）不是垂线段长度，故不是距离。第 7 页：分层练习・巩固提升基础题（概念与性质）（1）判断：点到直线的距离是点到直线的垂线段（ ）（答案：×，是垂线段的长度）（2）如图，点 P 到直线 l 的垂线段是______，点 P 到直线 l 的距离是______的长度（答案：PO，PO）（3）从直线外一点到直线的所有线段中，______最短（答案：垂线段）提升题（距离计算）如图，长方形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，求：① 点 A 到 BC 的距离；（答案：6cm，即 AB 的长度）② 点 C 到 AD 的距离；（答案：8cm，即 CD 的长度）拓展题（实际应用）如图，一条河的两岸是平行的直线 l₁、l₂，现要从河岸 l₁上的点 A 到河岸 l₂修一座桥，桥需与河岸垂直，怎样确定桥的位置才能使 A 到对岸的路程最短？（提示：过 A 作 l₂的垂线段，垂足即为桥的一端，理由：垂线段最短）第 8 页：易错点总结・课堂小结与作业常见易错点混淆 “垂线段” 与 “距离”：将 “垂线段” 当作 “距离”（如说 “PO 是点 P 到 l 的距离”，正确应为 “PO 的长度是距离”）误用斜线段长度作为距离：如用 PA 的长度表示点 P 到 l 的距离（忽略 “垂线段” 前提）忽略 “直线外一点”：对 “点在直线上” 的情况误判（点在直线上时，点到直线的距离为 0）课堂小结1 个概念：垂线段（点与垂足间的线段）1 个性质：垂线段最短（核心，解决最短路径问题）1 个定义：点到直线的距离 = 垂线段的长度（“长度” 是关键）作业布置基础题：教材中 “垂线段与点到直线的距离” 练习题（共 6 题）实践题：用直尺和三角板测量课桌的一个顶点到对边的距离（先作垂线段，再测量长度）思考题：为什么测量跳远成绩时，要从落点向起跳线作垂线段，用垂线段的长度作为成绩？（结合 “垂线段最短” 和公平性思考）【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？河问题1：如图，任画一条直线 l ，作 l 的垂线.这样的垂线能画出几条？可以画无数条问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.(1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？可以画一条一“靠”二“过”三“画”(2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？可以画一条问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.注意:① “过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段．经过点P 的其他直线分别交直线 l 于A，B，C，D ···，线段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短.比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度，可知线段 PO 最短.简单说成：垂线段最短．如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.特别规定：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.(1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离.(2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处， 如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？如图，垂线段最短．(3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.解： 因为∠ABC = 90°，所以 AB⊥BC， 点B为垂足，所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.因为AB = 5，所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.[选自教材P118 练习]1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离.解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D .D所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离.因为∠BAC = 90°，所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足，所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4.[选自教材P118 练习]提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离. 2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离．3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.[选自教材P118 练习]1.如图，①过点 Q 作 QD⊥AB，垂足为 D，②过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E，③过点 Q 作 QF⊥AC，垂足为 F，④连 P、Q 两点，⑤ P、Q 两点间的距离是线段______的长度，⑥点 Q 到直线 AB 的距离是线段_______的长度，⑦点 Q 到直线 AC 的距离是线段_______的长度，⑧点 P 到直线 AB 的距离是线段________的长度.解：①②③④ 作图如图所示PQQDQFPE 2. 如图，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，BC = 3，则点 A 到直线 BC 的距离为_____，点 B 到直线 AC 的距离为______，点A、B 间的距离为______.4353. 如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路.(1) 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2) 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3) 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.解：如图所示:(1)沿AB 走，两点之间线段最短；(2)沿 BD 走，垂线段最短；(3)沿 AC 走，垂线段最短.火车站码头河流铁路4.如图所示，已知∠AOB =∠COD = 90°，(1)若∠BOC = 45°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；(2)若∠BOC = 25°，求∠AOC 与∠BOD 的度数；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理.解：(1)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 45°，所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 45°，∠BOD =∠COD-∠BOC = 45°.(2)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 25°，所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 65°，∠BOD =∠COD-∠BOC = 65°.(3)∠AOC =∠BOD，等角的余角相等. 5. 如图，OF 平分∠AOC，OE⊥OF，AB 与 CD 相交于 O，∠BOD = 130°，求∠EOB 的度数.解：因为∠AOC =∠BOD，∠BOD = 130°，所以∠AOC = 130°.因为OF 平分∠AOC，所以∠AOF =∠FOC = 65°.因为OE⊥OF，所以∠EOF = 90°.所以∠BOE = 180°-∠AOF-∠EOF = 180°-65°-90°= 25°. CA. B. C. D. 2. [2024·长沙校级期中] 下列说法正确的是( )D 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是( )AA. 测量跳远成绩B. 木板上弹墨线C. 弯曲河道改直D. 两钉子固定木条  43  5. 下列说法错误的个数是( )①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的距离.CA. 1B. 2C. 3D. 4垂线段最短．垂线的画法点到直线的距离在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！