第五章 一元一次方程 章末能力达标练习题-2025-2026学年人教版 数学七年级上册（含答案）

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一元一次方程 一、单选题 1．下列各式是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解是，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．解方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 5．等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．关于x的方程与有相同的解，则m等于（　　） A． B．2 C． D．3 7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 8．已知，，那么（　　） A．15 B．8 C．7 D．3 9．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 10．为了培养同学们的团结协作精神和反思纠错能力．在学习一元一次方程的解法时，数学陈老师设计了一个接力游戏：甲、乙、丙、丁名同学每人完成一步，并进行相互间的纠错．如图是这个人合作完成解一元一次方程的过程，在这次接力过程中出现错误的同学是（   ） A．甲、乙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 11．为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 12．把1－9这9个数填入的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 二、填空题 13．若是方程的解，则值为 ． 14．将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 15．若是关于的一元一次方程，则 ． 16．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 17．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗；李白在郊外春游时，做出这样一条约定：每遇见1个朋友，就到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，若遇见第3个朋友后，正好喝光了壶中的酒，则壶中原来有酒 升． 18．据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知a，b，c，d都是正整数，，且满足，那么x表示的数是 ． 三、解答题 19．解方程 (1) (2) 20．在数轴上，点、、分别表示有理数、、，且满足（m为常数）． (1)求a、b的值及c与m的关系； (2)若点P在数轴上表示的数为x，且P到A、B两点的距离之和为10，求x的值； (3)若，点Q从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，Q、R两点之间的距离与A、B两点之间的距离相等？ 21．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值； (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元二次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 22．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 23．已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 24．假期即将开始，某校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为200元，冰雪大世界经营方为学校活动推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”． (1)求参观学生为多少人时两种方案费用一样； (2)学校为了能使学生安全快捷到达冰雪大世界，现准备集体租车去冰雪大世界．如果单独租用45座的客车若干辆，但有10人没有座位；若租用数量60座的客车，则少租一辆，且最后一辆客车有20个空座位，求该校七年级有学生多少人参观冰雪大世界？ (3)在（2）问的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票最省钱，门票费用最少是多少元． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用  参考答案 1．B 本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．据此逐项分析即可． 解：A．不是等式，不是方程，故不符合题意； B．是一元一次方程，符合题意； C．中含2个未知数，故不符合题意； D．中未知数的最高次数是2，故不符合题意； 故选B． 2．C 直接把代入即可知道的值． 解：把代入，得 ，则； 故选：C． 本题主要考查的是一元一次方程的解等知识内容，正确理解一元一次方程的解的概念是解题的关键． 3．D 根据等式的基本性质对各选项分析判断即可． 解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，式子成立，故本选项不符合题意； B、等式两边同时减去n，依据等式的基本性质1，式子成立，故本选项不符合题意； C、等式两边同时乘以p，依据等式的基本性质2，式子成立，故本选项不符合题意； D、等式两边同时除以a，当时，等式不成立，故本选项符合题意． 故选：D． 本题主要考查了等式的基本性质，1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 4．D 本题考查了解一元一次方程，把移动的项变号后从方程的一边移到另一边即可，掌握移项要变号是解题的关键． 解：移项，得， 故选：． 5．C 本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 6．B 本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据解一元一次方程的一般步骤求出方程的解，代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 解：∵， 解得：， 把代入， 则， 解得，， 故选：B． 7．A 此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 8．B 本题主要考查了有理数的混合运算、一元一次方程的应用，等量代换的数学思想，能够从题目中发现是一个整体是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．A 本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 10．A 本题考查了解一元一次方程，根据解答过程即可判断求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 解：由解答过程可知，去分母时，方程右边没有同时乘以，去括号时没有变号， ∴这次接力过程中出现错误的同学是甲、乙， 故选：． 11．D 本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 设定价高的为x元，定价低的为y元，然后列代数比较大小，并根据差额为50元求出解答即可． 解：设定价高的为x元，定价低的为y元， 则， ∴， ∴， ∴使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元， 故选：D． 12．A 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程进行求解即可，正确识图是解题的关键． 解∶根据题意，得， 解得， 故选∶A． 13．2024 本题考查了方程的解以及代数式的运算，得到“”是解决本题的关键． 先将代入方程，可得，再整体代入代数式求解即可． 解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 14．15 本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 解：设小长方形的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴宽为， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 15． 本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，根据一元一次方程的定义得出且，即可求出的值． 解：根据题意得， 解得， ， ， ， 故答案为：． 16． 本题考查解一元一次方程，先将方程变形为，令，根据题意可得，求解即可得出答案． 解：∵， ∴， 令， 根据题意可得， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 17． 本题考查了一元一次方程的应用，设壶中原来有酒升，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 解：设壶中原来有酒x升，由题意可得 ， 解得， ∴壶中原来有酒升． 故答案为：． 18．6 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．先根据题意得出，根据每行和对角线上的数字之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可得出结论． 解：已知都是正整数，， ∵， ∴， ∵每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，设第一行第一列的数为（左上角第一个数）， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：6． 19．(1) (2) 本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再求解方程即可； （2）先去分母，然后再求解方程即可． （1）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 20．(1) (2)或 (3)或 本题考查绝对值、平方的非负性以及数轴上的动点问题，解题的关键是利用非负性求出字母的值，结合数轴上两点间距离公式列方程求解． （1）根据绝对值和平方数的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，从而求出、的值以及与的关系； （2）根据数轴上两点间距离公式，分情况讨论点的位置，列方程求解的值； （3）先确定的值，再根据动点运动速度和方向表示出运动t秒后、的位置，结合两点间距离公式列方程求解． （1）解：， ， 解得； （2）解：∵到A、两点的距离之和为10， 当时，，解得； 当时，10，无解； 当时，，解得， ∴的值为或； （3）解：∵、两点间的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得． ∴当或时，、两点之间的距离与、两点之间的距离相等． 21．(1) (2)或 (3) 本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． （1）解：解得：， 解得：， 方程与方程互为“唯美方程”， 解得：； （2）解：由题意得，当，即时， ，解得， 当，即时， ，解得， 综上所述：或； （3）解：由得 ， 所以的解是， 将整理得 ， 所以， ． 22．(1) (2) (3) (4)； (5) 本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 23．(1) (2) (3) 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． （1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 24．(1)参观学生为人时两种方案费用一样． (2)人 (3)学校采用方案二购买门票最省钱，门票费用最少是元． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真理解题意，再设参观学生为人，分别表示方案一的费用和方案二的费用，根据两种方案费用一样，进行列方程，再求解，即可作答． （2）先设租用45座的客车辆，因为单独租用45座的客车若干辆，但有10人没有座位；若租用数量60座的客车，则少租一辆，且最后一辆客车有20个空座位，进行列式，再求解，即可作答． （3）分别算出方案一的费用和方案二的费用，再比较，即可作答． （1）解：设参观学生为人， ∵方案一：“所有学生门票一律九折”； ∴方案一的费用是 ∵方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折” ∴当时，则方案二的费用是， 当时，则方案二的费用是， ∵两种方案费用一样 显然， 则， 解得， 即参观学生为人时两种方案费用一样． （2）解：设租用45座的客车辆， 依题意，得 解得， ∴（人） 即该校七年级有学生人参观冰雪大世界． （3）解：由（1）得方案一的费用是；当时，则方案二的费用是； ∵该校七年级有学生人参观冰雪大世界． ∴方案一的费用是（元）， 方案二的费用是（元）， ∵， ∴采用方案二最省钱， 答：学校采用方案二购买门票最省钱，门票费用最少是元． 题号12345678910答案BCDDCBABAA题号1112        答案DA