初中苏科版（2024）10.2 分式的基本性质一课一练

这是一份初中苏科版（2024）10.2 分式的基本性质一课一练，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
2．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的2026倍B．缩小为原来的
C．保持不变D．以上都不正确
4．下列各式的变形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（）
判断题，对的打“√”，错的打“×”
①代数式、都是分式（×）
②当时，分式无意义（√）
③若分式的值为0，则（√）
④式子从左到右变形正确（√）
⑤分式是最简分式（√）
A．②③④B．①②⑤C．①②D．③④⑤
6．若x为正整数，则的结果为（ ）
A．正整数B．负整数C．非正整数D．非负整数
7．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的倍B．缩小到原来的倍
C．不变D．扩大到原来的3倍
8．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．值不变B．扩大到原来的5倍
C．扩大到原来的25倍D．缩小为原来的
9．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（ ）
A．B．C．D．5
10．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若，则；
②，则需要满足的条件是；
③若为正整数，且为整数，则．
上面说法正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．河南科技馆“数字宇宙”展厅的密码被设计成一道数学谜题，小豫在参观时成功破解密码并顺利连接网络，则“”表示的数字是 ．
12．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ．
13．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
14．小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了对比学习：
小亮同学的做法：
…第一步
…第二步
…第三步
小茵同学的做法：
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
（1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ；
（2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ．
15．已知实数a、b、c满足 ，则 ．
16．分式，，的最简公分母为 ；
17．分式与的最简公分母是 ．
18．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入 ．
三、解答题
19．解答题：
(1)计算：
(2)化简：．
20．计算：
21．你见过“约去指数”的约分吗？如：，，…．
(1)观察并仿写出一个类似的式子：_____；
(2)请你用只含有字母、的式子表示上述猜想；
(3)试证明（2）中的猜想．[提示：]
22．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题：
(1)①当，时，分式的值为__________；
②当，时，分式的值为__________；
(2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？
23．计算：
(1)；
(2)．
24．某校有两块草坪，草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，其中，设两块草坪的面积分别为．
(1)请用含的式子分别表示，并比较与的大小；
(2)求的值（用含的式子表示）．
25．已知，求：的值．
26．已知分式：
(1)化简该分式；
(2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值；
(3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路．
27．阅读材料①：若都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立．
证明：，
．
．当且仅当时，“”成立．
举例应用：已知，求函数的最小值．
解：，当且仅当，即时，“”成立．
当时，函数取得最小值，．
阅读材料②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，
例如：．
问题解决：
(1)若，只有当___________时，有最小值___________；
(2)求函数的最小值；
(3)已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状．
28．阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数．
例如：．
类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：．
材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格：
请根据上述材料完成下列问题：
(1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________；
(2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由；
(3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________．
账号： 密码：前四位后四位：？
，，
x
…
0
1
2
3
…
…
无意义
6
3
2
…
《第10章 10.2分式的基本性质》参考答案
1．A
【来源】山东省淄博市张店区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可．
【详解】解：；
故符合题意的只有选项A；
故选A．
2．B
【来源】江苏省苏州市苏州园区星湾学校2025-2026学年上学期八年级数学周测11.26
【分析】本题考查了最简分式的概念，解题的关键是判断分子与分母是否存在公因式（含可因式分解的多项式）．
依次分析各选项分子分母是否有公因式，能约分的不是最简分式，不能约分的是最简分式．
【详解】解：A、，分子分母有公因式2，可约分为，此选项不符合题意；
B、，分子分母无公因式，不能约分，此选项符合题意；
C、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意；
D、，分子分母有公因式，可约分为，此选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【来源】山东省菏泽市定陶区2025-2026学年上学期八年级数学期中测试题
【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍，
∴新分式为，
∴分式的值保持不变．
故选C．
4．D
【来源】山东省潍坊市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
5．B
【来源】河北省石家庄长安区2025--2026学年上学期八年级期中数学试卷
【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目．
【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确．
②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确．
③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误．
④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误．
⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确．
综上，嘉琪做对①、②、⑤．
故选：B．
6．D
【来源】河北省石家庄长安区2025--2026学年上学期八年级期中数学试卷
【分析】本题考查分式的乘除运算与因式分解的应用，通过因式分解实现分式约分是解题关键．
简化表达式，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到结果，再根据x为正整数判断其类型．
【详解】∵ ==，
∵ 为正整数，
∴ ≥ 0，且为非负整数，
故选：D．
7．D
【来源】山东省聊城市阳谷县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查分式的基本性质．将和同时扩大为原来的3倍后，代入原分式计算，比较新分式与原分式的关系即可．
【详解】解：∵扩大后分式为，
又∵，
∴分式的值扩大到原来的3倍．
故选：D．
8．A
【来源】北京市海淀区师达中学2025--2026学年八年级上学期数学期中试卷
【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变．
故选：A．
9．A
【来源】山东省淄博市淄川区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（五四制）
【分析】本题考查了分式值的变化情况，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
当和都扩大为原来的3倍时，分母也扩大3倍，因此分子必须也扩大3倍才能保持分式的值不变．只需验证哪个选项的在和扩大3倍时值也扩大3倍即可．
【详解】∵和都扩大为原来的3倍，
∴分母，即分母扩大3倍．为保持分式值不变，分子也必须扩大3倍．
选项A：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，符合题意．
选项B：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意．
选项C：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意．
选项D：，分子的取值与和无关，是常数，不符合题意．
故选A．
10．C
【来源】重庆市万州第三中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，含绝对值一元一次方程，分式的化简相关知识点，能够正确解方程是本题的关键．
①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解；③列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵，
∴，
解得：，故①错误；
②∵，
∴，
整理得：，
当时，，解得（不合题意，舍去），
当时，恒成立，
当时，，解得（不合题意，舍去），
故②正确；
③∵
，
又∵为整数，x为正整数，
∴，2，4，5，
故③正确．
综上所述，正确的有②③，共2个．
故选：C．
11．2025
【来源】河南省开封市杞县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴密码为单项式中的字母按照a、b、c的顺序排列时的指数，
，
，
故答案为：2025．
12．
【来源】山东省烟台市莱州市2025-2026学年（五四学制）八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了分式的拆分．
根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．
【来源】北京市燕山地区2025-2026学年上学期八年级期中质量检测数学试卷
【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键．
由前面、找出密码规律求解即可得到答案．
【详解】解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数；
由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数；
，
则他输入的密码是，
故答案为：．
14． 分式的基本性质 等式的性质
【来源】北京市房山区2025-2026学年上学期学业水平调研（一）八年级数学试题
【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的基本性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键．
（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据等式的性质即可解答．
【详解】解：（1）小亮同学第一步的运算是通分，依据的是分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变；
（2）小茵同学第一步的运算是去分母，依据的是等式的性质，即等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式．
故答案为：分式的基本性质，等式的性质．
15．1
【来源】上海华东师范大学附属进华中学2025-2026学年七年级上学期9月月考数学试卷
【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，偶次方，代数式求值，根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，，
，，，
，
故答案为：
16．
【来源】河北省青龙满族自治县逸夫中学2011-2012学年八年级上学期期末质量检测数学试题
【分析】本题考查了最简公分母的定义，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
根据最简公分母的定义即可求解．
【详解】解：分式，，的最简公分母为，
故答案为：．
17．
【来源】江苏省南京师范大学苏州实验学校2025-2026学年上学期八年级数学第一次阶段练习试题
【分析】本题主要考查了分式最简公分母的判断，结合因式分解分析是解题的关键．
把两个分式的分母进行因式分解，再把所有不同的因式乘到一起，即为最简公分母．
【详解】，，
最简公分母为．
18．/
【来源】唐山市玉田县第三中学2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试卷
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：∵，均为非0常数，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【来源】湖南省岳阳市湘阴县长仑五校2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题
【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值化简、负整指数幂的除法，关键是熟练应用运算法则进行运算；
（1）根据运算法则先算乘方、绝对值化简，最后算加减即可；
（2）根据单项式除单项式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
20．
【来源】上海市建平实验中学2025-2026学年上学期七年级数学期中试卷
【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式
.
21．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)见解析
【来源】湖南省邵阳市武冈市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了分数的性质，数字类规律探究；
（1）根据规律写出一个类似的式子，即可求解；
（2）根据规律写出代数式；
（3）分别对分子分母因式分解，再约分，即可求解．
【详解】（1）解：类似的式子可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）
（3）解：
．
22．(1)，
(2)将变为原来的倍
【来源】18.1.2分式的基本性质（第1课时分式的性质）（分层作业）数学人教版2024八年级上册
【分析】本题考查分式的值；
（1）把x，y的值代入计算解答即可；
（2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：当，时，，
当，时，；
故答案为：，；
（2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，，
∴分式的值将变为原来的倍.
23．(1)
(2)
【来源】高效同步练习16.2整式的乘法第2课时整式的除法-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024）
【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据单项式除以单项式法则计算即可得；
（2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
24．(1)，；
(2)
【来源】河北省承德市承德县三十家子初级中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，因式分解的应用，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
（1）根据题意分别表示出，然后作差求解即可；
（2）列式根据分式的性质化简即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：．
25．
【来源】上海市长岛中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷
【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．先根据完全平方公式将变形为，求出，，再根据积的乘方和单项式除以单项式进行计算，代入a、b的值，进而求出答案即可．
【详解】解：因为，
所以，
，
所以，
解得，
因为，
当，时，．
26．(1)
(2)
(3)，思路见解析
【来源】2025年九年级中考数学一轮复习第一模块数与式
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键：
（1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可；
（2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可；
（3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可．
【详解】（1）解：；
（2）由（1）可知：，
∵该分式的值为整数，
∴为整数，
∵为整数，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得，
即：分式可以化简为．
27．(1)2，2
(2)4
(3)，四边形是菱形
【来源】山东省济南市市中区2024-2025学年八年级下学期数学期末考试
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，分式的性质，菱形的判定，
对于（1），当时，根据求出最小值即可；
对于（2），先化简得，可得答案；
对于（3），先设，则，可得，再讨论最小值的点P的坐标；然后结合四个点的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后结合“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
即．
当时，即（）时，有最小值2．
故答案为：2，2；
（2）解：，
，
，
最小值为4；
（3）解：∵，，
∴，
∵为第四象限内一点，且满足，
∴
设，则，，
．
当且仅当，即时等号成立，此时．
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
28．(1)，
(2)不同意，理由见解析
(3)2
【来源】江苏省无锡市经开区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子即可写出答案；
（2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论；
（3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：不同意，理由如下：
根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小，
当时，随着x的增大，的值逐渐减小，
但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，
∴不同意小茗同学的观点；
（3）解：∵，
∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小，
∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小，
∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
D
D
A
A
C