数学第8章 四边形8.3 三角形的中位线同步达标检测题

这是一份数学第8章 四边形8.3 三角形的中位线同步达标检测题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（山西省长治市屯留区部分学校2025-2026学年上学期期中测试九年级数学试卷）如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（北京市朝阳区2025-2026学年上学期九年级数学期中调研试卷）将边长为a的等边随意放在边长为b的等边所在的平面内，且，将绕点A顺时针旋转α，，，分别是，，的中点，以下说法中正确的是（ ）
①可能是直角三角形；②一定是等边三角形；
③可能与全等；④．
A．①③B．①③④C．②③④D．②④
3．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（陕西省榆林市府谷县2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测试题）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．4
5．（吉林省长春市德惠市2025-2026学年九年级上学期期中模拟数学试卷（华东师大版））如图，在中，点是的中点，点在的内部，，，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（山西省临汾市大宁县2025年6月期末2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
7．（山西省太原市成成中学校2025-2026学年上学期第一次学业诊断九年级数学试卷）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于 ．
8．（重庆市第一一〇中学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学）如图，在中，，点，分别是、边上的中点，连接、．如果，，那么的长是 ．
9．（浙江省杭州市景苑中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷）如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为 ．
10．（吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为 ．
11．（黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第三子联盟2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试卷）如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是 ．
12．（辽宁省抚顺市新抚区2025-2026学年上学期教学质量检测九年级数学试卷（一））如图，，绕点C顺时针旋转90°至的位置，取，的中点，，连接，若，，则 ．
13．（山西省临汾市大宁县2025年6月期末2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，在中，，．将平移到的位置，使点B的对应点E恰好落在边AC的中点处，则平移的距离是 ．
14．（江苏省盐城市大丰实验初中教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学模拟试卷）如图，在矩形中，，，在平面内有一点，，过点作，且，连接、、，点是线段的中点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题
15．（江苏省盐城市盐都区第一共同体2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，分别是的中点．
(1)证明：；
(2)若，，求的长．
16．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）已知的周长为，点，，分别为三条边的中点，求的周长．
17．（第五章平行四边形（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，中，是边的中点，平分，于，已知，，求的长．
18．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，已知是的中位线，是延长线上一点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
19．（广东省广州市天河区第一一三中学2025~2026学年上学期期中考试八年级数学试卷）（1）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是边的中点．若，则的取值可以为（ ）
A．2 B．5 C． D．3
（2）在（1）的条件下，当取得最小值时，求的度数．
20．（山东省青岛市2025-2026学年上学期九年级数学期中模拟试题）如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，点 ， 分别是 和 的中点．
(1)求证∶ ；
(2)连接 ． 从下面两个问题中选择其中一个进行解答， (若多选，按第一个解答计分)
我选______． (填写序号“①”或“②”)．
①当 满足什么条件时，四边形 的形状为菱形 请加以证明．
②当 满足什么条件时，四边形 的形状为矩形？ 请加以证明．
(3)在（2） 的条件下，对 添加一个______条件时，四边形 为正方形？ 不需证明．
21．（辽宁省沈阳大东区2025-2026学年九年级上学期数学11月期中试题）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是对角线上一点，点在延长线上，且与交于点；连接，．
(1)求证：；
(2)若，点恰好是的中点．
①求证：四边形是矩形；
②若四边形是正方形，求的长度．
22．（天津泰达实验学校2025-2025学年上学期九年级期中数学试题）将一个直角三角放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，将绕点顺时针方向旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E．
(1)如图①，求点的坐标为___________；
(2)如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标；
(3)点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．
《第8章 8.3三角形的中位线》参考答案
1．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，运用这两个定理解决问题是关键；由勾股定理求得的长，再由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，分别为，的中点，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】根据题中所给的信息逐一分析每个说法并进行判断选择正确的说法即可．
【详解】解：如图，连接和，取的中点M和的中点N，连接，，，，
∵是的中点，是的中点，
∴根据中位线定理：且，且，
同理，且，且，
∵和都是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵绕点A旋转α，
根据旋转的对称性可知，设与的夹角为θ，则与的夹角也为θ，
∵，，
∴，
同理，，，故，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴一定是等边三角形，故说法②正确，说法①可能是直角三角形错误；
∵的边长为b，若与它全等，则，
由中位线的性质可知，的长度取决于和的位置关系，
当旋转至且方向相同时，，
若，则，
∵，
∴最大为，即两个三角形无法全等，故③错误；
根据三角形三边关系，对于，有，，
∴，即,故④正确；
综上所述，说法正确的有②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系等知识点，解题关键在于掌握等边三角形的性质及中位线的定理与性质．
3．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质，是解题的关键；
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
【详解】解：平行四边形的周长为，
∴，
∵对角线、相交于点，点是的中点
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理．取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，求出后，组合计算即可．
【详解】解：取中点，连接和，
∵在矩形中，
，
，
∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点，
∴分别为和中位线，
∴，且，
三点共线，
．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题关键是作出合适的辅助线．
延长，交于点，证明，由全等三角形性质得到点是中点，再得出是的中位线，即可求解．
【详解】解：延长，交于点，如下图：
在和中，
，
，
，，
即点是中点，
又点是的中点，
是的中位线，
即．
故选：．
6．C
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解．
【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，是的中位线，
∵，
∴，
∴篱笆的长为：，
故选：C．
7．24
【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点，
∴是的中位线
∴，
同理可得，是的中位线
∴，
∵
∴
∵点G，H分别为边和的中点，
∴是的中位线
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是矩形
∴四边形的面积等于．
故答案为：．
8．8
【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基础题，熟练掌握三角形中位线定理是解决本题的关键．
根据三角形的中位线定理可得，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵点，分别是、边上的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：8
9．6
【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解．
【详解】解：∵D、E分别为、的中点，
∴， ，
∴．
故答案为：6
10．6
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
故答案为：6．
11．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线，找准有最小值时的点位置是解题的关键．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作于，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
，
，，
四边形为菱形，
点是的中点，点是四边形边上的动点，
当垂直于菱形的一边时，有最小值．
过点作于，过点作于，则，
，，
，
即，
解得，
为的中点，，
为的中位线，
，
故的最小值为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了利用旋转的性质和直角三角形的性质求解线段的长度，熟练利用勾股定理是解题的关键，先连接CM、CN，利用直角三角形斜边中线性质得出，再结合旋转性质推出是等腰直角三角形，进而求出
【详解】
如图：连接,．
∵,
∴
∵、分别是，的中点，
∴、分别为与斜边上的中线，
∴,，
绕点顺时针旋转得到，
， ，
又∵，
∴，
是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，勾股定理等知识，过点A作于点H，取的中点K，连接，．由等腰三角形的三线合一的性质得出，勾股定理得出，再得出是的中位线，进而可得出，，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知平移距离是，
过点A作于点H，取的中点K，连接，．
又∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，K是的中点，
∴，，是的中位线，
∴，，
∴，
在中，，
故答案为：
14．2
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用三角形的中位线定理构造辅助线是解题关键．取的中点，连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的三边关系即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
又∵点是线段的中点，点为的中点，
∴，
由三角形的三边关系得：（当且仅当点共线时，等号成立），
∴，即，
∴线段的最小值2．
故答案为：2．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，以及勾股定理，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用中点的性质证明；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得到，利用30度角的直角三角形的性质得到，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
，为的中点，
，
是中点，
．
（2）解：由（1）可得，
，
，
是的外角，
，
同理可得，
，
是的外角，
，
，
，
，
是中点，
，
∴，
．
答：的长为．
16．
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键．
根据已知条件得出、、都是的中位线，计算即可得解；
【详解】、、分别为三边的中点，
、、都是的中位线，
，，，
故的周长．
17．
【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形全等的性质和判定，本题延长是关键．
构建一对全等三角形和，利用全等的性质和三角形中位线定理解决问题．
【详解】解：延长交于，
平分
，
在和中，
，
≌，
，
为的中点，
为的中位线，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形；
（2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中位线，
∴．
19．(1)B，C；(2)．
【分析】本题考查等边三角形中，轴对称的性质，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长是解题的关键．
(1)由等边三角形三线合一，可知点B和点C关于轴对称，连接交于点F，此时取得最小值，当点F与点A重合时，求出，即，
即可解答；
(2)先求出，由（1），得当取得最小值时，，且E是的中点，继而推导出，则，即可解答．
【详解】解：（1）∵是等边三角形且边长为4，是边上的中线，
∴，，
∴点B和点C关于轴对称，
连接交于点F，则，
∴，即此时取得最小值，
∵等边的边长为4，E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
当点F与点A重合时，，
∴，
即，
故选B，C．
(2)∵是等边三角形且边长为4，
∴，
由（1），得
当取得最小值时，，且E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)①答案不唯一，见解析；②答案不唯一，见解析
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得， ， ，进而根据角平分线的定义可得，即可证明；
（2）若选择序号①，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得出，即可证明平行四边形 是菱形；
若选序号②，证明四边形是平行四边形，根据是的中点，结合添加条件，得出，即可证明四边形 的形状为矩形．
（3）根据（2）的结论，结合正方形的判定定理，添加条件，即可求解．
【详解】（1）证明∶四边形 是平行四边形，
， ， ，
平分， 平分，
， ，
，
．
（2）若选择序号①．
满足的条件时， 四边形 的形状为菱形．
由（1）得， ，
， ，
、 分别为 、 中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
又
，
，
四边形 是平行四边形，
， 是 的中点，
，
，
平行四边形 是菱形．
若选序号②
满足 的条件时， 四边形 的形状为矩形．
由（1）得， ，
，，
分别为中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
平行四边形是矩形．
（3）若（2）选序号①，填“”；若（2）选序号②，填 “”
若选序号①，由（2）得，平行四边形 是菱形．
当 满足 的条件时， 由（2）②可得四边形 的形状为矩形．
∴，
∴菱形 为正方形．
若选序号②，由（2）得，平行四边形 是矩形．
当 满足的条件时，由（2）①可得四边形 的形状为菱形．
∴，
∴菱形 为正方形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质与判定，菱形、正方形、矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理、矩形的判定及正方形的性质，掌握相关判定及性质是解题关键，
（1）证明是的中位线，即可得出结论；
（2）①证明得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论；
②通过正方形的基本性质得到的长，然后根据中位线性质得到，进而得到，再利用勾股定理即可计算出的长度，进而可求解，
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，
，
是的中位线，
；
（2）①证明：在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
∵点P恰好是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∴四边形是矩形；
②∵四边形是正方形，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴．
22．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）过点C作，垂足为H．解直角三角形求出，可得结论；
（2）解直角三角形求出，可得结论；
（3）连接．利用三角形中位线定理证明，再求出的取值范围，可得结论．
【详解】（1）解：过点C作于点H，
则，
∵点，点，
∴，
∵在中，，
，
∵，
∴，
，
∴，，
又点C在第一象限，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图，以点B为中心，顺时针旋转，得到，且，
∴，
∴．
∵在中，，，
，
∴；
（3）解：如图，连接，．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点E在线段上时，；
当点E在延长线上时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形旋转，熟练掌握旋转性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，添加辅助线，构造三角形中位线，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
D
A
C
A
C