初中数学8.1 平行四边形课时作业

这是一份初中数学8.1 平行四边形课时作业，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，▱的对角线，交于点，已知，，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，小斌用一根长的绳子围成一个平行四边形场地，其中，则下列说法正确的个数为（ ）
；；．
A．个B．个C．个D．个
5．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（ ）个平行四边形．
A．7B．8C．9D．10
6．（第五章平行四边形（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制八年级上册）直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
7．（第五章平行四边形（知识清单）数学鲁教版五四制八年级上册）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组对边分别平行D．一组对边平行且相等
8．（内蒙古包头市昆都仑区2025-2026学年九年级上学期期中阶段测试数学试题）在平行四边形中，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（山东省东营市胜利一中2025-2026学年八年级上学期期中数学试题）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形．
10．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ．
11．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是 ．
12．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有 （填序号）．
13．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，中，为垂足，如果，则等于 °
14．（四川省成都市郫都区2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份））如图，在中，，对角线，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，射线交于点N，若，则的长是 ．
15．（贵州省六盘水市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为 ．
16．（黑龙江省佳木斯市同江市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件： ，使．
三、解答题
17．（上海市杨浦区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）探究活动：等积变形
【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________．
【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．
如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上，
求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）
【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）．
18．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、
(1)求证：．
(2)若，，求与的距离．
19．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，请直接写出为何值时，以四点组成的四边形是平行四边形．
20．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）已知：如图，点为▱的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线，的延长线于点，，
求证：．
21．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：．
22．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，分别延长平行四边形的边、至点、点，连接、，其中求证：四边形为平行四边形．
23．（第五章平行四边形（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，求的长．
24．（第五章平行四边形（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制八年级上册）如图，已知的对角线，相交于点，，，．

(1)求的长．
(2)求的面积．
25．（广东省佛山市南海区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷）如图，在直角坐标系中：
(1)描出、、、四点；
(2)顺次连接、、、，计算得到的图形周长．
26．（北京市西城区德胜中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，在中，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交的延长线于，在线段上取一点使得，连接
(1)依题意补全图形；
(2)判断与的数量关系，并证明；
(3)在变化过程中，当的面积最大时，求线段的长用，表示
27．（2025年甘肃省武威市中考模拟数学试卷）如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
28．（内蒙古包头市昆都仑区2025-2026学年九年级上学期期中阶段测试数学试题）如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，且的面积等于6，求的面积．
《第8章 8.1平行四边形》参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，平行四边形的性质，准确分析计算是解题的关键．
利用平行四边形的性质得出，，可看作将平移到，转化成点的平移计算即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，故可看作将平移到，即到，到．
，，
将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
故将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点．
，
．
故选．
2．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答．
【详解】解：连接，交于点O，如图
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故②符合题意；
③当时，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，故③符合题意；
当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故④符合题意；
综上所述，②③④符合题意，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，准确运用性质求解是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，，计算即可得解；
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长．
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形的对边相等，分别求出各边的长，即可解答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
周长为，
，
，
，
，．
故只有正确．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴
∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长；
【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于．
、关于直线对称，
，
，
当点与重合时，的值最小，最小值等于的长；
在中，，
，
，
在中，，
的最小值为，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可．
【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形；
而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）．
∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B．
故选B．
8．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，即对角相等，简单计算即可得解；利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件直接计算．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，
∴（对角相等）．
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键．
根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可；
【详解】，
当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断；
故答案是：（答案不唯一）．
10．8
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵的对角线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴与的距离为8．
故答案为：8．
11．或或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
①时，
∵，
∴，即；
②，
∵
∴，即；
③，
∵，，
∴，即
故D点坐标为或或
故答案为：或或．
12．
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键；
根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可．
【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对边也平行，从而判定为平行四边形；
已知：,,
求证：四边形是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，从而判定为平行四边形；
已知：，对角线平分，
求证：四边形是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴，
∴,
又∵，
∴四边形是平行四边形；
对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边形的判定定理；
对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形；
已知：，分别平分，，且，，分别平分，,且，
求证：四边形是平行四边形，
证明：∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
，
∴，
同理可证，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：①②④．
13．/25度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等得到，再由直角三角形锐角互余即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：．
14．18
【分析】本题主要考查了垂线和线段的尺规作图，勾股定理，平行四边形的性质，三线合一定理，由平行四边形的性质得到，由作图方法可得，，利用勾股定理求出，进而求出的长即可得到答案；
【详解】解：如图所示，连接，
四边形都是平行四边形，
，
由作图可知，
，
，
，
，
故答案为：
15．10
【分析】本题考查平行四边形面积公式，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理；作C点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质可得，，，所以，当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，再根据平行四边形面积公式和勾股定理计算出的长度即可.
【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示，
由轴对称的性质可得，，，
∴
当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，
∵的面积为24
∴
∴
∴
∵四边行是平行四边形
∴
∴
在中，
∴的最小值为10，
故答案为：10
16．（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键．
添加可证四边形是平行四边形，可得．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
17．问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解
【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键；
问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解；
问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图；
问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图．
【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底，
∴与面积相等的三角形是；
故答案为；
问题探究：由网格可知：，
∴，
所以所作如图所示：
问题拓展：所作如图所示：
分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)5
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
构造辅助线，利用在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半即可解决．
【详解】（1）证明：由题意可得：，
在平行四边形中，
在和中，
，
∴．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
在中，
∵，，
∴，
∴与的距离为5．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，以及解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)秒或秒或秒
【分析】（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可；
（2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题；
（3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：如图中，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
即；
（2）解：如图中，过作于点，
由知，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
当时，，，
，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题，灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】本题主要利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质求解，准确运用性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，，证明，得出，根据等量代换可得解．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
，
，
又，
，即．
21．证明过程见解析
【分析】本题主要运用平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质证明线段相等，准确理解和应用性质求解是解题的关键．
通过平行线得到角相等，进而证明三角形全等，再结合中点条件证明四边形是平行四边形，最后得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
．
，分别为，的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
22．证明过程见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，，，由“”可证，可得，，可得，则可得结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，，，
，且，，
，
，，
，
，且，
四边形是平行四边形．
23．
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．由平行四边形的性质得出，由等边三角形的性质得，延长交于点H，利用“”证明可得，，证出是等边三角形，最后求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，G为的中点，
∴，
延长交于点H，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形得性质，勾股定理和平行四边形的面积；
（1）根据平行四边形的性质可求得，，再利用勾股定理即可求解；
（2）利用平行四边形的面积底高，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴的长为；
（2）解：∵，
∴的面积．
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形综合，勾股定理，利用平行四边形的判定与性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）根据所给点的坐标，描点即可；
（2）先说明四边形是平行四边形，再求出周长即可．
【详解】（1）解：如图：点、、、为所求．
（2）∵、、、，
∴，，，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∴得到的图形周长为．
26．(1)见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
依据题意补全图形即可；
易证，利用对角互补构造全等三角形，延长至，使，易证，再过作交于，易证四边形是平行四边形，据此即可得证；
在上截取点，使得，连接，易证，可得在以为圆心，为半径的半圆上运动，据此求解即可．
【详解】（1）解：补全图形如下图所示：
（2）解：，
证明如下：
，，
，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
延长至，使，连接，
则，
，
由旋转可知，
在和中，，
，
，，
过作交于，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：如下图所示，在上截取点，使得，连接，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
在以为圆心，为半径的半圆上运动，
当，即落在图中位置时，的面积有最大值，
最大值为，
此时，
当的面积最大时，线段的长为．
27．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出和是证此题的关键．题型较好．
（1）由，，根据垂直的定义得到，和已知，，推出；
（2）根据全等三角形的性质得到，，进一步推出，根据平行四边形的判定即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
28．(1)见解析
(2)72
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质及，证明即可证明结论成立；
（2）由平行四边形的性质得，再由，得这三个三角形的面积相等，从而得的面积，由即可求得结果．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
D
B
B
C
D
B
C