初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）7.3 频率与概率当堂检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）7.3 频率与概率当堂检测题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（【智】454.3用频率估计概率（26春学海九数湘-课时检测））下列说法合理的是（ ）
A．小明在1000次抛图钉的试验中发现300次钉尖朝上，所以钉尖朝上的概率是30%；
B．抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率是的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上；
C．某彩票的中奖机会是2%，那么买100张彩票一定会有2张中奖；
D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51；
2．（【智】3726.3用频率估计概率（26春学海九数沪-课时检测））如图所示的是由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格，其中有一“心形”图案．数学小组为了探究“心形”图案的面积，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计“心形”图案的面积为（ ）
A．49B．50C．55D．61
3．（辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ）
A．B．C．D．
4．（广东省深圳实验学校（初中部）2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A．0.52B．0.55C．0.58D．0.63
5．（浙江省绍兴市诸暨市城东初级中学2025-2026学年上学期九月月考九年级试题）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
6．（贵州省2025年初中学业水平考试数学模拟卷练习1）在一个不透明的袋子中，装有若干枚白色棋子和黑色棋子，这些棋子除颜色外其余都相同，将袋子中的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，则下列说法正确的是（ ）
A．黑色棋子一定比白色棋子多B．白色棋子一定比黑色棋子多
C．摸到白色棋子的概率为0.6D．摸到黑色棋子的概率为0.4
7．（广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）科华学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A．0.620B．0.618C．0.610D．1.000
8．（陕西省西安市铁一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ）
A．8B．6C．4D．2
9．（四川省成都市玉林中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2”
C．掷一枚一元的硬币，正面朝上
D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
10．（山西省运城市多校2025-2026学年9月月考九年级数学试卷）从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ）
A．0.83B．0.52C．0.15D．1
11．（2024年广东省中考数学押题卷）绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（湖南省长沙市雅礼集团2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据：
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01）
13．（辽宁省沈阳市浑南区2025-2026学年九年级上学期数学11月期中试题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）．
14．（【智】454.3用频率估计概率（26春学海九数湘-课时检测））某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ．
15．（浙江省宁波市鄞州区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
估计小萌投一次篮，投中的概率是 ．（结果精确到0.01）
16．（甘肃省白银市2025一2026学年九年级上学期期中考试数学试题）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率为 （精确到）．
17．（甘肃省武威市凉州区新华镇九年制学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷）为了解某花卉种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，根据数据可知该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，若在相同条件下种下该种花卉种子230颗，其中能发芽的种子约有 颗．
18．（陕西省汉中市城固县2022-2023学年七年级下学期期末考试数学试卷）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下：
在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到）
19．（陕西省西安市第三中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1）
20．（甘肃省武威市古浪县泗水初级中学2024-2025学年九年级第三次模拟数学试卷）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
由此估计这名球员在罚球线上投篮命中的概率是 （精确到0.01）．
21．（浙江省宁波市鄞州实验2025-2026学年上学期九年级10月数学试卷）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：
请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 ．
22．（浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学模拟考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
根据表格，估计该麦种的发芽概率为 .（结果精确到0.01）
23．（甘肃省兰州交通大学附属中学2025-2026学年九年级上学期阶段性考查数学试卷）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中合理推断的序号是 ．
24．（2024年云南省昆明市数学中考模拟限时作业（六））某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为 ．
25．（辽宁省沈阳市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷）某班学生分组做抛掷同一型号的一枚图钉的试验，大量重复试验的结果统计如下表：
估计掷一枚这样的图钉落地后顶尖朝上的概率为 ．（精确到）
26．（浙江省衢州市柯城区城南初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据：
由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为 ．
27．（山东省枣庄市滕州市尚贤中学2025-2026学年九年级上学期10月第一次月考数学试卷）如图，已知边长为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ．
三、解答题
28．（陕西省铜川市铜川新区2022-2023学年七年级下学期期末考试数学试卷）投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果：
根据上表中的数据解答下列问题：
(1)计算表中x、y的值；
(2)随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1）
试验总次数
落在“心形线”内部的次数
落在“心形线内部的频率”
100
61
200
93
300
165
500
246
1500
759
2000
996
3000
1503
试验次数
50
100
150
200
250
…
“有2个人同月过生日”的次数
47
95
143
191
238
…
“有2个人同月过生日”的频率
…
抛掷次数n
20
60
100
120
140
160
500
1000
2000
5000
“正面朝上”的次数m
12
38
58
62
75
88
275
550
1100
2750
“正面朝上”的频率
0.60
0.63
0.58
0.52
0.54
0.55
0.55
0.55
0.55
0.55
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.45
0.55
0.47
0.48
0.52
0.51
0.49
0.50
0.50
投掷次数
100
500
1000
5000
10000
相交次数
28
138
273
1354
2698
相交频率
0.28
0.276
0.273
0.2708
0.2698
每批粒数
2
5
10
50
100
500
1000
2000
发芽的频数
2
4
9
44
92
463
928
1866
发芽的频率（精确到）
投篮次数
20
40
60
80
120
150
200
投中次数
15
33
47
65
95
120
160
投中的频率
0.75
0.83
0.78
0.81
0.79
0.80
0.80
移植的棵数
200
500
800
2000
12000
成活的棵数
187
446
730
1790
10836
射击次数
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心的频数
9
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心的频率
重复试验次数
10
50
100
500
1000
2000
5000
钉尖朝上次数
5
15
36
200
403
801
2001
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
18
40
57
82
98
123
202
投中频率
（精确到0.01）
0.36
0.40
0.38
0.41
0.39
0.41
0.40
抽查的头盔数n
100
200
300
500
800
1000
3000
合格的头盔数m
95
194
289
479
769
960
2880
合格头盔的频率
0.950
0.970
0.963
0.958
0.961
0.960
0.960
试验种子数n（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数m
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
发芽频率
0
0.80
0.90
0.92
0.94
0.952
0.951
0.95
0.95
抛掷次数m
1000
2000
3000
4000
5000
“正面向上”的次数n
512
1034
1558
2083
2598
“正面向上”的频率（）
0.512
0.517
0.519
0.521
0.520
试验次数
100
500
1000
2000
4000
频率
累计试验次数
100
200
300
400
500
顶尖朝上次数
55
109
161
217
269
顶尖朝上频率
重复实验次数
100
500
1000
5000
…
钉尖朝上次数
50
150
380
2000
…
投壶次数n
50
100
150
200
250
300
400
500
投中次数m
28
46
72
104
125
153
200
250
投中频率
0.56
0.46
0.48
x
0.50
0.51
y
0.50
《第7章 7.3频率与概率》参考答案
1．D
【分析】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
概率是事件发生机会大小的度量，频率在大量试验下可估计概率，但有限次试验的估计值可能有偏差，由此进行分析即可．
【详解】解：概率是长期频率的稳定值，但不保证短期必然发生；
A、次试验频率确定概率，虽试验次数较多，但频率不完全等于概率，不符合题意；
B、概率为的意思为长期平均每次出现次，并非每次一定发生次，说法错误，不符合题意；
C、概率意为平均每张中奖张，并非一定中奖张，说法错误，不符合题意；
D、有限次试验中，频率估计概率存在偏差，和都接近真实概率，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．根据表中落在“心形线”内部的频率推算出概率即可求面积．
【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近，
∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为，
∴估计“心形”图案的面积为，
故选：B ．
3．B
【分析】该题考查了用频率估计概率，当试验次数大量增加时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，频率在附近波动，因此估计概率为．
【详解】解：根据题意得：试验次数增加时，“有2个人同月过生日”的频率稳定在附近，
∴估计该概率为，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案．
【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解．
【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，
A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意；
D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】此题考查了频率估计概率．摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，据此即可判断，得到答案．
【详解】解：∵摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，
∴黑色棋子一定比白色棋子多，摸到白色棋子的概率为0.4，摸到黑色棋子的概率为0.6，
故选项A正确，符合题意；选项B，C，D错误，不符合题意；
故选：A
7．B
【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可．
【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数．
【详解】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ，
∴袋子里红球的个数估计是（个）．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可．
【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意；
C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意；
D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意；
故选：C
10．B
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率在大量重复试验下趋近于概率是解题的关键．根据频率估计概率的知识，质地均匀的硬币抛大量次时，正面朝上频率接近概率，而硬币正面朝上概率为，据此分析选项即可．
【详解】解：因为抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率．
当试验次数很大时，频率趋近于概率．
各选项中只有最接近．
故选：B．
11．A
【分析】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用总质量乘以样本中发芽的频率即可．
【详解】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有．
故选：A．
12．0.27
【分析】本题考查了由频率估计概率，根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近，
因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
13．
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，掌握事件发生的频率会稳定在概率附近波动是解题的关键．
观察表格中每批粒数较大的发芽频率，它们均在附近波动，据此估计概率即可．
【详解】解：由表格数据可知，当每批粒数n较大时（如），发芽的频率分别为，这些值均接近，且随着n增大，频率趋于稳定，故这种绿豆发芽的概率的估计值为．
故答案为．
14．600
【分析】本题考查了频率估计概率和矩形面积的知识点，解题关键是理解频率估计概率的思想，利用频率稳定值来估计概率，进而求解相关面积．
先根据矩形面积公式求出种植区域的总面积，再利用频率估计概率的思想，由频率稳定值得到翠香猕猴桃种植面积的频率，进而求出其种植面积．
【详解】解：矩形种植区域的总面积：．
观察图②可知，随着抽取次数的增加，“翠香猕猴桃”出现的频率稳定在左右，根据频率估计概率的思想，可认为“翠香猕猴桃”种植面积的频率为．
∴“翠香猕猴桃”的种植面积为：．
故答案为：．
15．0.80
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80．
【详解】解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80．
故答案为：0.80．
16．
【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键是明确当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近．
先分别计算每组移植的成活频率（成活棵数除以移植棵数），观察频率的稳定趋势，再将稳定值精确到即可．
【详解】解：计算各组成活频率：
，
，
，
，
；
观察频率可知，随着移植棵数增多，频率稳定在附近，精确到得概率估计值为．
故答案为：．
17．207
【分析】本题考查利用频率估算概率，根据频率估计概率，发芽频率稳定在0.9，因此发芽概率约为0.9，用总种子数乘以发芽概率即可求解．
【详解】解：由题意可知，该花卉种子发芽的频率稳定在0.9，即发芽概率为0.9．
种下230颗种子，能发芽的种子数量约为（颗）．
故答案为207．
18．
【分析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】解：由击中靶心频率都在上下波动，
所以该射手击中靶心的概率的估计值是，
故答案为：．
19．0.4
【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率．
【详解】解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002，
∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近，
∴钉尖朝上的概率约为0.4，
故答案为：0.4．
20．0.40
【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.40附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.40．
故答案为：0.40．
21．0.960
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率估计概率即可．
【详解】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近，
∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960．
故答案为：0.960．
22．0.95
【分析】本题主要考查频率估算概率，解题的关键是理解题意；因此此题可根据利用频率估算概率的方法进行求解即可．
【详解】解：观察表格数据可知，随着试验种子数的不断增大，发芽频率的值在附近波动，并趋于稳定，故可估计该麦种的发芽概率约为．
故答案为0.95．
23．②③
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可．
【详解】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错误；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故②正确；
若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确；
所以，其中合理推断的是②③，
故答案为：②③．
24．
【分析】观察频率的数值稳定在哪一个数值上，即可估算发生的概率，可得出答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，频率稳定在，
故其概率为，
故答案为：．
25．
【分析】本题考查用频率估计概率，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，可用频率估计概率．一般采用试验次数最多的频率进行估计．
【详解】解：由表格可知，图钉落地后顶尖朝上的频率随着实验次数的增加逐渐趋向，可知概率为．
故答案为：．
26．
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为，，，，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为．
故答案为：．
27．
【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键，用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
∵正方形区域内任取个点中，有个点在黑色部分，
∴黑色部分占正方形的：，
∴二维码中黑色部分的面积约为：，
故答案为：．
28．(1)，
(2)0.5
【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯地依靠几次决定．
（1）根据频率公式计算即可．
（2）根据表格数据得出投壶次数越来越大，投中的频率趋近于0.5，即可估计出其概率约为0.5．
【详解】（1）解：根据表中的数据可得，
．
（2）解：随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
B
A
B
C
C
B
题号
11









答案
A